Ejercicio: 3Eva_2020PAOI_T2 Modelo epidemiológico no letal

El ejercicio representa un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, que serán resueltas usando Runge-Kutta de 2do Orden.

De compararse con la curva de contagios de Covid-19 se tienen diferencias en la población recuperada, pues el modelo se considera no letal por lo que no se contabiliza el número de fallecidos.

El módelo es el más básico y permite cambiar por ejemplo la tasa de infección, y se ve los cambios en la curva de infectados. Se puede observar lo que se indicaba como objetivo de «aplanar la curva» al disminuir la población expuesta mediante cambiar la tasa de infección al exponer más o menos población al contagio por iteacción entre «suceptibles» e «infectados.

Desarrollo analítico

Las fórmulas para el algoritmo se identifican como:
binfecta = 1.4
grecupera = 1/4

que luego se usan en cada iteración que se registra en la tabla empezando con las condiciones iniciales

itera = 1
K_{1S} = h. f(t_i,S_i,I_i,R_i) =

itera = 2

itera 3 – TAREA

Instrucciones en Python

# 3Eva_2020PAOI_T2 Modelo epidemiológico no letal
# Sistemas EDO con Runge-Kutta de 2do Orden
import numpy as np

def rungekutta2_fgw(f,g,w,t0,x0,y0,z0,h,muestras):
    tamano = muestras +1
    tabla = np.zeros(shape=(tamano,4),dtype=float)
    tabla[0] = [t0,x0,y0,z0]
    ti = t0
    xi = x0
    yi = y0
    zi = z0
    for i in range(1,tamano,1):
        K1x = h * f(ti,xi,yi,zi)
        K1y = h * g(ti,xi,yi,zi)
        K1z = h * w(ti,xi,yi,zi)
        
        K2x = h * f(ti+h, xi + K1x, yi+K1y, zi +K1z)
        K2y = h * g(ti+h, xi + K1x, yi+K1y, zi +K1z)
        K2z = h * w(ti+h, xi + K1x, yi+K1y, zi +K1z)

        xi = xi + (1/2)*(K1x+K2x)
        yi = yi + (1/2)*(K1y+K2y)
        zi = zi + (1/2)*(K1z+K2z)
        ti = ti + h
        
        tabla[i] = [ti,xi,yi,zi]
    tabla = np.array(tabla)
    return(tabla)

# Programa
# Parámetros de las ecuaciones

binfecta = 1.4
grecupera = 1/4
# Ecuaciones
f = lambda t,S,I,R : -binfecta*S*I
g = lambda t,S,I,R : binfecta*S*I - grecupera*I
w = lambda t,S,I,R : grecupera*I
# Condiciones iniciales
t0 = 0
S0 = 1.0
I0 = 0.001
R0 = 0.0

# parámetros del algoritmo
h = 1.0
muestras = 51

# PROCEDIMIENTO
tabla = rungekutta2_fgw(f,g,w,t0,S0,I0,R0,h,muestras)
ti = tabla[:,0]
Si = tabla[:,1]
Ii = tabla[:,2]
Ri = tabla[:,3]
# SALIDA
np.set_printoptions(precision=6)
print(' [ ti, Si, Ii, Ri]')
print(tabla)

# Grafica tiempos vs población
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(ti,Si, label='S')
plt.plot(ti,Ii, label='I')
plt.plot(ti,Ri, label='R')
plt.title('Modelo SIR')
plt.xlabel('t tiempo')
plt.ylabel('población')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

Ejercicio: 1Eva_IIT2009_T1 Movimiento de partícula en plano

a. Planteamiento del problema

Las ecuaciones expresan las trayectorias de dos partículas,

que para que se encuentren o choquen, sus coordenadas deberían ser iguales.

Se reordena la expresión, de la forma f(t) = 0 para usarla en el algoritmo de búsqueda de raíces.

b. Intervalo de búsqueda de raíz

Como la variable independiente es tiempo, el evento a buscar se supone sucede en tiempos positivos t>=0, por lo que el valor inicial a la izquierda del intervalo será a=0

Para el caso de b, a la derecha, se usa lo indicado en el enunciado para la pregunta del literal b, donde se indica t ∈ [0, π/2], por lo que b = π/2

[0, π/2]

verificando que exista cambio de signo entre f(a) y f(b)

con lo que se comprueba que al existir cambio de signo, debe existir una raíz en el intervalo.

c. Método de Falsa Posición

Desarrollo analítico con lápiz y papel

Se trata de mostrar los pasos en al menos tres iteraciones del método, usando las siguientes expresiones:

[0, π/2]

iteración 1

tomando los datos al validar los puntos extremos

el signo de f(c) es el mismo que f(a), se ajusta el lado izquierdo

iteración 2

el signo de f(c) es el mismo que f(a), se ajusta el lado izquierdo

iteración 3

el signo de f(c) es el mismo que f(b), se ajusta el lado derecho

Algoritmo con Python

Los parámetros aplicados en el algoritmo son los desarrollados en el planteamiento del problema e intervalo de búsqueda, con lo que se obtiene los siguientes resultados:

 raiz: 1.1864949811467547
error: 9.919955449055884e-05

las instrucciones en Python son:

# 1Eva_IIT2009_T1 Movimiento de partícula en plano
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#INGRESO
xt = lambda t: 3*(np.sin(t)**3)-1
yt = lambda t: 4*np.sin(t)*np.cos(t)
fx = lambda t: 3*(np.sin(t)**3)-1 - 4*np.sin(t)*np.cos(t) 

a = 0
b = np.pi/2
tolera = 0.001

# intervalo para gráfica
La = a
Lb = b
muestras = 21

# PROCEDIMIENTO
# Posicion Falsa
tramo = abs(b-a)
fa = fx(a)
fb = fx(b)
while not(tramo<=tolera):
    c = b - fb*(a-b)/(fa-fb)
    fc = fx(c)
    cambio = np.sign(fa)*np.sign(fc)
    if cambio>0:
        # actualiza en izquierda
        tramo = abs(c-a)
        a = c
        b = b
        fa = fc
    else:
        # actualiza en derecha
        tramo = abs(b-c)
        a = a
        b = c
        fb = fc

# para grafica
ti = np.linspace(La,Lb,muestras)
xi = xt(ti)
yi = yt(ti)
fi = fx(ti)

# SALIDA
print(' raiz:', c)
print('error:', tramo)

# GRAFICA
plt.plot(ti,xi, label='x(t)')
plt.plot(ti,yi, label='y(t)')
plt.plot(ti,fi, label='f(t)')
plt.plot(c,fx(c),'ro')
plt.axhline(0, color='green')
plt.axvline(c, color='magenta')
plt.legend()
plt.xlabel('t')
plt.title('Método de Falsa Posición')
plt.show()

Ejercicio: 1Eva_IIT2010_T1 Aproximar con polinomio

Desarrollo Analítico

Ejemplo para Lápiz  y Papel

Opción 1

Para el ejemplo, supondremos que x0=0

El polinomio de Taylor requerido es de grado 2

función f(x) y sus derivadas:

Punto x0 = 0 (ejemplo), dentro del intervalo.

Observación: escriba las expresiones, reemplazando los valores, asi si en la lección o examen no tuvo tiempo para usar la calculadora, se puede evaluar si realizaba las operaciones con el punto de referencia y expresiones correctas.

Sustitución en fórmula de polinomio:

Tarea: realizar el ejercicio para x₀ = π/2, verificando que pase por los puntos requeridos. Respuesta usando el algoritmo de Taylor:

p(x) = -4.81047738096535*x**2 + 10.3020830193353*x - 3.31309698247881

Opción 2

El polinomio requerido tiene la forma:

por lo que conociendo los pares ordenados por donde debe pasar se puede plantear las ecuaciones y encontrar a,b,c.

se encuentra que a = 2 cuando x = 0 y que reemplazando los valores de x =π/2 y x=π se tiene:

2 + (π/2) b + (π/2)2 c = 1
2 +    π  b +   (π)2 c = eπ +1

que se convierte en:

(π/2) b + (π/2)2 c = -1
   π  b +   (π)2 c = -(eπ +1)

al multiplicar la primera ecuación por 2 y restando de la segunda

- π2/2 c = eπ -1
c = (-2/π2)(eπ -1)

y sustituir c en la segunda ecuación:

π b + (π)² (-2/π²)(e^π -1) = -(e^π +1)
π b = -(e^π +1) + 2(e^π -1) = -e^π -1 + 2e^π -2
b = (e^π -3)/π

El polinomio resultante es:

Probando respuesta con los valores en la función y polinomio usando Python, se encuentra que el polinomio pasa por los puntos. Al observar la gráfica observa que se cumple lo requerido pero visualiza el error de aproximación usando el método de la opción 2.

Algoritmo con Python

Algoritmo desarrollado en clase, usado como taller, modificado para el problema planteado.

Observación: Se reordena el algoritmo para mantener ordenados y separados los bloques de ingreso, procedimiento y salida. Así los bloques pueden ser convertidos fácilmente a funciones algorítmicas def-return.

Observe que la variable n se interprete correctamente como «términos» o «grados» del polinomio de Taylor.

# Aproximación Polinomio de Taylor alrededor de x0
# f(x) en forma simbólica con sympy
import numpy as np
import sympy as sym
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO --------------------
x = sym.Symbol('x')
fx = sym.exp(x)*sym.cos(x) + 1

x0 = 0
n  = 3 # grado de polinomio

# Intervalo para Gráfica
a = 0
b = np.pi
muestras = 21

# PROCEDIMIENTO  -------------
# construye polinomio Taylor
k = 0 # contador de términos
polinomio = 0
while (k <= n):
    derivada   = fx.diff(x,k)
    derivadax0 = derivada.subs(x,x0)
    divisor   = np.math.factorial(k)
    terminok  = (derivadax0/divisor)*(x-x0)**k
    polinomio = polinomio + terminok
    k = k + 1

# forma lambda para evaluación numérica
fxn = sym.lambdify(x,fx,'numpy')
pxn = sym.lambdify(x,polinomio,'numpy')

# evaluar en intervalo para gráfica
xi = np.linspace(a,b,muestras)
fxi = fxn(xi)
pxi = pxn(xi)

# SALIDA  --------------------
print('polinomio p(x)=')
print(polinomio)
print()
sym.pprint(polinomio)

# Gráfica
plt.plot(xi,fxi,label='f(x)')
plt.plot(xi,pxi,label='p(x)')
# franja de error
plt.fill_between(xi,pxi,fxi,color='yellow')
plt.xlabel('xi')
plt.axvline(x0,color='green', label='x0')
plt.axhline(0,color='grey')
plt.title('Polinomio Taylor: f(x) vs p(x)')
plt.legend()
plt.show()

Resultado del algoritmo

Revisar si el polinomio es concordante con lo realizado a lápiz y papel, de no ser así revisar el algoritmo o los pasos realizados en papel, deben ser iguales.
Comprobando que el algoritmo esté correcto y pueda ser usado en otros ejercicios.

 RESTART: D:\MATG1052Ejemplos\Taylot01Tarea01.py 
polinomio p(x)=
-x**3/3 + x + 2

   3        
  x         
- -- + x + 2
  3         

Resultados gráficos para x0=0

Continuar con el ejercicio con x0 = π y luego con el siguiente punto x0 = π/2.

Comparar resultados y presentar: Observaciones  y recomendaciones semejantes a las indicadas durante el desarrollo de la clase.

Ejercicio: 3Eva_IIT2019_T4 completar polinomio de interpolación

Para visualizar la solución, se plantea graficar los polinomios que están completos S₀(x) y S₂(x).

 0.0 ≤ x ≤ 0.4

0.4 ≤ x ≤ 0.6

0.6 ≤ x ≤ 1.0

Como en trazadores cúbicos, lo que se usa es un polinomio por cada tramo muestreado para una curva contínua, etc. se tiene que los polinomios deben tener valores iguales en los puntos el eje x = 0.4 y 0.6

Por lo que se evalua con  los polinomios completos:

Opción 1

Valores que se usan en los extremos del polinomio S₁(x) para crear un sistema de dos ecuaciones y determinar los valores de c y d, completando el polinomio.

como los términos de c y d se hacen cero, hace falta una ecuación.

la otra ecuación se podría obtener usando la propiedad que las primeras derivadas de los polinomios deben ser iguales en los puntos x=0,4 y x= 0.6

S’₀(0.2) =S’₁(0.2)

Tarea: Desarrollar la siguiente ecuación y resolver

Opción 2

Si no recuerda la propiedad anterior, puede optar por usar otros conceptos para aproximar el resultado.

Si para el tramo en que se busca el polinomio se puede retroceder un tamaño de paso x = 0.2 y evualuar usando S₀(0.2), se obtiene otropunto de referencia para crear un polinomio que pase por los mismos puntos.

Se aplica lo mismo para un tamaño de paso más adelante de x = 0.6 es x = 0.8m se evalua S₂(0.8) y se tienen suficientes puntos para usar cualquier método de interpolación y determinar el polinomio para el tramo faltante.

xi     = [0.        0.2        0.4      ]
S0(xi) = [1.        1.2292704  1.4918432]
xi     = [0.6       0.8        1.       ]
S2(xi) = [1.8221    2.2435136  2.7182728]

que permite hacer una tabla de puntos, y usando por ejemplo el método de interpolación de Lagrange  con x entre [0.2, 0.8] se obtiene otra forma del polinomio buscado:

Tarea: continuar con el desarrollo

El literal b, requiere usar un metodo de búsqueda de raíces, para el cual se puede usar incluso bisección.

Tarea: continuar con el desarrollo

Ejercicio: 3Eva_IIT2019_T3 Preparación de terreno en refineria

Se requiere usar el nivel inicial en la matriz, para restar del nivel requerido que es constante 220

lo que genera la matriz de diferencias. El valor es positivo indica remoción, el valor negativo indica por rellenar.

El volumen se puede calcular por un método en cada fila, y luego los resultados por columnas por otro método o el mismo.
Por ejemplo Simpson de 1/3

con lo que se obtiene:

y usando el otro eje, se completa el volumen usando dos veces simpson:

El signo lo trae desde la diferencia, y muestra el sentido del desnivel.

Se adjunta la gráfica de superficie en azul como referencia del signo,  respecto al nivel requerido en color verde.

Error de truncamiento

la cota del error de truncamiento se estima como O(h5)

para un valor de z entre [a,b]

para cuantificar el valor, se puede usar la diferencia finita Δ4f, pues con la derivada sería muy laborioso.

Ejercicio: 3Eva_IIT2019_T2 Diferenciación, valor en frontera

La ecuación de problema de valor de frontera, con h = 1/4 = 0.25:

0 ≤ x ≤ 1
y(0) = -1
y(1) = 0

Se interpreta en la tabla como los valores que faltan por encontrar:

Por ejemplo, se usan las derivadas en diferencias finitas divididas centradas para segunda derivada y hacia adelante para primera derivada.

Semejante al procedimiento aplicado para métodos con EDO.

Se formula entonces la ecuación en forma discreta, usando solo los índices para los puntos yi:

se multiplica todo por h²

Ecuación que se aplica en cada uno de los puntos desconocidos con i =1,2,3

i = 1

multiplicando ambos lados de la ecuacion por 16 y reordenando

i = 2

multiplicando ambos lados por 8 y reordenando,

i = 3

multiplicando todo por 16 y reordenando:

Con lo que se puede crear la forma matricial del sistema de ecuaciones Ax=B

con lo que resolviendo la matriz se obtienen los valroes para y[1], y[2], y[3]

solución de matriz: 
[-0.59029143 -0.29958287 -0.12195088]

con lo que se completan los puntos de la tabla,

Solución de ecuación
x[i] =  [ 0.   0.25        0.5         0.75        1.  ]
y[i] =  [-1.  -0.59029143 -0.29958287 -0.12195088  0.  ]

con la siguiente gráfica:

Algoritmo para solución de matriz con Python

tarea: modificar para cambiar el valor del tamaño de paso.

# Problema de Frontera
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO

h = 1/4
y0 = -1
y1 = 0

xi = np.arange(0,1+h,h)
n = len(xi)
yi = np.zeros(n,dtype=float)
yi[0] = y0
yi[n-1] = y1
    
A = np.array([[-39.0, 21,  0],
              [  8.0, -21, 11],
              [  0.0, 16, -41]])
B = np.array([16+(15/16)*np.exp(-1/4),
              (3/8)*np.exp(-1/2),
              (7/16)*np.exp(-3/4)])

# PROCEDIMIENTO
x = np.linalg.solve(A,B)

for i in range(1,n-1,1):
    yi[i] = x[i-1]

# SALIDA
print('solución de matriz: ')
print(x)
print('Solución de ecuación')
print('x[i] = ',xi)
print('y[i] = ',yi)

# Grafica
plt.plot(xi,yi,'ro')
plt.plot(xi,yi)
plt.show()

Ejercicio: 3Eva_IIT2019_T1 Lanzamiento de Cohete

A partir de la tabla del enunciado  se realiza la tabla de diferencias finitas.

Observando que a partir de la tercera diferencia finita  los valores son cero, por lo que se usa la fórmula general de diferencias finitas divididas hasta el polinomio de grado 2.

al sustituir los valores conocidos, se convierte en,

Con lo que se puede obtener la velocidad:

y luego la aceleración:

Si el error es el próximo término del polinomio Δ³f_i  entonces se estima en cero.

Tarea:  Evaluar la velocidad y aceleración para cada punto de la tabla

La gráfica del polinomio encontrado es:

Algoritmo en Python

El algoritmo realizado en Python entrega los siguientes resultados:

[[  i,  ti,  fi, df1, df2, df3, df4, df5,  df6]]
[[  1.   0.   0.  32.  -6.   0.   0.   0.   0.]
 [  2.  25.  32.  26.  -6.   0.   0.   0.   0.]
 [  3.  50.  58.  20.  -6.   0.   0.   0.   0.]
 [  4.  75.  78.  14.  -6.   0.   0.   0.   0.]
 [  5. 100.  92.   8.   0.   0.   0.   0.   0.]
 [  6. 125. 100.   0.   0.   0.   0.   0.   0.]]
polinomio:
-0.0048*t**2 + 1.4*t

las instrucciones en Python son:

# 3Eva_IIT2019_T1 Lanzamiento de Cohete
# Tarea: Verificar tamaño de vectores
#        considerar puntos no equidistantes en eje t
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sym

# INGRESO , Datos de prueba
ti = np.array([0.0, 25, 50, 75, 100, 125])
fi = np.array([0.0, 32, 58, 78, 92, 100])

# PROCEDIMIENTO
# Tabla de diferencias finitas
titulo = ['i','ti','fi']
n = len(ti)

# cambia a forma de columnas
i = np.arange(1,n+1,1)
i = np.transpose([i])
ti = np.transpose([ti])
fi = np.transpose([fi])

# Añade matriz de diferencias
dfinita = np.zeros(shape=(n,n),dtype=float)
tabla = np.concatenate((i,ti,fi,dfinita), axis=1)

# Sobre matriz de diferencias, por columnas
[n,m] = np.shape(tabla)
c = 3
diagonal = n-1
while (c<m):
    # Aumenta el título para cada columna
    titulo.append('df'+str(c-2))
    # calcula cada diferencia por fila
    f = 0
    while (f < diagonal):
        tabla[f,c] = tabla[f+1,c-1]-tabla[f,c-1]
        f = f+1
    
    diagonal = diagonal - 1
    c = c+1

# POLINOMIO con diferencias finitas
# caso: puntos en eje t equidistantes
dfinita = tabla[:,3:]
n = len(dfinita)
t = sym.Symbol('t')
h = ti[1,0]-ti[0,0]
polinomio = fi[0,0]
for c in range(1,n,1):
    denominador = np.math.factorial(c)*(h**c)
    factor = dfinita[0,c-1]/denominador
    termino=1
    for f  in range(0,c,1):
        termino = termino*(t-ti[f])
    polinomio = polinomio + termino*factor

# simplifica polinomio, multiplica los (t-ti)
polinomio = polinomio.expand()

# para evaluacion numérica
pt = sym.lambdify(t,polinomio)

# Puntos para la gráfica
a = np.min(ti)
b = np.max(ti)
muestras = 101
ti_p = np.linspace(a,b,muestras)
fi_p = pt(ti_p)

# SALIDA
print([titulo])
print(tabla)
print('polinomio:')
print(polinomio)

# Gráfica
plt.title('Interpolación polinómica')
plt.plot(ti,fi,'o', label = 'Puntos')
plt.plot(ti_p,fi_p, label = 'Polinomio')
plt.legend()
plt.show()