Fernando Tenesaca |

Tema 1

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta.

a. Sea $f:\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$ una función definida como $f((x_1,y_1),(x_2,y_2))=x_1x_2-x_1y_2-x_2y_1+ky_1y_2$ Entonces es verdadero que $\forall k\in \mathbb{R}\;, \; f(x,x)>0$ .

b. Sean $v_1$ y $v_2$ dos vectores propios de una matriz $A$ , entonces $v_1+v_2$ también es un vector propio de $A$ .

Tema 4

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 4

Sea $V=\mathbb{P}_2$ . Sea el subconjunto $H$ definido como $H=\{ p(x)\in \mathbb{P}_2 \;/\; p'(0)+p''(0)=0\}$ Determine si $H$ es un subespacio vectorial; si lo es, halle una base y dimensión de $H$ .

Tema 3

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 3

Sea $V=\mathbb{R}^3$ . Sean los conjuntos: $\begin{aligned}W&=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 / (x,y,z)=(0,0,1)+(0,1,2)t\; ;\; t\in \mathbb{R}\}\\U&= \{ u\in \mathbb{R}^2 / u=f(w)\; ;\; w\in W\}\end{aligned}$ y sea la función $f:\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^2$ tal que $f(x,y,z)=(4x-2y,y+z)$ Determine:

a. Si $f$ es una transformación lineal.

b. La representación gráfica de $W$ .

c. La representación gráfica de $U$ .

Tema 2

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 2

Sea la matriz $A=\begin{pmatrix}1&1&2&4\\3&c&2&8\\0&0&2&2 \end{pmatrix}$ Halle los posibles valores de $c$ para que la $dim\;Im(A)$ sea $1$ , $2$ , $3$ y $4$ . Justifique cada una de sus respuestas.

Tema 1

Examen | 2016-2017 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta.

a. Si $V$ es un espacio vectorial con operaciones cualesquiera, entonces $(v')'=v$ para todo vector $v$ que pertenece a $V$ .
Nota: El inverso aditivo de $v$ se denota como $v'$ .

b. Sean $W$ y $H$ dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial $V$ . Si $dim\;W=dim\;H$ , entonces $W=H$ .

c. Si $A$ es una matriz de tamaño $3\times 5$ , entonces $dim\;Nu(A)\ge 2$ .

Tema 5

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 5

Sean $B_1=\{v_1,v_2,v_3\}$ y $B_2=\{u_1,u_2,u_3\}$ bases del espacio vectorial $V=\mathbb{P}_2$ . Suponga que: $\begin{aligned}[x^2-x]_{B_1} &= (1,1,0)\\ {[x+1]_{B_1}}&=(0,1,0) \\ {[2x^2+1]_{B_1}}&=(1,-1,0) \\ {[u_1+u_2]_{B_1}}&=(3,1,1) \\{[u_2+u_3]_{B_1}}&=(5,2,0) \\{[u_3]_{B_1}}&=(3,0,0) \end{aligned}$ Encuentre los vectores de ambas bases.

Tema 4

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 4

Para la ecuación $-2x^2+4xy+y^2+2x-1=0$ . Identifique la cónica que corresponde, indicando el ángulo de rotación y su ecuación, sin el término de rotación, en su forma canónica.

Tema 3

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 3

Sea $V=\mathbb{R}^4$ y los subespacios: $\begin{aligned} S&=\{(x,y,z,w)\in \mathbb{R}^4\; : \; x-2y+w=0\; ; \; z+w=0\}\quad \textnormal{y}\\ T&=gen\{(1,0,0,1),(5,1,3,-3)\} \end{aligned}$ Halle una base y dimensión para $S+T$ y $S\cap T$ .

Tema 2

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 2

Se sabe que $\lambda_1 = 2$ y $\lambda_2 = -3$ son los valores propios de una matriz $A$ de tamaño $3\times 3$ y entradas reales. Además, se tiene que los respectivos espacios propios son:
$E_{\lambda_1}=gen\{(1,0,-1)\} \qquad E_{\lambda_2}=gen\{(1,0,0),(0,2,3)\}$ Determine:

a. Si $A$ es diagonalizable.

b. La matriz $A$ .

Tema 1

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. Sea $\theta\in [0,2\pi]$ fijo y $T:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ la transformación lineal cuya matriz en la base canónica es: $A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array}\end{pmatrix}$ entonces $T$ es invertible.

b. Sea $\{u_1,u_2,...,u_k\}$ un conjunto de vectores linealmente independientes y sea $S$ el subespacio generado por dicho conjunto. Si $v\notin S$ , entonces el conjunto $\{u_1,u_2,...,u_k,v\}$ también es un conjunto linealmente independiente.

c. Se sabe que las transformaciones lineales $T:\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ y $S:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ son no nulas y satisfacen que $S$ es inyectiva y $Nu(T\circ S)=\mathbb{R}^2$ . Por ello, la nulidad de $T$ es $3$ .

d. El siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución única para todo valor real de $a$ $\left\{\begin{aligned} -2x+y-z&=ax \\ -x-y&=ay \\ y-3z&=az \end{aligned}\right.$