Tema 4

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 4

Se define la función T:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^2 por T(a)=(a-2,a), entre los espacios vectoriales reales (\mathbb{R},\oplus,\odot) y (\mathbb{R}^2,\boxplus,\boxdot), cuyas operaciones están definida por:\begin{aligned} a\oplus b &= a+b-1 , \forall a,b\in \mathbb{R}\\ k\odot a &= ka-k+1 , \forall k\in \mathbb{K}\enspace \forall a\in \mathbb{R} \\ (a_1,b_1)\boxplus (a_2,b_2) &= (a_1+a_2+1,b_1+b_2-1), \forall (a_1,b_1),(a_2,b_2)\in \mathbb{R}^2 \\ k\boxdot(a,b) &= (ka+k-1,kb-k+1), \forall k\in \mathbb{K}\enspace \forall (a,b)\in \mathbb{R}^2 \end{aligned}Determine, de ser posible:

a) Si T(a\oplus b)=T(a)\boxplus T(b), \forall a,b\in \mathbb{R}.
b) Si T(\lambda \odot a)=\lambda \boxdot T(a), \forall \lambda, a\in \mathbb{R}.
c) El elemento neutro de la adición en \mathbb{R}.
d) El elemento neutro de la adición en \mathbb{R}^2.
e) La imagen del elemento neutro de la adición en \mathbb{R}.
f) Si T es una transformación lineal.

Tema 3

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 3

Sea \mathcal{P}_2(\mathbb{R}) el espacio vectorial real de todos los polinomios de grado menor o igual a 2, con entradas reales y las operaciones usuales. Sean a un número real fijo, B_1=\{1,x,x^2 \} la base canónica y B_2=\{ 1,x+a,(x+a)^2 \}.

a) Verifique que B_2 es una base para \mathcal{P}_2(\mathbb{R}).
b) Determine la matriz de cambio de base de B_1 a B_2.

Tema 2

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 2

Sea V=M_2(\mathbb{R}) el espacio vectorial real, de todas las matrices cuadradas de orden 2, con entradas reales y las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar para matrices. Sean \small{H=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} : a-b-c-d=0 \end{Bmatrix}} y \small{W=gen\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&0\\1&1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix}} dos subespacios de M_2(\mathbb{R}). Determine, de ser posible:

a) Si \begin{pmatrix} 0&0\\0&1 \end{pmatrix} \in H+W.
b) Bases B_{H\cap W}, B_{H+W} y B_V para los subespacios H\cap W, H+W y V, respectivamente; de tal forma que B_{H\cap W}\subseteq B_{B+W} \subseteq B_V.

Tema 1

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 1

A continuación encontrará cuatro afirmaciones. Indique, rellenando el círculo correspondientemente, cual de ellas es verdadera o falsa. En cada caso, justifique su respuesta bien sea presentando alguna demostración, contraejemplo o cálculo.

a. Dado el sistema de ecuaciones lineales \scriptsize{\begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 0&a-2&0 \\ 0&0&a-2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ b+1 \\ 0 \end{pmatrix}}. Si a=2 entonces el sistema siempre tendrá infinitas soluciones. V
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F
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b. Si (V,+,\cdot) y (W,\oplus,\bigodot) son dos espacios vectoriales definidos sobre un mismo campo \mathbb{K}, T:V\longrightarrow W es una transformación lineal y U es un subespacio vectorial de W entonces H=\{ v\in V : T(v)\in U \} es un subespacio de V. V
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F
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c. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita y B una base de V. Entonces las coordenadas de un vector v\in V en un espacio vectorial respecto a la base B son únicas. V
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F
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d. El espacio nulo de la matriz \scriptsize{A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 2&4&6 \\ 0&-2&2 \\ 3&3&12 \end{array} \end{pmatrix} } es \{ (-5t,t,t) : t\in \mathbb{R} \}. V
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e. El vector \scriptsize{A=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \end{pmatrix} } pertenece al espacio columna de la matriz \scriptsize{A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 2&-4&0&0 \\ -1&2&0&0 \\ 0&0&1&2 \end{array} \end{pmatrix} }. V
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