Dada la matriz A=\small{\begin{pmatrix}2a-b & 0 & 2a-2b\\ 1 & a & 2 \\ b-a & 0 & -a+2b\end{pmatrix}}. Determine, de ser posible, los valores de a y b para que A sea una matriz diagonalizable.
En el espacio de la matrices de entradas reales y orden 2, M_{2\times 2}(\mathbb{R}), se define el producto interno \langle A,B \rangle = Tr(B^T A). Sea H=\{A\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})\;:\;Tr(A)=0\}.
a. Sean A=\small{\begin{pmatrix}k-2 & 0\\ 1 & s+2\end{pmatrix}} y B=\small{\begin{pmatrix}2 & 10\\ 0 & -2\end{pmatrix}}\in H. Determine, de ser posible, los valores de s y k para que A y B sean matrices ortogonales.
b. Encuentre H^{\perp}.
c. Encuentre la proyección de B sobre H^{\perp}, es decir, Proy_{H^{\perp}}B.
Si T:\mathbb{P}_2\longrightarrow \mathbb{R}^4 es una transformación lineal del espacio de polinomios de grado menor o igual que 2 en \mathbb{R}^4, tal que[T]_{B_1 B_2}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1\end{pmatrix}siendo B_1=\left\{x^2 - x + 1,\;x+2,\;1 \right\} y B_2=\scriptsize{\left\{ \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\right\}}.
Determinar:
a. T(x^2),\; T(x),\; T(1).
b. T(ax^2+bx+c), para a,b,c \in \mathbb{R}.
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.
a. Si A es una matriz de orden n\times n con valor propio cero, entonces A es una matriz singular (no invertible).
b. Sean V un espacio vectorial con producto interno y v_1, v_2\in V. Si v_1 y v_2 son dos vectores ortogonales, entonces [v_1, v_2] es un conjunto linealmente independiente de V.
c. Sea T:V \longrightarrow W una transformación lineal. Si dim\; V=dim\;W=n y T es sobreyectiva, entonces T es un isomorfismo.
d. Sea V un espacio vectorial con producto interno y sean A, B subconjuntos de V tales que 0_v\in A\cap B, entonces {(A+B)}^{\perp}=A^{\perp}\cap B^{\perp}.
