ESTG1003 – FCNM – ESPOL
Tema 2 (25 puntos). Sea Z(C,D) una variable aleatoria bidimensional continua, con función de densidad
f_{Z}(c,d)=\begin{cases} 2 && , c \geq 0, d \geq 0, c+d \leq 1 \\ 0 && \text{, en el resto} \end{cases}Sea X(t)=C*t2+D. Determinar:
a) La media y la autocorrelación de X(t)
b) La varianza de X(3)
c) La función de densidad de X(2)
Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos)
Una máquina fabrica ejes cuyos radios se distribuyen según una variable aleatoria X cuya función de densidad es:
f_{X}(x) = \begin{cases} k(x-1)(x-3) && , 1 \leq x \leq 3 \\ 0 && \text{otro caso}\end{cases}La variable aleatoria X se mide en metros.
Determinar:
a) El valor de la constante k.
b) La función de densidad de la variable aleatoria que mide la longitud de los radios en centímetros.
c) La función de densidad para el área de las secciones.
d) Si los ejes se desechan cuando su radio se desvía de 2 metros más de 80cm., calcula la proporción de ejes que serán rechazados.
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos)
Tema 4 (20 puntos). En un proceso de fabricación de equipos de telecomunicaciones (Poisson) se producen en promedio 2 defectos por minuto. 
Use el Teorema del Límite Central, para determinar:
a) La probabilidad de que en una hora se produzcan más de 150 defectos. (10 puntos)
b) La probabilidad de que en una hora se produzcan entre 140 y 160 defectos. (10 puntos)
Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{x}^{\infty} e^{-t^2 /2} dt| x | Q(x) | x | Q(x) | |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 5.00E-01 | 2.7 | 3.47E-03 | |
| 0.1 | 4.60E-01 | 2.8 | 2.56E-03 | |
| 0.2 | 4.21E-01 | 2.9 | 1.87E-03 | |
| 0.3 | 3.82E-01 | 3.0 | 1.35E-03 | |
| 0.4 | 3.45E-01 | 3.1 | 9.68E-04 | |
| 0.5 | 3.09E-01 | 3.2 | 6.87E-04 | |
| 0.6 | 2.74E-01 | 3.3 | 4.83E-04 | |
| 0.7 | 2.42E-01 | 3.4 | 3.37E-04 | |
| 0.8 | 2.12E-01 | 3.5 | 2.33E-04 | |
| 0.9 | 1.84E-01 | 3.6 | 1.59E-04 | |
| 1.0 | 1.59E-01 | 3.7 | 1.08E-04 | |
| 1.1 | 1.36E-01 | 3.8 | 7.24E-05 | |
| 1.2 | 1.15E-01 | 3.9 | 4.81E-05 | |
| 1.3 | 9.68E-02 | 4.0 | 3.17E-05 | |
| 1.4 | 8.08E-02 | 4.5 | 3.40E-06 | |
| 1.5 | 6.68E-02 | 5.0 | 2.87E-07 | |
| 1.6 | 5.48E-02 | 5.5 | 1.90E-08 | |
| 1.7 | 4.46E-02 | 6.0 | 9.87E-10 | |
| 1.8 | 3.59E-02 | 6.5 | 4.02E-11 | |
| 1.9 | 2.87E-02 | 7.0 | 1.28E-12 | |
| 2.0 | 2.28E-02 | 7.5 | 3.19E-14 | |
| 2.1 | 1.79E-02 | 8.0 | 6.22E-16 | |
| 2.2 | 1.39E-02 | 8.5 | 9.48E-18 | |
| 2.3 | 1.07E-02 | 9.0 | 1.13E-19 | |
| 2.4 | 8.20E-03 | 9.5 | 1.05E-21 | |
| 2.5 | 6.21E-03 | 10.0 | 7.62E-24 | |
| 2.6 | 4.66E-03 |
Tema 3 (20 puntos). Sea X(t) un proceso aleatorio WSS diferenciable, definido por:
Y(t) = \frac{d}{dt}X(t)Encuentre:
a) RY(τ). (10 puntos)
b) SY(f). (10 puntos)
Sugerencia: Considere para este sistema H(f)= j2πf.
Tema 2 (30 puntos). Dado Y(t)=X(t)-X(t-d), y conociendo que X(t) es un proceso estocástico normal y estacionario de media 0 y autocorrelación:
R_{X}(\tau) = \frac{1}{1+\tau ^2} , \tau \in \ReDeterminar:
a) RX,Y(τ) y SX,Y(f). (10 puntos)
b) RY(τ) y SY(f). (10 puntos)
c) P[ X(t+3) < 1+X(t+2)+X(t+1) ]. (10 puntos)
Tema 1 (30 puntos). Considere el proceso estocástico WSS X(t) con media cero y con autocorrelación:
R_{X}(\tau) = 50 cos(20 \pi \tau) + 18 cos(30 \pi \tau)como entrada al sistema
Determine:
a) Var(X(t)). (10 puntos)
b) RY(τ). (10 puntos)
c) El valor de A para tener el mínimo valor de E[Y2(t)] y su valor. (10 puntos)
Tema 3 (30 puntos). Considere los siguientes procesos:
Y_n = \frac{X_{n} + X_{n-1}}{2} , x_0=0
Z_n = \frac{2}{3} x_{n} + \frac{1}{3} x_{n-1} , x_0=0
a) Se lanza una moneda 10 veces de forma equiprobable (p) para obtener la realización de un proceso aleatorio de Bernoulli Xn. Graficar una de las realizaciones resultantes para Xn, Yn y Zn.
b) Encuentra la media, la varianza y covarianza de Yn y Zn, si Xn es un proceso aleatorio de Bernoulli
c) Encontrar el pdf de los procesos definidos, si Xn en una secuencia iid gaussiana de media cero y varianza Justifique su respuesta.
Tema 2 (30 puntos). Sea X(t) un proceso estocástico normal y estacionario de media 0 y autocorrelación:
R_{X} (\tau) = \frac{1}{1+ \tau ^2} , \tau \in \ReSea A una variable aleatoria discreta, independiente de X(t) y que verifica P(A=0)=1/2, P(A=1)=1/2.
Determinar:
a) P[ X(t+2) < 1+X(t+1)+X(t) ]
b) P[ X(t) > A ]
c) La función de densidad de la variable aleatoria Z=[ X(3)-X(2) ]2.
Tema 1 (40 puntos). Sea X(t) un proceso normal y estacionario de media E[X(t)]=0 y autocorrelación
R_x (\tau)= \frac{4}{4+\tau^2}a) Calcular la matriz de covarianzas de la variable aleatoria bidimensional
[X(-2),X(1)+5X(2)]b) Calcular la función de densidad de la variable aleatoria: A=X(1)+5X(2)
c) Sea B una variable aleatoria tal que P(B=0)=P(B=1)=1/2.
Se supone que las variables aleatorias A y B son independientes.
Calcular la función de densidad de la variable aleatoria C=A+B.
Consideremos el sistema lineal e invariante con el tiempo cuya función de transferencia es:
H(\omega)=\begin{cases} 3 && |\omega| \leq 1 \\ 0 && |\omega|>1 \end{cases}Sea Y(t) la salida de este sistema cuando la entrada es X(t).
d) Determinar la función de densidad de Y(t).
Dada la FXY(x,y) de una bivariable aleatoria:
F_{XY}(x,y) = \begin{cases} x-1-\frac{e^{-y}-e^{-xy}}{y} && , 1 \leq x \leq 2, y \geq 0 \\ 1- \frac{e^{-y}- e^{-2y}}{y} &&, x>2,y \geq 0 \\ 0 && , \text{otro valor} \end{cases}
Determinar:
a) FX(x), FY(y) y graficarlas (10 puntos)
b) fX(x), fY(y) y graficarlas (10 puntos)
c) E[X], E[Y] (10 puntos)