Construya, de ser posible, una transformación lineal T:M_{2\times 2}\longrightarrow \mathbb{R}^3 tal que el núcleo de T sea el conjunto de matrices simétricas de tamaño 2\times 2, yT\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 0&1\\-1&0 \end{array} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1\\0\\1 \end{array} \end{pmatrix}.
A continuación se presentan cuatro enunciados, cada uno de los cuales tienen cuatro posibles opciones correctas (más de una puede ser correcta en cada caso). Marque, con una X, aquella o aquellas opciones correctas.
Literal a. Sea T:V\longrightarrow W una transformación lineal. Si dim{V}=n y dim{W}=n-1, es cierto que:
a.1. T debe ser sobreyectiva.
a.2. T(\textbf{0}_V)=\textbf{0}_W.
a.3. Si \{v_1,v_2,...,v_n\} es un conjunto linealmente independiente en V, entonces no necesariamente \{T(v_1),T(v_2),...,T(v_n)\} es un conjunto linealmente independiente de W.
a.4. El rango de T es menor o igual a n-1.
Literal b. Si u y v son vectores ortogonales de un espacio real, entonces es cierto que:
b.1. \lVert u+v\rVert^2=\lVert u\rVert^2+\lVert v\rVert^2.
b.2. u y v son linealmente independientes.
b.3. 3u y -4v son ortogonales.
b.4. u y u+v no pueden ser ortogonales.
Literal c. Sea A una matriz cuadrada de orden n en un campo \mathbb{R}, entonces es cierto que:
c.1. A y A^T tienen el mismo polinomio característico.
c.2. Si A es ortogonalmente diagonalizable, entonces es simétrica.
c.3. \lambda es un autovalor de A sí, y solo sí, \lambda es una raíz del polinomio característico de A.
c.4. La multiplicidad algebraica de un autovalor \lambda se define como la dimensión del autoespacio E_{\lambda}.
Literal d. Sea A una matriz cuadrada diagonalizable de orden n con entradas en un campo \mathbb{K} es cierto que:
d.1. A tiene n autovectores linealmente independientes.
d.2. A tiene n autovectores diferentes.
d.3. A debe se una matriz simétrica.
d.4. Existen matrices cuadradas P y D tales que A=P^{-1}DP.
Sean B_1=\{v_1,v_2,v_3\} y B_2=\{u_1,u_2,u_3\} bases ordenadas del espacio vectorial V. Suponga que:\begin{array} {rrr} {[\cos^2 x]_{B_1}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1\\1\\1 \end{array} \end{pmatrix}} & {[\sin x]_{B_1}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1\\0\\1 \end{array} \end{pmatrix}} \\ \\ {[\sin^2 x]_{B_1}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0\\2\\1 \end{array} \end{pmatrix}} \\ \\ {[u_1 - u_2]_{B_1}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0\\1\\1 \end{array} \end{pmatrix}} & {[u_1 + u_2]_{B_1}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} -2\\1\\-1 \end{array} \end{pmatrix}} \\ \\ {[u_1 + u_2 + u_3]_{B_1}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 2\\0\\-1 \end{array} \end{pmatrix}} \end{array}Determine:
5.1. La matriz de cambio de base de B_2 a B_1.
5.2. Los vectores de la base B_1.
5.3. Los vectores de la base B_2
Sea \mathbb{M_{2\times 2}}(\mathbb{R}) el espacio vectorial real de las matrices de orden 2\times 2 con entradas reales. Sea S el subconjunto de todas las matrices en \mathbb{M_{2\times 2}}(\mathbb{R}) cuya suma de los elementos de cada fila es cero y la suma de los elementos de cada columna es cero. Demuestre que S es un subespacio de \mathbb{M_{2\times 2}}(\mathbb{R}).
Sea \mathbb{P_3}(\mathbb{R}) el espacio vectorial de los polinomios de coeficientes reales de grado menor o igual a 3. Considere H y W subespacios de V tales que H=gen\{x^2-1,x^3\} y W=gen\{5,x^3-x^2\}.Determine:
3.1. Una base B_1 para el subespacio H\cap W e indique su dimensión.
3.2. Una base B_2 para el subespacio H + W.
3.3. Una base para \mathbb{P_3}(\mathbb{R}) que contenga a B_2.
3.4. Si el vector 1-x+x^2-2x^3 pertenece a H+W.
El estadio de Kaliningrado (Arena Baltika) en Rusia, con capacidad para setenta y dos mil espectadores1, está lleno durante la celebración del partido entre Inglaterra y Bélgica. Unos espectadores son hinchas del equipo de Inglaterra, otros del equipo de Bélgica y el resto no son hinchas de ningún equipo. A través de la venta de boletos se sabe lo siguiente:
No hay espectadores que sean hinchas de los dos equipos simultáneamente.
Por cada trece hinchas de alguno de los dos equipos hay tres espectadores que no son hinchas.
Los hinchas del equipo de Bélgica superan en seis mil quinientos a los hinchas de Inglaterra.
¿Cuántos hinchas de cada equipo hay en el estadio viendo partido?
1. Capacidad hipotética planteada para el ejercicio. Aforo real 33.973 espectadores sentados en la Copa Mundial de la FIFA.
A continuación se presentan cinco enunciados, cada uno de los cuales tienen cuatro posibles opciones correctas (más de una puede ser correcta en cada caso). Marque, con una X, aquella o aquellas opciones correctas.
Literal a. Dado el sistema de ecuaciones \begin{pmatrix}1&1&1\\0&a-2&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\b+1\end{pmatrix}se cumple que:
a.1. No es posible hallar valores de a,b tales que el sistema tenga solución única.
a.2. Si a\in \mathbb{R} y b\neq-1 el sistema tiene infinitas soluciones.
a.3. Si a\neq 2 y b\neq-1 el sistema tiene infinitas soluciones.
a.4. Si a\neq 2 y b=-1 el sistema tiene infinitas soluciones.
Literal b. Sea (V,\mathbb{K}) un espacio vectorial sobre un campo \mathbb{K}. Si W_1 y W_2 son subespacios de V, entonces se cumple que:
b.1. W_1 \cap W_2 \subseteq W_1 \cup W_2 \subseteq W_1 + W_2.
b.2. Si W_1 + W_2 es un subespacio vectorial de V, entonces W_1 \cup W_2 siempre es un subespacio de V.
b.3. W_1 + W_2 es el menor subespacio que contiene a W_1 \cup W_2.
b.4. W_1 \cap W_2, W_1 + W_2 son subespacios.
Literal c. Dada la matriz B=\begin{pmatrix}\begin{array} {rrrr} 2&-4&0&0 \\ -1&2&0&0 \\ 0&0&1&2 \end{array}\end{pmatrix}, se cumple que:
c.1. El vector(4,-2,-3)^T está en el espacio columna de B.
c.2. La nulidad de B es 2.
c.3. Todo vector de la forma (-2y,y,z)^T, con y,z\in \mathbb{R}, pertenece a la imagen de B.
c.4. El vector(4,-2,-3)^T está en el núcleo de B.
Literal d. Considerando V=\{(a,b,c,1)^T : a\in\mathbb{R^+}\enspace b,c\in\mathbb{R}\} con las operaciones\begin{pmatrix}a\\b\\c\\1\end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}aa'\\b+b'+5\\c+c'\\1\end{pmatrix}\alpha \odot \begin{pmatrix}a\\b\\c\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^\alpha\\\alpha b+5\alpha-5\\ \alpha c\\1\end{pmatrix}se cumple que:
d.1. Dados (a,b,c,1)^T, (a',b',c',1)^T en V, se tiene que\begin{pmatrix}a\\b\\c\\1\end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\\1\end{pmatrix} es un número real positivo.
d.2. El elemento neutro para la adición en V es \begin{pmatrix}\begin{array} {r} 1\\-5\\0\\1 \end{array} \end{pmatrix}.
d.3. Si (a,b,c,d)^T \in V, entonces su elemento opuesto es \begin{pmatrix} \frac{1}{a} \\-b-10\\c\\1\end{pmatrix}.
d.4. 2 \odot \begin{pmatrix}1\\0\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\5\\6\\1\end{pmatrix}.
Literal e. Sea (V,\mathbb{K}) un espacio vectorial sobre un campo \mathbb{K} y B=\{v_1,v_2,v_3\} una base para V, entonces se cumple que:
e.1. \{v_1,v_2,v_3\} es un conjunto linealmente independiente en V.
e.2. \{v_1+2v_2\} es es un conjunto linealmente independiente en V.
e.3. gen\{v_1,2v_1\} es un subespacio de V.
e.4. Existe una base de V que contiene al conjunto \{v_1+v_2,v_2+v_3\}
