Sea el sistema de ecuaciones lineales\left\{ \begin{aligned} x+y+z&=a \\ x+2y-z&=b \\ x+y-z&=c \end{aligned} \right.Considere al sistema como el modelo AX=B, siendoB=\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}Determine qué valores deben tomar los elementos del vector B para que el sistema de ecuaciones lineales sea consistente.
Sean las matrices A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rr}1&2\\-1&1 \end{array} \end{pmatrix} y B=\begin{pmatrix} \begin{array}{rr}0&-1\\1&2 \end{array} \end{pmatrix}, encuentre la matriz X tal que (AX^T+B)^T=X.
Un nutricionista considera que una persona en su dieta debe de consumir diariamente trece unidades de carbohidratos, veintidós de proteínas, y treinta y uno de grasas. Un restaurante lanza tres tipos de platos. El plato uno contiene una unidad de carbohidrato, una unidad de proteína y una unidad de grasa, El plato 2 contiene una unidad de carbohidrato, dos unidades de proteínas y tres unidades de grasas. El plato tres contiene cuatro unidades de carbohidratos, siete de proteínas y diez de grasas. Encuentre las distintas combinaciones de platos (uno, dos y tres) que debería consumir una persona en el día para que complete los niveles de carbohidratos, proteínas y grasas que sugiere el nutricionista en una dieta diaria. Las personas no aceptan servirse fracciones de platos.
Sea el espacio vectorial V=M_{2\times 2}. Sean los subespacios vectoriales\begin{aligned}H&=\left\{ \left(\begin{array}{rr}a & b \\c & d \end{array} \right) \in \mathbb{M}_{2\times 2}\; ;\; c=2a-b\; \land \; d=a-b \right\}\\W& =gen \left\{ \left(\begin{array}{rr}1 & -1 \\5 & 1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{rr}2 & 2 \\2 & 1 \end{array} \right) \right\} \end{aligned}
a. Halle H\cap W y H+W.
b. ¿Pertenece el vector A=\left(\begin{array}{rr}9 & 8 \\7 & 5 \end{array}\right) al subespacio H+W? Justifique su respuesta.
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.
a. Si p(x)=2x^2+x y {[p(x)]}_B=\begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}, entonces B es la base canónica \{ x^2,x,1 \}.
b. Sea V=\mathbb{R}^3. Se define el subconjunto H de V comoH=\left\{ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^3\; ; \; x^2+y^2+z^2 \le 0 \right\}Entonces H es un subespacio vectorial de V.
c. Sea V el espacio vectorial de las funciones continuas definidas sobre el conjunto de los números reales. Sea H el subespacio vectorial generado por el conjunto de vectores \{ 1,\cos x,\sin x \}, entonces el vector u=\tan x pertenece al subespacio vectorial H.
d. Sean A y B dos matrices de cambio de base en un espacio vectorial V, entonces se cumple que det(A+B)\ne 0.
