Categoría: Primera Evaluación

Sean $B=\{v_1,v_2\}$ y $B^{'}=\{u_1,u_2\}$ dos bases de un espacio vectorial real $V$, tales que $u_1=v_1 -2 v_2$ y $u_2=3v_1 + 4v_2$. Hallar:

a. La matriz de cambio de base de $B$ a $B^{'}$.

b. Las coordenadas del vector $5u_1-u_2$ en la base $B$.

c. Las coordenadas del vector $7v_2$ en la base $B^{'}$.

$V=\left\{\left(\begin{array}{rr} a & b \\ c & 0 \end{array}\right):\ a\in \mathbb{R}^+\ \wedge\ b,c \in \mathbb{R} \right\}$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$, con las siguientes operaciones:$\begin{aligned}\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\ c_1 & 0\end{pmatrix}\oplus \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & 0\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a_1a_2 & b_1+b_2+7 \\ c_1+c_2 & 0 \end{pmatrix} \\ \\ \alpha \odot \begin{pmatrix} a & b \\ c & 0\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a^{\alpha} & \alpha b+7\alpha-7 \\ \alpha c & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$Determine:

a. El vector nulo de $V$.

b. El vector opuesto de un elemento $\left(\begin{array}{rr}a & b \\ c & 0 \end{array}\right)$ de $V$.

c. Los valores de $a$ y $x$ tal que $\left(\begin{array}{rr}a & 2 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$ sea una combinación lineal de los vectores $\left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\ x & 0 \end{array}\right)$ y $\left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\ 3x & 0 \end{array}\right)$.

Sea $V=M_{2\times 2}$, el espacio vectorial de las matrices simétricas de orden 2, sobre $\mathbb{R}$ y sean los subespacios:

a. Encuentre el subespacio intersección expresado como un conjunto con condiciones, una base y su dimensión.

b. Encuentre el subespacio suma, una base y su dimensión.

Determine los valores reales de $\alpha$ para que el sistema $\left\{\begin{array}{rrr} x+\alpha y+3z & = & 2 \\ x+y-z & = & 1 \\ 2x+3y+\alpha z & = & 3 \end{array}\right.$ tenga:

a. Infinitas soluciones.

b. Solución única.

c. Ninguna solución.

Dada $A=\left(\begin{array}{rrrr}2 & 4 & -2 & 1\\ -2 & -5 & 7 & 3 \\3 & 7 & -8 & 6\end{array}\right)$, determine:

a. Si $u=(3,-2,-1,0)$ es un elemento del núcleo de $A$.

b. Si $v=(3,-1,3)$ es un elemento de la imagen de $A$.

c. Nulidad de $A$.

d. Dimensión de la imagen de $A$.

Califique, justificando cada respuesta, como verdadero o falso las siguientes proposiciones.

a. El conjunto solución del sistema $\left\{\begin{array}{c} x_1+x_2=1 \\ x_3+x_4=0 \end{array}\right.$ es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^4$.

b. Sean $V$ un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{K}$ y $W$ un subespacio de $V$. Si $v\notin W$ entonces, $v+w \notin W$ para cada $w$ de $W$.

c. Sean $V$ un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{K}$, $A$ y $B$ subconjuntos de $V$. Entonces $Gen(A\cap B)=Gen(A) \cap Gen(B)$.

d. Si $\{u,v\}$ es un conjunto linealmente independiente de un espacio vectorial $V$, entonces $\{u+v,u+w,v+w\}$ es un conjunto linealmente independiente para todo vector no nulo $w$ de $V$.

e. Sea $A$ una matriz cuadrada. Si el espacio columna de $A$ es igual al espacio renglón de $A$, entonces $A$ es una matriz simétrica.