Sea (V,{\langle \cdotp | \cdotp \rangle}) un espacio con producto interno definido sobre un campo \mathbb{K} y sea W un subespacio de V. Demuestre que el complemento ortogonal de W, W^{\perp}, es un subespacio de V y determine el conjunto W\cap W^{\perp}.
Categoría: Segunda Evaluación
Tema 5
Considere el siguiente teorema: Si V y U son dos espacios vectoriales sobre un campo \mathbb{K}, V de dimensión finita y L:V\longrightarrow U una transformación lineal, entoncesRango\,(L)+Nulidad\,(L)=dim\,(V)
A continuación, se presenta un conjunto de pasos que ordenados pertinentemente representan la demostración de este teorema para el caso en que k=Nulidad\,(L)<dim\,(V)=n. En cada círculo en blanco indique el orden que corresponda al paso adjunto para que la demostración sea expresada de manera correcta.
\bigcirc | Si u\in Im\,(L), entonces existe un vector v\in V tal que L(v)=u y v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+...+\alpha_n v_n con \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n \in \mathbb{K}. |
\bigcirc | Se obtiene entonces que {Rango\,(L)+Nulidad\,(L)=(n-k)+k=n=dim\,(V)}. |
\bigcirc | Sea B_1=\{v_1,v_2,...,v_k\} una base para el Ker\,(L). |
\bigcirc | T debe ser inyectiva. |
\bigcirc | Existen entonces c_1,c_2,...,c_k\in \mathbb{K} tales que \gamma_{k+1}v_{k+1}+...+\gamma_{n}v_{n}=c_1 v_1+c_2 v_2 +...+c_k v_k, de donde c_1 v_1 + c_2 v_2 +...+c_k v_k -\gamma_{k+1}v_{k+1}-...-\gamma_{n}v_{n}=0_V. |
\bigcirc | Se pueden elegir vectores v_{k+1},v_{k+2},...,v_{n} tales que B=\{v_1,v_2,...,v_n\} sea una base para V. |
\bigcirc | Se tiene entonces que c_1=c_2=...=c_k=\gamma_{k+1}=...=\gamma_n=0 por lo tanto \{ L(v_{k+1}),...,L(v_n) \} es linealmente independiente y base de Im(L). |
\bigcirc | Si \gamma_{k+1}L(v_{k+1})+...+\gamma_{n}L(v_{n})=0_U se tiene que L(\gamma_{k+1}v_{k+1}+...+\gamma_{n}v_n)=0_U, esto es \gamma_{k+1}v_{k+1}+...+\gamma_{n}v_n\in Ker(L). |
\bigcirc | Luego, u=\alpha_{k+1}L(v_{k+1})+...+\alpha_n L(v_n), por lo tanto \{ L(v_{k+1}),...,L(v_n) \} genera a Im(L). |
Tema 4
Demuestre que si V es un espacio vectorial sobre un campo \mathbb{K}, con producto interno {\langle \cdotp | \cdotp \rangle}, entonces para todo a\in \mathbb{K} y v_1,v_2,v_3\in V se tiene que {\langle v_1 | \alpha v_2+v_3 \rangle}=\overline{\alpha}{\langle v_1 | v_2 \rangle}+{\langle v_1 | v_3 \rangle}.
Tema 3
Determine los valores de la constante a para los cuales la matriz real \footnotesize{\begin{pmatrix}\begin{array} {rcr} 1&a&a \\ -1&1&-1 \\ 1&0&2 \end{array}\end{pmatrix}} sea diagonalizable.
Tema 2
De ser posible, construya una transformación lineal T de P_2(\mathbb{R}) en \mathbb{R}^3 tal que\begin{array}{c} T\begin{pmatrix} x^2+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1\\-1\\0 \end{array} \end{pmatrix} \\ \\ T\begin{pmatrix} x+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0\\2\\1 \end{array} \end{pmatrix} \\ \\T\begin{pmatrix} x^2-x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1\\-3\\-1 \end{array} \end{pmatrix} \end{array}
Tema 1
A continuación se presentan tres enunciados cada uno de los cuales tienen cinco posibles opciones de respuesta (más de una puede ser correcta en cada caso). Rellene el círculo de aquella o aquellas opciones correctas. Cada selección incorrecta restará medio punto a la calificación del tema.
Literal a. Sean T:V \longrightarrow W una transformación lineal. Si dim\, V=n y dim \,W=n-1, entonces es cierto que:
\bigcirc | Si {v_1,v_2,...,v_n} es un conjunto linealmente independiente en V, entonces {T(v_1),T(v_2),...,T(v_n)} es un conjunto linealmente independiente de W. |
\bigcirc | T(\bold{0}_v)=\bold{0}_v. |
\bigcirc | T debe ser sobreyectiva. |
\bigcirc | T debe ser inyectiva. |
\bigcirc | El rango de T es menor o igual a n-1. |
Literal b. Si u y v son vectores ortogonales de un espacio vectorial (V,{\langle} \cdot|\cdot {\rangle}), entonces es cierto que:
\bigcirc | {\lVert u+v \rVert}^2 = {\lVert u \rVert}^2 + {\lVert v \rVert}^2. |
\bigcirc | \{u,v\} es un conjunto linealmente independiente. |
\bigcirc | Si u y v son no nulos, existe una base de V que contenga a estos dos vectores. |
\bigcirc | u y u+v no pueden ser ortogonales. |
\bigcirc | u y u+v son ortogonales si u es no nulo. |
Literal c. Sea A una matriz cuadrada de orden n con entradas en un campo \mathbb{K}, entonces es cierto que:
\bigcirc | A y su transpuesta tienen el mismo polinomio característico. |
\bigcirc | A tiene n autovectores linealmente independientes. |
\bigcirc | Si A tiene n autovalores diferentes entonces es diagonalizable. |
\bigcirc | Si A es diagonalizable entonces debe ser una matriz simétrica. |
\bigcirc | Si A es una matriz simétrica entonces todos sus valores propios son números reales. |