Referencia: Ross 2.33 p89
Ejercicio
Sea X una variable aleatoria con densidad de probabilidad:
f(x)= \begin{cases} c(1-x^2)&, -1<x<1 \\ 0 &, \text{en otro caso} \end{cases}a) ¿Cuál es el valor de c? que permite hacer la función una pdf.
b) ¿Cuál es la función de distribución acumulada de X?
Solución
a)Solo es válido en el rango [-1,1], por lo que el integral es:
1 = \int_{-1}^{1} c(1-x^2) dx = c \int_{-1}^{1} (1-x^2) dx = c \int_{-1}^{1}dx - c \int_{-1}^{1}x^2 dx = c \left. x \right|_{-1}^{1} - c \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-1}^{1} = c[1-(-1)] - c\frac{1^3-(-1^3)}{3} = 2c -\frac{2c}{3} 1 = \frac{4c}{3} c=\frac{3}{4}Solución
b)La función es la integral hasta x:
F(y) = \frac{3}{4} \int_{-1}^{y} (1-x^2) dx = \frac{3}{4} \left. \left[ x - \frac{x^3}{3} \right] \right|_{-1}^{y} = = \frac{3}{4}\left[(y+1) - \left( \frac{y^3}{3} + \frac{1}{3} \right) \right] = F(y) = \frac{3}{4} \left[ y+\frac{2}{3} - \frac{y^3}{3} \right], 1<y<1Instrucciones en Python
usando el resultado anterior:
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np def fxdensidad(X): n = len(X) Y = np.zeros(n,dtype=float) c = 3/4 for i in range(0,n,1): x = X[i] if (x>=-1 and x<=1): y = c*(1-x**2) Y[i] = y return(Y) # INGRESO # rango [a,b] y muestras a = -1 b = 1 m = 100 # PROCEDIMIENTO deltax = (b-a)/m x = np.linspace(a,b,m) fx = fxdensidad(x) # Función de distribución acumulada Fy = np.cumsum(fx)*deltax # SALIDA Gráfico plt.plot(x,fx,label='pdf') plt.plot(x,Fy,label='cdf') plt.xlabel('x') plt.legend() plt.show()
# Verificando resultado del integral vs la suma acumulada def Fxacumulada(X): n = len(X) Y = np.zeros(n,dtype=float) c = 3/4 for i in range(0,n,1): x=X[i] if (x>=-1 and x<=1): y=c*(x+ 2/3 -(x**3)/3) Y[i]=y return(Y) # PROCEDIMIENTO Fycalc = Fxacumulada(x) # SALIDA Gráfico plt.plot(x,fx,label='pdf') plt.plot(x,Fy,label='cdf') plt.plot(x,Fycalc,label='calculada') plt.xlabel('x') plt.legend() plt.show()