Sea T una función definida sobre C^2{[a,b]} como:\begin{aligned}T&:\ C^2{[a,b]} \rightarrow C^2{[a,b]} \\ T(f)&=f''+2f'+f \end{aligned}Determine si T es una transformación lineal.
Califique como verdadero o falso y justifique su respuesta.
a. Sea V un espacio vectorial. Sea S un conjunto linealmente independiente en V. Si w es un vector no nulo de V, entonces S\cup \{w\} es también un conjunto linealmente independiente en V.
b. Sea S=\{v_1,v_2,\cdots,v_k\} un conjunto generador del espacio vectorial. Si se añade un vector v_{k+1} que es combinación lineal de los vectores de S, entonces el conjunto S'=\{v_1,v_2,\cdots,v_k,v_{k+1}\} NO es un conjunto generador de V.
Sea una base B=\left\{v_1,v_2,v_3,v_4\right\} del espacio vectorial V, se definen los siguientes subespacios vectoriales:\begin{aligned}H&=gen\left\{v_1-v_2+v_3,2v_2-v_3\right\}\\W&=gen\left\{v_1+v_2+v_4,v_4-v_1\right\}\end{aligned}Determine H\cap W, H+W y sus respectivas dimensiones.
Para la matriz A. Obtenga el valor de k para que la dimensión de la imagen de A sea 3. ¿Y para que la dim(Im(A))=1? En ambos casos justifique su respuesta.\small{A=\left(\begin{array}{rrrr} 1&1&2&4 \\ 2&k&4&8 \\ 0&0&8&16 \end{array}\right)}
Considere las bases ordenadas del espacio vectorial V=D_{2\times 2} que se indican a continuación:\small{B_1=\left\{ \left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)\right\} \quad B_2=\left\{ \left(\begin{array}{rr} 4 & 0\\ 0 & -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{rr} -4 & 0 \\ 0 & -3 \end{array}\right)\right\}}a. Si \small{A=\left(\begin{array}{rr} 5 & 0\\ 0 & -2 \end{array}\right)}, determine \left[A\right]_{B_1}.
b. Determine la matriz (de transición) de cambio de base de B_1 a B_2.
Un grupo de personas se reúnen para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Si se cuentan los hombres y mujeres, resulta ser el triple de niños. Además, si hubiese acudido una mujer más, su número iguala al de hombres. Hallar el número de hombres, mujeres y niños que han ido a la excursión.
