Tema 5

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 5

Sean B_1=\{v_1,v_2,v_3\} y B_2=\{u_1,u_2,u_3\} bases del espacio vectorial V=\mathbb{P}_2. Suponga que:\begin{aligned}[x^2-x]_{B_1} &= (1,1,0)\\ {[x+1]_{B_1}}&=(0,1,0) \\ {[2x^2+1]_{B_1}}&=(1,-1,0) \\ {[u_1+u_2]_{B_1}}&=(3,1,1) \\{[u_2+u_3]_{B_1}}&=(5,2,0) \\{[u_3]_{B_1}}&=(3,0,0) \end{aligned}Encuentre los vectores de ambas bases.

Tema 4

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 4

Para la ecuación -2x^2+4xy+y^2+2x-1=0. Identifique la cónica que corresponde, indicando el ángulo de rotación y su ecuación, sin el término de rotación, en su forma canónica.

Tema 3

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 3

Sea V=\mathbb{R}^4 y los subespacios:\begin{aligned} S&=\{(x,y,z,w)\in \mathbb{R}^4\; : \; x-2y+w=0\; ; \; z+w=0\}\quad \textnormal{y}\\ T&=gen\{(1,0,0,1),(5,1,3,-3)\} \end{aligned}Halle una base y dimensión para S+T y S\cap T.

Tema 2

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 2

Se sabe que \lambda_1 = 2 y \lambda_2 = -3 son los valores propios de una matriz A de tamaño 3\times 3 y entradas reales. Además, se tiene que los respectivos espacios propios son:
E_{\lambda_1}=gen\{(1,0,-1)\} \qquad E_{\lambda_2}=gen\{(1,0,0),(0,2,3)\}Determine:

a. Si A es diagonalizable.

b. La matriz A.

Tema 1

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. Sea \theta\in [0,2\pi] fijo y T:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2 la transformación lineal cuya matriz en la base canónica es:A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array}\end{pmatrix}entonces T es invertible.

b. Sea \{u_1,u_2,...,u_k\} un conjunto de vectores linealmente independientes y sea S el subespacio generado por dicho conjunto. Si v\notin S, entonces el conjunto \{u_1,u_2,...,u_k,v\} también es un conjunto linealmente independiente.

c. Se sabe que las transformaciones lineales T:\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^2 y S:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3 son no nulas y satisfacen que S es inyectiva y Nu(T\circ S)=\mathbb{R}^2. Por ello, la nulidad de T es 3.

d. El siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución única para todo valor real de a\left\{\begin{aligned} -2x+y-z&=ax \\ -x-y&=ay \\ y-3z&=az \end{aligned}\right.

Tema 4

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 4

Sea V=\mathbb{R}^3 y sea H el subespacio de Vdefinido como H=gen\left\{ \begin{pmatrix}\begin{array} {r} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\begin{array} {r} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\begin{array} {r} 0 \\ 1\\ -1 \end{array}\end{pmatrix} \right\} \quad y \quad x=\begin{pmatrix}\begin{array} {r} 1 \\ 3\\ 2 \end{array}\end{pmatrix}usando el producto interno canónico o estándar, halle:

a. El complemento ortogonal de H.

b. Una base ortonormal de H.

c. La proyección ortogonal de x sobre H.

Tema 3

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 3

Determine los valores propios y vectores propios de la matriz A y además la matriz ortogonal que permite la diagonalización de la matriz A.A=\begin{pmatrix}\begin{array} {rrrr} 1&-2&0&0 \\ -2&1&0&0 \\ 0&0&1&-2 \\ 0&0&-2&1 \end{array}\end{pmatrix}

Tema 2

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 2

Construya de ser posible un operador lineal T:\mathbb{R}^4\longrightarrow \mathbb{R}^4, tal que el espacio propio asociado al valor propio \lambda=0 seaW=\left\{ \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}\begin{array} {r} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{array}\end{pmatrix} \right\}y ademásT\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \quad ; \quad T\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\begin{array} {r} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{array}\end{pmatrix}

Tema 1

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. La matriz que se muestra es diagonalizable para todo c\in \mathbb{R}.\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&2\\0&0&c\end{pmatrix}

b. Si B es una matriz de orden n semejante a una matriz A de orden n y diagonalizable, entonces B es diagonalizable.

c. Sea V un espacio vectorial con producto interno. Sean u, v y w vectores de V. Si \langle u,w \rangle=\langle v,w \rangle, entonces u=v.
Nota: \langle u,w \rangle denota el producto interno en V.

d. Sea T:V \longrightarrow W una transformación lineal. Si dim \; V=dim \; W=n y T es sobreyectiva, entonces T es inyectiva.

Tema 4

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 4

Considere \mathbb{P}_3, el espacio vectorial de todos los polinomios de grado menor o igual a 3, con el producto interno definido por:\footnotesize{\langle a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3,b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3 \rangle=a_3b_3+2a_2b_2+4a_1b_1+a_0b_0}Considere además la transformación T:\mathbb{P}_3 \longrightarrow \mathbb{P}_3 definida por T(p)=p(-1)+p(0)x^2.

a. Determine una base para la imagen de T.

b. Determine una base para el complemento ortogonal del núcleo de la transformación lineal T.

c. Encuentre la proyección ortogonal de r(x)=3x^3+2x^2+x+1 sobre el núcleo de T.