Categoría: Segunda evaluación

Dada la transformación lineal T:\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^3 definida porT\begin{pmatrix} \begin{array}{r} a\\b\\c \end{array} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} a-2b-2c\\-2a+bm+8c\\2a+8b+cm \end{array} \end{pmatrix},determine los valores de la constante m para los cuales no es diagonalizable en \mathbb{R} la matriz [T]_{BB}, asociada a la transformación con respecto a las bases canónicas B en \mathbb{R}^3.

Sea V=P_3(\mathbb{R}) el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 3 con coeficientes reales, con el producto interno {\langle f | g \rangle}=\int_{-1}^{1} f(x)g(x) dx.

4.1. Determinar el complemento ortogonal de W=gen\{ 1+x,x^2 - 1 \}.
4.2. Escriba el vector v=x^3+3x^2-x+1 como suma de un elemento en W y su complemento ortogonal W^{\perp}.

Sean {\langle \cdotp | \cdotp \rangle}_1 y {\langle \cdotp | \cdotp \rangle}_2 dos productos internos en un espacio vectorial V sobre el campo de los complejos. Demuestre que {\langle \cdotp | \cdotp \rangle}={\langle \cdotp | \cdotp \rangle}_1+{\langle \cdotp | \cdotp \rangle}_2 es un producto interno sobre V.

Construya, de ser posible, una transformación lineal T:M_{2\times 2}\longrightarrow \mathbb{R}^3 tal que el núcleo de T sea el conjunto de matrices simétricas de tamaño 2\times 2, yT\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 0&1\\-1&0 \end{array} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1\\0\\1 \end{array} \end{pmatrix}.

A continuación se presentan cuatro enunciados, cada uno de los cuales tienen cuatro posibles opciones correctas (más de una puede ser correcta en cada caso). Marque, con una X, aquella o aquellas opciones correctas.

Literal a. Sea T:V\longrightarrow W una transformación lineal. Si dim{V}=n y dim{W}=n-1, es cierto que:

a.1. T debe ser sobreyectiva.
a.2. T(\textbf{0}_V)=\textbf{0}_W.
a.3. Si \{v_1,v_2,...,v_n\} es un conjunto linealmente independiente en V, entonces no necesariamente \{T(v_1),T(v_2),...,T(v_n)\} es un conjunto linealmente independiente de W.
a.4. El rango de T es menor o igual a n-1.

Literal b. Si u y v son vectores ortogonales de un espacio real, entonces es cierto que:

b.1. \lVert u+v\rVert^2=\lVert u\rVert^2+\lVert v\rVert^2.
b.2. u y v son linealmente independientes.
b.3. 3u y -4v son ortogonales.
b.4. u y u+v no pueden ser ortogonales.

Literal c. Sea A una matriz cuadrada de orden n en un campo \mathbb{R}, entonces es cierto que:

c.1. A y A^T tienen el mismo polinomio característico.
c.2. Si A es ortogonalmente diagonalizable, entonces es simétrica.
c.3. \lambda es un autovalor de A sí, y solo sí, \lambda es una raíz del polinomio característico de A.
c.4. La multiplicidad algebraica de un autovalor \lambda se define como la dimensión del autoespacio E_{\lambda}.

Literal d. Sea A una matriz cuadrada diagonalizable de orden n con entradas en un campo \mathbb{K} es cierto que:

d.1. A tiene n autovectores linealmente independientes.
d.2. A tiene n autovectores diferentes.
d.3. A debe se una matriz simétrica.
d.4. Existen matrices cuadradas P y D tales que A=P^{-1}DP.