Tema 4

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 4

Considere la función T:P_1(\mathbb{R})\longrightarrow \mathbb{R}^3 definida por T(ax+b)=(a+2b,a-b,b), donde P_1(\mathbb{R}) denota el espacio vectorial real de todos los polinomios de grado menor o igual a 1, con las operaciones usuales.

a. Verifique que T es una transformación lineal.
b. Considere las bases B_{\mathbb{R}^3}=\{ (1,0,0),(1,1,0),(0,1,1) \} y B_{P_1(\mathbb{R})}=\{ 1,x+1 \} de P_1(\mathbb{R}) y \mathbb{R}^3 respectivamente, construya la matriz asociada a la transformación lineal de la base B_{P_1(\mathbb{R})} a la base B_{\mathbb{R}^3}.

Tema 3

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 3

Sea A una matriz cuadrada de orden 3, con entradas reales y cuyos subespacios propios son E_{\lambda_1}=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \ :\ x+y=0\ ,\ z=0 \} y E_{\lambda_2}=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \ :\ x-y-2z=0 \}. Determine:

a. Una base para E_{\lambda_1}.
b. Una base para E_{\lambda_2}.
c. Si la matriz A es diagonalizable.
d. Si la matriz A es diagonalizable ortogonalmente.
e. El complemento ortogonal de E_{\lambda_2}, considerando en \mathbb{R}^3 el producto interno canónico.

Tema 2

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 2

Dado el sistema de ecuaciones\left \lbrace \begin{alignedat}{3} &x + &3&y+&&z = 2 \\ &x + &2&y-&5&z = 4 \\ 2&x + &5&y-&{a^2}&z = a+4 \end{alignedat}\right.determine de ser posible:

a. El valor de a tal que el sistema tenga solución única.
b. El valor de a tal que el sistema tenga infinitas soluciones.
c. El valor de a tal que el sistema no tenga solución.

Tema 5

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 5

Sea T:V\longrightarrow U una transformación lineal entre los espacios vectoriales V y U. Suponga que V es de dimensión finita y que T no es inyectiva. Demuestre que dim(V) es igual a la suma de las dimensiones de la imagen de T y la dimensión de su núcleo. Esto es, dim(V)=dim(Imagen(T))+dim(Ker(T)).

Tema 1

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 1

A continuación encontrará diez afirmaciones. Indique, rellenando el círculo adjunto, cuáles de ellas es son verdaderas. Cada respuesta incorrecta eliminará una respuesta correcta.

a. Si (V,+,\cdot) es un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K} y v_1, v_2 y v_3 son vectores de V, entonces el conjunto formado por todas las combinaciones lineales de los vectores v_1, v_2 y v_3 forman un subespacio de V. \bigcirc
b. Si (V,+,\cdot) es un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K}. Se dice que el conjunto B=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es una base de V si B es un conjunto linealmente independiente. \bigcirc
c. Sean u_1 y u_2 dos vectores propios de la matriz A asociados al autovalor \lambda, entonces u_1 y u_2 deben ser vectores ortogonales. \bigcirc
d. Si T:V\longrightarrow W es una transformación lineal inyectiva, entonces V y W deben tener la misma dimensión. \bigcirc
e. Si (V,+,\cdot) es un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K} y W_1 y W_2 son dos subespacios de V de dimensión finita, entonces \footnotesize{dim(W_1+W_2)+dim(W_1\cap W_2)=dim(W_1)+dim(W_2)}. \bigcirc
f. Sean U y V espacios vectoriales definidos sobre un mismo campo \mathbb{K}. Si B=\{ v_1,v_2,v_3 \} es una base de V junto con u_1 y u_2 vectores en U, entonces existe una unica transforamción lineal T:V\longrightarrow U tal que T(v_1)=u_1, T(v_2)=u_2 y T(v_3)=\bold{0}_U. \bigcirc
g. Si S es un conjunto ortogonal de vectores no nulos en un espacio vectorial V, sobre el cual se ha definido un producto interno, entonces S es un conjunto linealmente independiente en V. \bigcirc
h. Si T:V\longrightarrow W es una transformación lineal y B=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es una base de V, entonces \{ T(v_1),T(v_2),...,T(v_n) \} es una base de la imagen de T. \bigcirc
i. Si A es una matriz cuadrada de entradas reales, entonces todos sus valores propios serán números reales distintos de cero. \bigcirc
j. Sea A es una matriz cuadrada de orden cinco con \lambda_1 y \lambda_2 valores propios diferentes, entonces A es diagonalizable si y solo si dim(E_{\lambda_1})+dim(E_{\lambda_2})=5, donde E_{\lambda_i}, denota el espacio propio asociado a \lambda_i. \bigcirc

Tema 4

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 4

Dada la matriz A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1&a&-2\\0&b&0\\ -c&0&4 \end{array} \end{pmatrix} determine, de ser posible:

a. Los valores de a, b y c para que A sea una matriz simétrica y \lambda=5 sea un valor propio asociado al vector propio \begin{pmatrix} \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \end{pmatrix} de A.
b. Una base ortonormal de \mathbb{R}^3 conformada por vectores propios de A.
c. Las matrices D y P tales que D=P^TAP.

Tema 3

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 3

Sea V el espacio vectorial real de todas las matrices cuadradas de orden 2, con las operaciones usuales. Se define, en V, el producto interno \langle A|B \rangle=tr(B^T A) (esto es, la traza del producto entre la transpuesta de la matriz B y la matriz A). Considerando el subespacio H=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} \begin{array}{cc} a&b\\b&c \end{array}\end{pmatrix} : a+c=0 \, , \, \forall a,b,c\in \mathbb{R} \end{Bmatrix}de V, determine:

a. Una base ortonormal para H.
b. El complemento ortogonal de H
c. La proyección del vector \begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1&2\\2&-1 \end{array} \end{pmatrix} sobre H.

Tema 2

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 2

Sea T:\mathbb{R}^3 \longrightarrow P_2(\mathbb{R}) una transformación lineal cuya regla de correspondencia es T(a,b,c)=(a+b+kc)x^2+(a-b)x+a-c. Determine, de ser posible, los valores de k tal que T sea un isomorfismo.

Tema 5

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 5

Sea V un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K} con producto interno \langle \cdot|\cdot \rangle. Si \mathcal{A}=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es un conjunto de vectores en V, la matriz de Gram de \mathcal{A} es la matriz de todos los productos internos de los vectores de esta lista. Esto es M_{\mathcal{A}}=(a_{ij})^n_{i,j=1} tal que a_{ij}=\langle v_i|v_j \rangle.

a. Si V es el espacio vectorial \mathbb{C}^2, con las operaciones usuales y el producto interno \langle (x_1,y_1)|(x_2,y_2) \rangle = x_1 \bar{x}_2 + y_2 \bar{y}_2, determine la matriz de Gram de \mathcal{A}=\{ (1,i),(i,1) \}.
b. Indique si son verdaderas o falsas cada una de las siguientes afirmaciones, justificando brevemente su respuesta:

i. Si V es un espacio vectorial real, entonces M_{\mathcal{A}} es una matriz simétrica.
ii. Si \mathcal{A} es una lista de vectores ortogonales, entonces su matriz de Gram es diagonal.

Tema 1

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 1

A continuación encontrará cinco afirmaciones. Indique, rellenando el círculo correspondiente, si la proposición es verdadera o falsa y en cada caso demuestre si la proposición es verdadera o construya un contraejemplo si la proposición es falsa.

a. Si A y B son matrices con los mismos valores propios y las mismas multiplicidades, entonces A y B son semejantes. V
\bigcirc
F
\bigcirc
b. Sea V un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K}, con producto interno \langle \cdot|\cdot \rangle. Si S=\{ v_1,v_2,v_3 \} es un conjunto ortogonal, formado por vectores no nulos, entonces S es un conjunto linealmente independiente. V
\bigcirc
F
\bigcirc
c. Si T:V \longrightarrow W es una transformación lineal, U un subespacio de W, entonces H=\{ v\in V : T(v) \in U \} es un subespacio de V. V
\bigcirc
F
\bigcirc
d. Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces A es diagonalizable si y sólo si es simétrica. V
\bigcirc
F
\bigcirc
e. Haciendo uso de formas cuadráticas, se puede verificar que x^2+4xy+y^2=9 corresponde a la ecuación de una elipse en el plano. V
\bigcirc
F
\bigcirc