Sean B_1=\{v_1,v_2,v_3\} y B_2=\{u_1,u_2,u_3\} bases del espacio vectorial V=\mathbb{P}_2. Suponga que:\begin{aligned}[x^2-x]_{B_1} &= (1,1,0)\\ {[x+1]_{B_1}}&=(0,1,0) \\ {[2x^2+1]_{B_1}}&=(1,-1,0) \\ {[u_1+u_2]_{B_1}}&=(3,1,1) \\{[u_2+u_3]_{B_1}}&=(5,2,0) \\{[u_3]_{B_1}}&=(3,0,0) \end{aligned}Encuentre los vectores de ambas bases.
Para la ecuación -2x^2+4xy+y^2+2x-1=0. Identifique la cónica que corresponde, indicando el ángulo de rotación y su ecuación, sin el término de rotación, en su forma canónica.
Sea V=\mathbb{R}^4 y los subespacios:\begin{aligned} S&=\{(x,y,z,w)\in \mathbb{R}^4\; : \; x-2y+w=0\; ; \; z+w=0\}\quad \textnormal{y}\\ T&=gen\{(1,0,0,1),(5,1,3,-3)\} \end{aligned}Halle una base y dimensión para S+T y S\cap T.
Se sabe que \lambda_1 = 2 y \lambda_2 = -3 son los valores propios de una matriz A de tamaño 3\times 3 y entradas reales. Además, se tiene que los respectivos espacios propios son:
E_{\lambda_1}=gen\{(1,0,-1)\} \qquad E_{\lambda_2}=gen\{(1,0,0),(0,2,3)\}Determine:
a. Si A es diagonalizable.
b. La matriz A.
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.
a. Sea \theta\in [0,2\pi] fijo y T:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2 la transformación lineal cuya matriz en la base canónica es:A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array}\end{pmatrix}entonces T es invertible.
b. Sea \{u_1,u_2,...,u_k\} un conjunto de vectores linealmente independientes y sea S el subespacio generado por dicho conjunto. Si v\notin S, entonces el conjunto \{u_1,u_2,...,u_k,v\} también es un conjunto linealmente independiente.
c. Se sabe que las transformaciones lineales T:\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^2 y S:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3 son no nulas y satisfacen que S es inyectiva y Nu(T\circ S)=\mathbb{R}^2. Por ello, la nulidad de T es 3.
d. El siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución única para todo valor real de a\left\{\begin{aligned} -2x+y-z&=ax \\ -x-y&=ay \\ y-3z&=az \end{aligned}\right.
