Tema 6

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 6

Considere el siguiente teorema:

Sea V un espacio vectorial sobre un campo \mathbb{K} y sea D un subconjunto de V linealmente independiente. Si v_0 \in V es un elemento tal que v_0 \notin gen(D), entonces el conjunto D\cup \{ v_0 \} es un conjunto linealmente independiente.

A continuación, se presenta un conjunto de pasos que ordenados pertinentemente representan la demostración de este teorema. En cada círculo en blanco indique el orden que corresponda al paso adjunto para que la demostración sea expresada de manera correcta.

\bigcirc En consecuencia D\cup \{ v_0\} es un conjunto linealmente independiente.
\bigcirc Lo cual contradice la elección de v_0.
\bigcirc \alpha_0 debe ser distinto de cero, de otro modo D sería linealmente independiente, lo cual sería una contradicción.
\bigcirc Entonces existen elementos v_1,v_2,...,v_n \in D y escalares \alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n no todos iguales a cero, tales que \alpha_0 v_0+\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+...+\alpha_n v_n=0_V.
\bigcirc Así v_0=\frac{\alpha_1}{\alpha_0}v_1+\frac{\alpha_2}{\alpha_0}v_2+...+\frac{\alpha_n}{\alpha_0}v_n.
\bigcirc Suponga que el conjunto D\cup \{ v_0 \} es linealmente dependiente.

Tema 5

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 5

Sea V un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K} y sea U un conjunto no vacío de V. Demuestre que U es un subespacio de V si, y sólo si, \alpha u + v \in U para todo u,v \in V y \alpha \in \mathbb{K}.

Tema 4

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 4

Sea A=M_{4\times 4}{(\mathbb{R})}, si sus subespacios propios son:\begin{aligned} L_1&=gen\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\w \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 \ : \ \begin{aligned} 8x+y+z+4w&=0\\4x+y+z+2w&=0\\4x+z+2w&=0 \end{aligned} \end{Bmatrix} \\ \\L_2&=gen\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} \begin{array}{r} -1\\0\\1\\0 \end{array} \end{pmatrix} \end{Bmatrix}\\ \\ L_3&=gen\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{Bmatrix} \end{aligned}a) Determine si A es diagonalizable.
b) ¿Es A es una matriz simétrica? Justifique su respuesta.

Tema 3

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 3

De ser posible, construya una transformación lineal T de P_2(\mathbb{R}) en \mathbb{R}^3 tal que \; T\begin{pmatrix} x^2+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1\\-1\\0 \end{array} \end{pmatrix} y \; T\begin{pmatrix} x+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0\\2\\1 \end{array} \end{pmatrix} .

Tema 2

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Tercera Evaluación Evaluación | Tema 2

Sea V=P_3(\mathbb{R}) el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 3, con coeficientes reales. Considere los conjuntos H_1=\{ p\in V\ {:}\ p'(1)=0\} y H_2=gen\{ x-1,x^2-3x \}.

a) Determine una base para el subespacio H_1\cap H_2.
b) Determine una base para el subespacio H_1 + H_2.

Tema 1

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 1

A continuación se presentan cuatro enunciados cada uno de los cuales tienen cuatro posibles opciones de respuesta (más de una puede ser correcta en cada caso). Rellene el círculo de aquella o aquellas opciones correctas.

Literal a. Sean V un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K}. Es cierto que:

\bigcirc Si W_1 y W_2 son subconjuntos de V entonces ( W_1 \cap W_2 ) es un subespacio.
\bigcirc Si W_1, W_2 y W_3 son subespacios de V entonces (W_1 \cap W_2) + W_3 es un subespacio de V.
\bigcirc Si \mathbb{K}=\mathbb{R} y para cada número complejo a+bi se define (a+bi)v=av entonces con esta nueva multiplicación por escalar, V es un espacio vectorial complejo.
\bigcirc Si W_1 y W_2 son subespacios de V entonces W_1+W_2 es el menor subespacio de V que contiene a W_1 \cup W_2.

Literal b. Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita, definidos sobre un mismo campo \mathbb{K}. Si B=\{ u_1,u_2,...,u_n \} es una base del espacio V, entonces es cierto que:

\bigcirc Existe una única transformación lineal tal que T(u_1)=T(u_2)=...=T(u_n).
\bigcirc Si T:V\longrightarrow W y G:V\longrightarrow W son dos transformaciones lineales entonces T\circ G es una transformación lineal.
\bigcirc Si T:V\longrightarrow W y G:V\longrightarrow W son dos transformaciones lineales entonces T+G es una transformación lineal.
\bigcirc T es un isomorfismo sí, y solo si, \{ T(u_1),T(u_2),...,T(u_n) \} es una base de W.

Literal c. Sea V un espacio vectorial, de dimensión finita, definido sobre un campo \mathbb{K}. Suponga que {\langle \cdotp | \cdotp \rangle} define un producto interno en V. Es cierto que:

\bigcirc {\langle v | v \rangle} puede ser un número complejo.
\bigcirc d(x,y)\le d(z,x)+d(y,z).
\bigcirc Si S es un conjunto ortonormal de vectores en V, entonces S es un conjunto linealmente independiente.
\bigcirc Si S es un conjunto ortogonal de vectores en V, entonces S es un conjunto linealmente independiente.

Literal d. Sean u_1 y u_2 dos vectores propios de la matriz A\in M_n(\mathbb{R}) asociada a los autovalores \lambda_1 y \lambda_2 respectivamente. Es cierto que:

\bigcirc u_1-u_2 es vector propio asociado a A.
\bigcirc \{ u_1,u_2 \} es un conjunto linealmente independiente en \mathbb{R}^n.
\bigcirc Si A es una matriz simétrica, existe un escalar \alpha tal que u_1=\alpha u_2.
\bigcirc Si A es una matriz simétrica y \lambda_1 \neq \lambda_2 entonces \{ u_1,u_2 \} es un conjunto ortogonal.

Tema 6

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 6

Sea (V,{\langle \cdotp | \cdotp \rangle}) un espacio con producto interno definido sobre un campo \mathbb{K} y sea W un subespacio de V. Demuestre que el complemento ortogonal de W, W^{\perp}, es un subespacio de V y determine el conjunto W\cap W^{\perp}.

Tema 5

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 5

Considere el siguiente teorema: Si V y U son dos espacios vectoriales sobre un campo \mathbb{K}, V de dimensión finita y L:V\longrightarrow U una transformación lineal, entoncesRango\,(L)+Nulidad\,(L)=dim\,(V)
A continuación, se presenta un conjunto de pasos que ordenados pertinentemente representan la demostración de este teorema para el caso en que k=Nulidad\,(L)<dim\,(V)=n. En cada círculo en blanco indique el orden que corresponda al paso adjunto para que la demostración sea expresada de manera correcta.

\bigcirc Si u\in Im\,(L), entonces existe un vector v\in V tal que L(v)=u y v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+...+\alpha_n v_n con \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n \in \mathbb{K}.
\bigcirc Se obtiene entonces que
{Rango\,(L)+Nulidad\,(L)=(n-k)+k=n=dim\,(V)}.
\bigcirc Sea B_1=\{v_1,v_2,...,v_k\} una base para el Ker\,(L).
\bigcirc T debe ser inyectiva.
\bigcirc Existen entonces c_1,c_2,...,c_k\in \mathbb{K} tales que \gamma_{k+1}v_{k+1}+...+\gamma_{n}v_{n}=c_1 v_1+c_2 v_2 +...+c_k v_k, de donde c_1 v_1 + c_2 v_2 +...+c_k v_k -\gamma_{k+1}v_{k+1}-...-\gamma_{n}v_{n}=0_V.
\bigcirc Se pueden elegir vectores v_{k+1},v_{k+2},...,v_{n} tales que B=\{v_1,v_2,...,v_n\} sea una base para V.
\bigcirc Se tiene entonces que c_1=c_2=...=c_k=\gamma_{k+1}=...=\gamma_n=0 por lo tanto \{ L(v_{k+1}),...,L(v_n) \} es linealmente independiente y base de Im(L).
\bigcirc Si \gamma_{k+1}L(v_{k+1})+...+\gamma_{n}L(v_{n})=0_U se tiene que L(\gamma_{k+1}v_{k+1}+...+\gamma_{n}v_n)=0_U, esto es \gamma_{k+1}v_{k+1}+...+\gamma_{n}v_n\in Ker(L).
\bigcirc Luego, u=\alpha_{k+1}L(v_{k+1})+...+\alpha_n L(v_n), por lo tanto \{ L(v_{k+1}),...,L(v_n) \} genera a Im(L).

Tema 4

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 4

Demuestre que si V es un espacio vectorial sobre un campo \mathbb{K}, con producto interno {\langle \cdotp | \cdotp \rangle}, entonces para todo a\in \mathbb{K} y v_1,v_2,v_3\in V se tiene que {\langle v_1 | \alpha v_2+v_3 \rangle}=\overline{\alpha}{\langle v_1 | v_2 \rangle}+{\langle v_1 | v_3 \rangle}.

Tema 3

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 3

Determine los valores de la constante a para los cuales la matriz real \footnotesize{\begin{pmatrix}\begin{array} {rcr} 1&a&a \\ -1&1&-1 \\ 1&0&2 \end{array}\end{pmatrix}} sea diagonalizable.