Definición. Sea A una matriz de orden m\times n y sea el espacio nulo de una matriz, N_A, tal queN_A=\left\{x\in \mathbb{R^n}: Ax=0 \right\}entonces, N_A es un subespacio de \mathbb{R^n}.
Observación. El espacio nulo de una matriz, N_A, se lo conoce también como el núcleo o el kernel de la matriz A de orden m\times n.
Notación. El espacio nulo de una matriz, N_A, también se denota como N(A).
Definición. Sea N_A el espacio nulo de una matriz A de orden m\times n. Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo de A.
Notación. La nulidad del núcleo de una matriz A de orden m\times n se denota como \nu_A o también \nu(A).
Teorema. Sea A una matriz de orden m\times n. Entonces A es invertible si y solo si \nu_A=dim\ N_A=0.
Definición. Sea A una matriz de orden m\times n. Entonces la imagen de A esta dada porIm_A=\left\{y\in \mathbb{R^m}: Ax=y\quad para\ alguna\ x\in \mathbb{R^n} \right\}
Observación. La imagen de una matriz A de orden m\times n, Im_A, se la conoce también como el recorrido de la matriz A de orden m\times n.
Notación. La imagen de una matriz A de orden m\times n, Im_A, también se denota como Im(A)=Re(A)=Re_A=Rec(A).
Teorema. Sea A una matriz de orden m\times n. Entonces la imagen de A es un subespacio de \mathbb{R^m}.
Definición. Sea A una matriz de orden m\times n. Entonces el rango de A esta dada por\rho_A=dim\ Im_A.
Definición. Sea A una matriz de orden m\times n, sean \left\{r_1,r_2,...,r_m\right\} las filas de A y \left\{c_1,c_2,...,c_n\right\} las columnas de A. Entonces se defineR_A=\ espacio\ fila\ de\ A=gen\left\{r_1,r_2,...,r_m\right\}yC_A=\ espacio\ columna\ de\ A=gen\left\{c_1,c_2,...,c_n\right\}
Notación. El espacio fila de una matriz A de orden m\times n, R_A, también se denota como R(A)=filas(A); además, El espacio columna de una matriz A de orden m\times n, C_A, también se denota como C(A)=col(A).
Teorema. Sea A una matriz de orden m\times n, Entonces dim\ R_A=dim\ C_A=dim\ Im_A=\rho_A
Teorema. Para cualquier matriz A de orden m\times n, C_A=Im_A; es decir, la imagen de una matriz es igual al espacio de sus columnas.
Teorema. Sea A una matriz de orden m\times n, Entonces \rho_A+\nu_A=n; es decir, el rango de A más la nulidad de A es igual al número de columnas de A.
Definición. Sea B=\left\{v_1,v_2,v_3,..., v_n\right\} un conjunto de vectores de un espacio vectorial V y v un vector de V. Si se expresa v como combinación lineal de B, es decirv=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+...+\alpha_nv_n,entonces el vector u=\left( \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n \right) representa las coordenadas del vector v en función de B donde el vector u es un vector coordenado.
Notación. El vector coordenado u que representa las coordenadas del vector v en función de B se denota por \left[v\right]_B=u.
Ejemplo. Sean V=\mathbb{R^2} y \scriptsize{B=\left\{\left(\begin{array}{r} 1\\-1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{r} 1\\1 \end{array}\right) \right\}}. Si el vector \scriptsize{v=\left(\begin{array}{r} 4\\-1 \end{array}\right)} y el vector \scriptsize{u=\left(\begin{array}{r} {5}/{2}\\ {3}/{2} \end{array}\right)} entonces denote las coordenadas del vector v respecto al conjunto B.
Solución. Sea u el vector que representa las coordenadas del vector v en función de B, tal que\begin{array}{rcc} \left[v\right]_B & = & u \\ \left[v\right]_B & = & \left(\begin{array}{r} {5}/{2}\\ {3}/{2} \end{array}\right) \end{array}Entonces, por definición, se expresa v como combinación lineal de B, es decir\begin{array}{ccl} v & = & \alpha_1v_1+\alpha_2v_2 \\ \left(\begin{array}{r} 4\\-1 \end{array}\right) & = & {5/2}\ v_1 + {3/2}\ v_2 \\ \left(\begin{array}{r} 4\\-1 \end{array}\right) & = & {5/2}\left(\begin{array}{r} 1\\-1 \end{array}\right)+{3/2}\left(\begin{array}{r} 1\\1 \end{array}\right) \end{array}
Teorema. Sea V un espacio vectorial con una base B=\left\{v_1,v_2,v_3,..., v_n\right\}. Entonces 1) \left[\delta v\right]_B=\delta \left[v\right]_B.
2)\left[v+w\right]_B=\left[v\right]_B+\left[w\right]_B.
Definición. Sea A una matriz de n\times n columnas, se denomina matriz de cambio de base o matriz de transición si las columnas representan los vectores coordenados de la base B_1 en función de la base B_2 o viceversa. De forma general se tienev_j=\alpha_{1j}v_1+\alpha_{2j}v_2+...+\alpha_{nj}v_nes decir,\left[v_j\right]_{B_2}=\left(\begin{array}{c} \alpha_{1j}\\\alpha_{2j}\\ \vdots \\\alpha_{nj} \end{array}\right)=u_jde dondeA=\begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} & ... & \alpha_{1n}\\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} & ... & \alpha_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\\alpha_{n1} & \alpha_{n2} & \alpha_{n3} & ... & \alpha_{nn} \\ \uparrow&\uparrow&\uparrow& &\uparrow \\ \left[v_1\right]_{B_2} & \left[v_2\right]_{B_2}& \left[v_3\right]_{B_2} &...&\left[v_n\right]_{B_2} \end{pmatrix}
Notación. Sean B_1=\left\{v_1,v_2,...,v_n\right\} y B_2=\left\{u_1,u_2,...,u_n\right\} bases de un espacio vectorial V, entonces la matriz de cambio de base de B_1 a B_2 se denotaA_{B_1B_2}=A_{B_1 \longrightarrow B_2}=\begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} & ... & \alpha_{1n}\\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} & ... & \alpha_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\\alpha_{n1} & \alpha_{n2} & \alpha_{n3} & ... & \alpha_{nn} \end{pmatrix}siendo\begin{array}{ccl} v_1&=&\alpha_{11}u_1+\alpha_{21}u_2+...+\alpha_{n1}u_n \\v_2&=&\alpha_{21}u_1+\alpha_{22}u_2+...+\alpha_{n2}u_n \\ \vdots &=& \vdots\\ v_n&=&\alpha_{n1}u_n+\alpha_{n2}u_n+...+\alpha_{nn}u_n\end{array}
Observación. Por ningún motivo se debe intercambiar el orden de los vectores de las bases; hacer esto originaría una nueva matriz de cambio de base. En otras palabras, si se cambia el orden en el que se escriben los vectores de la base, entonces también debe cambiarse el orden de las columnas en la matriz de cambio de base.
Teorema. Sean B_1 y B_2 bases para un espacio vectorial V. Sea A la matriz de cambio de base de B_1 a B_2. Entonces para todo v\in V\left[v\right]_{B_2}=A_{B_1B_2}\left[v\right]_{B_1}
Teorema. Sea A la matriz de cambio de base de B_1 a B_2. Entonces A^{-1} es la matriz de cambio de base de B_2 a B_1, es decirA_{B_1B_2}=A_{B_1 \longrightarrow B_2}=A^{-1}_{B_2 \longrightarrow B_1}=A^{-1}_{B_2B_1}
Ejemplo. Sean B_1=\left\{u_1,u_2\right\} y B_2=\left\{1+2x,2+x\right\} bases de \wp_1; y, sean A=\scriptsize{\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}} la matriz de cambio de base de B_1 a B_2. Determine: a) La matriz A_{B_2B_1}.
b) La base B_1.
Solución.
Literal a. Para determinar A_{B_2B_1} se deben expresar los vectores de la base B_2 como combinación lineal de los vectores de la base B_1; pero como se desconocen los vectores de la base B_1 entonces se puede determinar la matriz inversa de A_{B_1B_2} que si es conocida y por teorema se determina que A_{B_2B_1}=A^{-1}_{B_1B_2}.
Por consiguiente, A_{B_2B_1}=A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{2}{7} & \frac{1}{7}\\ -\frac{3}{7} & \frac{2}{7} \end{pmatrix}.
Literal b. Al conocer la base B_2 y la matriz de cambio de base de B_1 a B_2 por teorema se determina que \left[u_1\right]_{B_2}=A_{B_1B_2}\left[u_1\right]_{B_1} es decir\left[u_1\right]_{B_2}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}de dondeu_1=2(1+2x)+3(2+x)=8+7xDe la misma forma, por teorema se determina que \left[u_2\right]_{B_2}=A_{B_1B_2}\left[u_2\right]_{B_1} es decir\left[u_2\right]_{B_2}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}de dondeu_2=-1(1+2x)+2(2+x)=3Por consiguiente, la base B_1=\left\{8+7x,3\right\}.
Definición. Sean H y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. Se definen las siguientes operaciones entre subespacios:
\small{\begin{array}{lrcl}
{Intersecci\acute{o}n}:& H \cap W &=& \left\{ v\in V/v\in H \wedge v\in W\right\}\\
{Uni\acute{o}n}:& H \cup W &=& \left\{ v\in V/v\in H \vee v\in W\right\}\\
{Suma}:& H+W &=& \left\{ v=h\oplus w \in V/ h\in H \wedge w\in W\right\}
\end{array}}
Teorema. Sean H y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. Entonces H \cap W y H + W también son subespacios vectoriales de V.
Observación. La operación de unión entre subespacios vectoriales de Vno necesariamente va a dar como resultado otro subespacio vectorial de V, a menos que uno este contenido en el otro.
Ejemplo. Determine si la unión entre los siguientes subespacios vectoriales de V es otro subespacio de V.\small{\begin{array}{rcl}
H &=& \left\{ (x,y)\in \mathbb{R^{2}} / y=x\right\}\\
W &=& \left\{ (x,y)\in \mathbb{R^{2}} / y=-x\right\}
\end{array}}
Solución. (contraejemplo) \begin{array}{rcl} H\cup W &=& \left\{ (x,y)\in \mathbb{R^{2}}/(x,y) \in H \vee (x,y)\in W\right\} \end{array}
Si \forall\ (x,y),(p,q)\in H\cup W : (x,y)\oplus(p,q)\in H\cup W por el axioma de cerradura bajo la suma, se tiene que\begin{array}{rcl} (x,y)\in H\cup W &\Longrightarrow & (x,y)\in H \vee (x,y)\in W \\ (p,q)\in H\cup W &\Longrightarrow & (p,q)\in H \vee (p,q)\in W \end{array}de donde\begin{array}{rcl} (x,y),(p,q)\in H &\Longrightarrow & (x,y)\oplus(p,q)\in H \\ (x,y),(p,q)\in W &\Longrightarrow &(x,y)\oplus(p,q)\in W \end{array} es decir, \begin{array}{rcl} (x,y)\oplus(p,q)\in H\cup W \end{array}; sin embargo, si (1,1),(1,-1)\in H\cup W entonces (1,1)\oplus(1,-1)=(2,0)\notin H\cup W.
Por consiguiente, H\cup W no es un subespacio vectorial de V.
Teorema. Sean H y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. Entonces H \cup W es un subespacio vectorial de V si y solo si H\subseteq W o W\subseteq H.
Teorema. Sean H y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial V donde H=gen\left\{P\right\} y W=gen\left\{Q\right\}. Entonces H+W=gen\left\{P\cup Q\right\}.
Teorema. Sean H y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial V de dimensión finita. Entoncesdim(H+W)=dim(H)+dim(W)-dim(H\cap W)
Definición. Sean H y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. La suma H+W se denomina suma directa de H y W, denotada como H\oplus W, si cada vector en el espacio H+W tiene una única representación como la suma de un vector en H y un vector en W.
Teorema. Sean H y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. Entonces H+W=H\oplus W si y solo si H\cap W=\left\{0_V\right\}.
Ejemplo. Sean H y W subespacios de \mathbb{R^3} dado por\begin{array}{rcl}H&=&gen\left\{(-1,1,3)\right\} \\ W&=&\left\{(x,y,z)/2x-y+3z=0\right\}\end{array} Determine a) El subespacio de la intersección entre H y W.
b) Muestre que H\cup W no es un subespacio de \mathbb{R^3}.
c) Que P=\left\{p\in \mathbb{R^3} / p=h+w\ {;}\ h\in H\ y\ w\in W\right\} es \mathbb{R^3}.
Solución.
Literal a. Sean \scriptsize{H=\left\{ \left(\begin{array}{r}-a\\a\\3a \end{array}\right) {/}\ \forall\ a\in \mathbb{R} \right\}} y \scriptsize{W=\left\{ \left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right) {/}\ \forall\ x,z\in \mathbb{R} \right\}} entoncesH\cap W \Longrightarrow \left(\begin{array}{r} -a\\a\\3a \end{array} \right) = \left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right) \Longrightarrow a=x=z=0Por consiguiente, \scriptsize{H\cap W=\left\{ \left(\begin{array}{r} 0\\0\\0 \end{array}\right) \right\}}, neutro del espacio vectorial en \mathbb{R^3}.
Literal b. Si H\cup W es subespacio de \mathbb{R^3}, entonces debe cumplir con los dos axiomas de cerradura; además, la unión de dos subespacios se denota también como la suma de estos, es decirH\cup W = \left(\begin{array}{r} -a\\a\\3a \end{array} \right) \oplus \left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right) de dondeH\cup W=\left\{ \left(\begin{array}{r}x-a\\a+2x+3z\\3a+z \end{array}\right) {/}\ x,z,a\in \mathbb{R} \right\}Entonces, \forall\ h,w \in U\ :\ h\oplus w \in U. Si U es H\cup W se tiene que el vector suma que pertenece a U debe pertenecer a H o W, de donde\scriptsize{\left(\begin{array}{r} x_1 - a_1 \\a_1 + 2x_1 + 3z_1 \\3a_1 + z_1\end{array} \right) \oplus \left(\begin{array}{r}x_2 - a_2 \\a_2 + 2x_2 + 3z_2\\3a_2 + z_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} (x_1 - a_1) + (x_2 - a_2) \\ (a_1+a_2) + 2(x_1+x_2) + 3(z_1 + z_2)\\3(a_1+a_2) + (z_1+z_2) \end{array}\right) }Nótese que el vector suma no pertenece ni a H ni a W.
Por consiguiente, es este caso, la unión de estos subespacios no constituye un subespacio vectorial de \mathbb{R^3}.
Literal c. Si P=\mathbb{R^3} (lo que se debe demostrar), entonces cualquier vector de \mathbb{R^3} pertenece P; es decir, que todo vector de \mathbb{R^3} puede ser expresado en función de los vectores de P.
Si p=h+w, h=\small{\left(\begin{array}{r} -a\\a\\3a \end{array} \right)} y w=\small{\left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right)} entoncesh+w=\left(\begin{array}{r} -a\\a\\3a \end{array} \right) + \left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}x-a\\2x+3z+a\\z+3a \end{array}\right)y, por lo tanto, cualquier vector de \mathbb{R^3} puede ser expresado como una combinación lineal, tal que\small{x \left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + z \left(\begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) + a \left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) \quad {,} \quad \left\{\left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) , \left(\begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) , \left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) \right\}}A continuación, se toma un vector típico de \mathbb{R^3} para verificar que puede (el vector típico) ser expresado en función de éstos tres vectores, así se tiene que \alpha_1 \left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + \alpha_2 \left(\begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) + \alpha_3 \left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} i \\ j \\ k \end{array}\right)Al resolver el sistema de ecuaciones lineales asociado se obtiene que\alpha_1=\frac{9i+k-j}{9} \quad{,}\quad \alpha_2=\frac{j-2k}{3} \quad{,}\quad \alpha_3=\frac{k-j}{9}Por consiguiente, cualquier vector de \mathbb{R^3} pertenece a P y P=\mathbb{R^3}.
Definición. Se denomina base de un espacio vectorial V a un subconjunto finito de vectores \small{A=\left\{v_1,v_2,...,v_n\right\}}, si y solo si, A es linealmente independiente y es un conjunto generador de V.
Observación. Cada espacio vectorial puede tener diferentes bases, pero todas las bases siempre tendrán el mismo número de vectores.
Ejemplo. Sean \small{f(x)=x^2+1}, \small{g(x)=3x-1} y \small{h(x)=-4x+1}, demuestre que \small{H=\left\{f,g,h\right\}} es una base para el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a dos, \mathcal{P}_2.
Solución. Primero se prueba el criterio de independencia lineal, por lo que se plantea la siguiente igualdad\begin{array}{rcl}\alpha_1 f(x)+\alpha_2 g(x)+\alpha_3 h(x) &=& n \\ \alpha_1 f(x)+\alpha_2 g(x)+\alpha_3 h(x) &=& 0x^2+0x+0\\ \alpha_1 (x^2+1)+\alpha_2 (3x-1)+\alpha_3 (-4x+1) &=& 0x^2+0x+0 \\ \alpha_1 x^2+\alpha_1 + 3\alpha_2 x - \alpha_2 - 4\alpha_3 x + \alpha_3 &=& 0x^2+0x+0 \\ \alpha_1 x^2+(3\alpha_2 - 4\alpha_3)x+(\alpha_1 -\alpha_2+\alpha_3) &=& 0x^2+0x+0\end{array}Esto implica que\left\{ \begin{array}{rcl}\alpha_1 &=&0 \\ 3\alpha_2 -4\alpha_3&=&0 \\ \alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3 &=&0 \end{array}\right.Al resolver el sistema se tiene que éste tiene solución única y esta dada por \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0; es decir, la igualdad \alpha_1 f(x)+\alpha_2 g(x)+\alpha_3 h(x)=0 se cunple solo si \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3. Por tanto, el conjunto \small{H=\left\{f,g,h\right\}} es linealmente independiente en \wp_2.
Ahora se verifica que el conjunto H genere a todo \wp_2. Para esto, se considera p(x)=ax^2 +bx+c y escalares \alpha_1, \alpha_2 y \alpha_3 tales que \begin{array}{rcl}p(x)&=&\alpha_1 f(x)+\alpha_2 g(x)+\alpha_3 h(x) \\ &=&\alpha_1 x^2+(3\alpha_2 -4\alpha_3)x+(\alpha_1 -\alpha_2+\alpha_3) \end{array}Lo cual genera el sistema\left\{ \begin{array}{rcl}\alpha_1&=&a \\ 3\alpha_2-4\alpha_3&=&b \\\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3&=&c \end{array}\right.Al analizar el sistema, se tiene que siempre tiene solución pues la matriz adjunta del mismo es (A|B)=\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0&a\\ 0 & 3 & -4&b\\ 1 & -1 & 1&c \end{array}\right)que en forma escalonada reducida es(A|B)=\left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 0 & 0&a\\ 0 & 3 & -4&4a-b-4c\\ 1 & -1 & 1&3a-b-3c \end{array}\right)Entonces \rho(A|B)=\rho(A)=3. Luego como el sistema siempre tiene solución, independientemente de los valores de a, b y c se concluye que el sistema es consistente; además, su única solución es \alpha_1=a, \alpha_2=4a-b-4c y \alpha_3=3a-b-3c. En consecuencia, cualquier polinomio p(x)=ax^2 +bx+c en \wp_2 puede ser expresado como combinación lineal de los polinomios \small{f(x)=x^2+1}, \small{g(x)=3x-1} y \small{h(x)=-4x+1}, es decir, \small{\wp_2=gen\left\{f,g,h\right\}}.
Por consiguiente, dado que H es linealmente independiente y es un conjunto generador de los polinomios de grado menor o igual a dos, entonces H es una base para \wp_2.
Definición. Si el espacio vectorial V tiene una base con un número finito de elementos, entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V=\left \{ 0_V\right\} (neutro del espacio), entonces se dice que V tiene dimensión cero.
Notación. La dimensión V se denota por dim\ V.
La dimensión de algunos espacios vectoriales (sin restricciones) pueden determinarse conforme a la siguientes regla:\begin{array}{rcl}dim\ \mathbb{R^n}&=&n \\ dim\ \wp_n&=&n+1\\ dim\ \mathbb{M_{m\times n}}&=&m\times n\end{array}
Aplicación en el análisis de los sistemas de ecuaciones lineales
Teorema de Kronecker-Capelli. Sea el sistema de ecuaciones lineales Ax=b, entonces el sistema es consistente (o compatible) si y solo si el rango de A es igual al rango de la matriz aumentada \left(A|b\right); es decir \rho\left(A\right)=\rho\left(A|b\right)
Ejemplo 2. Analice el siguiente sistema de ecuaciones lineales: \left\{ \begin{array}{rcrcrcl}
x&+&2y&-&z&+&w&=&5 \\
3x&+&y&+&2z&& &=&2 \\
-2x&+&y&-&3z&+&w&=&3
\end{array}\right.
donde se observa que el rango de la matriz aumentada \left(A|b\right) es 2. De la misma manera, al omitir la matriz b y analizar, se observa que el rango de A también es 2, es decir\rho \left(\begin{array}{rrrr|r}1 & 2 & -1 & 1 &5\\ 0 & -5 & 5 & -3 &-13\\ 0 & 0 & 0 & 0 &0\end{array}\right)=\rho \left(\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -5 & 5 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)Por consiguiente, el sistema de ecuaciones lineales es consistente.
Ejemplo 3. Analice el sistema de ecuaciones lineales del ejemplo previo que ha sido modificado como:
\left\{ \begin{array}{rcrcrcl}x&+&2y&-&z&+&w&=&4 \\
3x&+&y&+&2z&& &=&1 \\
-2x&+&y&-&3z&+&w&=&1
\end{array}\right.
Solución. La representación con matriz aumentada y su resolución mediante operaciones de renglón (forma escalonada) es
donde se puede observar que la matriz aumentada \left(A|b\right) tiene rango 3, pero al omitir la aumentada b, se obtiene que el rango de A es 2. Por consiguiente, el sistema de ecuaciones lineales es inconsistente.
El rango provee además información sobre el tipo de solución cuando un sistema de ecuaciones lineales \left(A|b\right) es consistente. El número de incógnitas es el número de columnas n de la matriz A, mientras que el número de variables libres es igual a n-\rho. En consecuencia, un sistema de ecuaciones lineales consistente tiene infinitas soluciones, si y solo si, n-\rho es mayor que cero \left(n>\rho\right), pero tiene solución única si n=\rho.
En el sistema de ecuaciones lineales consistente del Ejemplo 2, se tiene que \rho=2 pero el número de incógnitas es n=4. Luego, la cantidad de variables libres es n-\rho=2 y el sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones.
Ejemplo 4. Analice el siguiente sistema de ecuaciones lineales aplicando el concepto de rango:
\left\{ \begin{array}{rcrcl}2x&-&3y&=&6 \\
x&-&3y&=&0 \\
3x&-&3y&=&12
\end{array}\right.
Solución. La representación con matriz aumentada y su resolución mediante operaciones de renglón (forma escalonada) es
donde se puede observar que \rho\left(A|b\right)=\rho\left(A\right). Por consiguiente, el sistema de ecuaciones lineales es consistente.
El número de incógnitas es 2, y el rango es 2, por consiguiente, el sistema de ecuaciones lineales tiene solución única, pues la cantidad de variables libres es n-\rho=0.
Definición. Sean v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}},...,v_{\mathrm{n}}, n vectores en un espacio vectorial V; entonces, se dice que esos vectores son linealmente dependientes si existen escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n, no todos cero, tales que\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+...+\alpha_n v_n=ndonde n es el neutro del espacio vectorial.
Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.
Ejemplo. Sea \wp_1 el conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual a 1. Determine si \left\{x+1,3x+2,4-x\right\} es un conjunto de vectores linealmente independiente.
Solución. Si \left\{x+1,3x+2,4-x\right\} es un conjunto de vectores linealmente independientes, se tiene que\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=n \qquad \Longleftrightarrow \qquad \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0de donde\alpha_1 (x+1)+\alpha_2 (3x+2)+\alpha_3 (4-x)=0x+0Se plantea el sistema de ecuaciones lineales asociado\left\{ \begin{array}{rcrcrcl}\alpha_1&+&3\alpha_2&-&\alpha_3&=&0 \\ \alpha_1&+&2\alpha_2&+&4\alpha_3&=&0 \end{array}\right.Al resolver el sistema se obtiene\alpha_1=-14\alpha_3 \qquad \wedge \qquad \alpha_2=5\alpha_3donde \alpha_3 puede tomar cualquier valor o número real distinto de cero.
Por consiguiente, \left\{v_1,v_2,v_3\right\}no constituye un conjunto de vectores linealmente independientes; es decir, los vectores v_1,v_2 y v_3 son linealmente dependientes.
Definición. Se dice que los vectores v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}},...,v_{\mathrm{n}} generan el espacio vectorial V si cualquier vector que pertenece a V puede expresarse como combinación lineal de los mismos; es decir,\forall v\in Vexisten escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n, tales que v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+...+\alpha_n v_nPor consiguiente, los vectores v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}},...,v_{\mathrm{n}} constituyen un conjunto generador de V.
Notación. Conjunto generador de V se denota como V=gen \left \{v_1,v_2,...,v_n\right\}.
Ejemplo. Sea V el espacio vectorial \mathbb{R^3} y sean:v_1=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 2\\ 1 \end{array}\right)\ v_2=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)\ v_3=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)Determine si los vectores v_1,v_2,v_3 constituyen un conjunto generador de V.
Solución. Para determinar si \left\{v_1,v_2,v_3\right\} constituye un conjunto generador de V se verifica si existen constantes \alpha_1,\alpha_2 y \alpha_3 tales que:v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3de dondev=\alpha_1\left(\begin{array}{r} 1 \\ 2\\ 1 \end{array}\right)+\alpha_2\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)+\alpha_3\left(\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) Una vez planteado el sistema de ecuaciones lineales asociado, se utiliza un vector característico del espacio vectorial V como parte de la matriz adjunta correspondiente \left\{ \begin{array}{rcrcrcl}\alpha_1&+&\alpha_2&+&\alpha_3&=&x \\ 2\alpha_1& & &+&\alpha_3&=&y \\ \alpha_1&+&\alpha_2& & &=&z \end{array}\right.\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1&x\\ 2 & 0 & 1&y\\ 1 & 1 & 0&z \end{array}\right) Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales se obtiene:\alpha_1=\frac{-2x+2y+z}{3}\quad \alpha_2=\frac{x-y+z}{3}\quad \alpha_3=\frac{4x-y-2z}{3}
Por consiguiente, como los escalares \alpha_1,\alpha_2 y \alpha_3 pueden expresarse en función de las componentes del vector característico de V; entonces el conjunto de vectores, \left\{v_1,v_2,v_3\right\}, constituye un conjunto generador de V, es decir, V=gen \left \{v_1,v_2,v_3\right\}.
Definición. Sean v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}},...,v_{\mathrm{n}} vectores en un espacio vectorial V, entonces cualquier vector de la forma:\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+...+\alpha_n v_ndonde \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n son escalares, se denomina una Combinación Lineal de v_1,v_2,v_3,...,v_n.
Esto es, un vector v se puede escribir como combinación lineal de v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}},...,v_{\mathrm{n}} si existen escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n tales quev=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+...+\alpha_n v_n
Ejemplo. En \mathbb{R^3} sean:v=\left(\begin{array}{r} 2 \\ 2\\ 3 \end{array}\right)\ v_1=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)\ v_2=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0\\ 2 \end{array}\right)Determine si v es una combinación lineal de los vectores v_1 y v_2.
Solución. Para determinar si el vector v es una combinación lineal de los vectores v_1 y v_2 se debe determinar la existencia de valores para \alpha_1 y \alpha_2 tales que:\alpha_1\left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)\oplus\alpha_2\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) A continuación, se plante el sistema de ecuaciones lineales correspondiente y se procede a resolver.\left\{ \begin{array}{rcl}2\alpha_1-3\alpha_2&=&2 \\ 2\alpha_1&=&2 \\ \alpha_1+2\alpha_2&=&3 \end{array}\right.Al resolver el sistema de ecuaciones lineales se obtiene como resultado que \alpha_1=1 y \alpha_2=1.
Por consiguiente, el vector v es una combinación lineal de los vectores v_1 y v_2; es decir, v=v_1\oplus v_2.
Distribución por la derecha: \forall\ A,B\in {{M}_{m\times n}}\text{ }\forall C\in {{M}_{n\times p}}\text{ }(A+B)C=AC+BC
Distribución por la izquierda: \forall\ A\in {{M}_{m\times n}}\text{ }\forall B,C\in {{M}_{n\times p}}\text{ }A(B+C)=AB+AC
Propiedades del producto de un escalar por una matriz
Distribución respecto a la suma de matrices: \forall\ k\in \mathbb{R}\text{ }\forall A,B\in {{M}_{m\times n}}\text{ }k(A+B)=kA+kB
Distribución respecto a la suma de escalares: \forall\ {{k}_{1}},{{k}_{2}}\in \mathbb{R}\text{ }\forall A\in {{M}_{m\times n}}\text{ }({{k}_{1}}+{{k}_{2}})A={{k}_{1}}A+{{k}_{2}}A
Sea A una matriz {{M}_{m\times n}}, donde {{f}_{i}} denota la i-ésima fila de la matriz (también, {{c}_{i}} la i-ésima columna) de la misma; con esta notación, describiremos las operaciones de renglón como sigue:
{{f}_{i}}\leftrightarrow {{f}_{j}}: Intercambiar dos filas de una matriz (o {{c}_{i}}\leftrightarrow {{c}_{j}} para el intercambio entre dos columnas).
k.{{f}_{i}}: Multiplicar un renglón por un escalar diferente de cero (k\ne 0).
{{f}_{i}}+k.{{f}_{j}}: Sumar a una fila un múltiplo de otra fila.
El resultado de aplicar una operación de renglón es una nueva matriz B, que no necesariamente es igual a la primera, pero se denomina «equivalente por renglones», es decir, B se puede obtener a partir de A mediante operaciones de renglón.
Operaciones de renglón y el determinante
Sean A y B dos matrices {{M}_{n\times n}} tal que B es equivalente por renglones a la matriz A.
Si A \stackrel{f_{1} {\leftrightarrow} f_{2}}{\longrightarrow} B, entonces {det(B) = -det(A)}
Es decir, al intercambiar de posición dos filas, el determinante de la nueva matriz B es el negativo del determinante de la matriz original A.
Si A \stackrel{k.{{f}_{i}}}{\longrightarrow} B, entonces {det(B)= k.det(A)} (k\ne 0)
Es decir, al multiplicar una fila por un escalar k diferente de cero, el determinante de la nueva matriz B es igual a k-veces el determinante de la matriz original A.
Si A \stackrel{{{f}_{i}}+k.{{f}_{j}}}{\longrightarrow} B, entonces {det(B) = det(A)}
Es decir, con esta operación de renglón, el determinante de la nueva matriz B es igual al determinante de la matriz original A.
Una matriz cuadrada que contiene una fila (o columna) compuesta enteramente de ceros, tiene un determinante igual a cero. Además, si en una matriz hay dos filas iguales (o columnas iguales), su determinante es cero.
Cuando se habla de linealidad en matemáticas, ésta se refiere a un conjunto de propiedades que se generalizan de aquellas relacionadas con el concepto de línea recta. En \mathbb{R}^{2} una ecuación lineal corresponde a una línea recta. Por ejemplo, la expresión 2x+3y=6 tiene una gráfica correspondiente a una línea recta en el plano cartesiano:
En dimensiones superiores graficar no es siempre posible, sin embargo las propiedades se pueden estudiar de todos modos. En \mathbb{R}^{3}, por ejemplo, la ecuación lineal 2x-2y+3z=5 corresponde a un plano:
Una ecuación puede considerarse como un predicado de varias variables; en los ejemplos anteriores se tiene que: p(x,y):2x+3y=6, donde \mathbb{R}^{2} es el referencial; y p(x,y,z):2x-2y+3z=5, donde \mathbb{R}^{3} es el referencial. Así, el conjunto solución de tales predicados corresponde al conjunto de puntos graficados respectivamente. Por otra parte, un Sistema de Ecuaciones Lineales (S.E.L.) es una conjunción de predicados (ecuaciones lineales) de modo que la solución del sistema es la intersección de los conjuntos solución de cada una de las ecuaciones.
Definición. Una ecuación lineal es una ecuación algebraica cuyos términos son constantes o el producto de una constante por una variable a la primera potencia. Puede contener variables diferentes en términos diferentes, pero el producto entre variables no es admitido. Ejemplos de ecuaciones lineales son 3x-5y-7=0 o z=-4y+2.
Definición. Un Sistema de Ecuaciones Lineales (S.E.L.) es una colección de m ecuaciones lineales que involucran el mismo conjunto de variables. Los conjuntos solución de cada ecuación del sistema están en un mismo referencial (por ejemplo, \mathbb{R}^{2}, \mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}^{4}, etc), y la solución del sistema corresponde a la intersección todos los conjuntos solución.
Ejemplo. Un sistema de 2 ecuaciones lineales en \mathbb{R}^{3} tiene 3 incógnitas.
\left\{ \begin{array}{rcl}x+y-z&=&2 \\ 2x-2y+z&=&4 \end{array}\right.
Ejemplo. Un sistema de 3 ecuaciones lineales en \mathbb{R}^{2} tiene 2 incógnitas.
\left\{ \begin{array}{rcl}2x-3y&=&6 \\ x-3y&=&0 \\ 3x-3y&=&12 \end{array}\right.
El símbolo «\left\{ \right.» indica que las ecuaciones están conectadas mediante conjunción; por lo tanto, resolver un S.E.L. implica encontrar el conjunto solución que corresponde a la intersección de los conjuntos solución de cada ecuación. Se ilustra gráficamente en la siguiente figura:
Resolver gráficamente el S.E.L. no es procedente, así que varios métodos existen para esto. El método recomendado en este curso utiliza la representación con matriz aumentada, porque facilita hallar la información contenida en el sistema; y las operaciones de renglón para reducir el sistema a uno equivalente.
La representación con matriz aumentada de \left\{ \begin{array}{rcl}2x-3y&=&6 \\ x-3y&=&0 \\ 3x-3y&=&12 \end{array}\right.es \left(\begin{array}{cc|c}2 & -3 & 6 \\ 1 & -3 & 0 \\ 3 & -3 & 12 \end{array}\right)
y su resolución mediante operaciones de renglón es:
Por operaciones de renglón se reduce el sistema original y se lo representa con un sistema equivalente en el cual encontrar los valores de las incógnitas presentes es más práctico.
La solución del S.E.L. es (x,y)=(6,2). Nótese como una ecuación trivial de la forma 0x+0y=0 no produce información significativa, pues su conjunto solución es todo el referencial, Re=\mathbb{R}^{2}.
¿Qué sucede al aplicar las operaciones de renglón en un S.E.L.?
Se modifica el sistema de ecuaciones, simplificando (reduciendo) su estructura, pero no se modifica el conjunto solución. En el proceso se elimina información redundante, representada por la ecuación que genera una fila de ceros, hasta obtener solo dos ecuaciones cuyo conjunto solución es idéntico al conjunto solución del S.E.L. original. Gráficamente se tiene:
Naturalmente los procesos que se presentan no pueden siempre graficarse y en la mayoría de ocasiones se resuelven analíticamente sin recurrir a gráficos; pero es muy importante recalcar que la solución del S.E.L. la conforman la intersección de los conjuntos soluciones de todas las ecuaciones que componen el sistema.
Inconsistencia e infinitas soluciones
Un S.E.L. se denomina inconsistente cuando no tiene solución (la intersección es vacía) o se dice que tiene infinitas soluciones cuando la intersección de los conjuntos solución contiene infinitos puntos; son ejemplos de estos casos los siguientes S.E.L.:
El S.E.L. del literal a) representa dos líneas paralelas que nunca se intersectan (conjunto solución vacío) y el S.E.L. del literal b) representa dos líneas rectas coincidentes en todos sus puntos (infinitas soluciones); gráficamente se tiene:
S.E.L. a)S.E.L. b)
¿Cómo se identifica numéricamente un S.E.L. inconsistente?
Cuando un S.E.L. constituye un sistema inconsistente, una de las ecuaciones presenta un conjunto de solución vacío. Aplicando la representación con matriz aumentada en el S.E.L. del literal a) y desarrollando las operaciones de renglón correspondientes para reducir el sistema a uno equivalente se tiene: \left(\begin{array}{rr|r} 1 & -1 & 4\\ 1 & -1 & -4 \end{array}\right) \stackrel{f_{2}-f_{1}}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & -1 & 4\\ 0 & 0 & -8 \end{array}\right) Se puede observar que la segunda ecuación se simplificó como 0x+0y={-8}; por lo tanto, es imposible que el S.E.L. tenga solución. Nótese que al reemplazar cualquier número en x e y, cada uno éstos se multiplican por cero y al sumarlos nunca se obtendrá el resultado de {-8}.
Por consiguiente, el conjunto solución de la ecuación es vacío (\textrm{Ø}) y no importa cuál es el conjunto solución de la otra ecuación porque al intersectarse con el conjunto vacío genera como resultado el conjunto vacío.
¿Cómo se identifica numéricamente un S.E.L. con infinitas soluciones?
Cuando un S.E.L. constituye un sistema con infinitas soluciones, el conjunto solución no presenta valores numéricos exactos sino que depende de una o más variables libres (o parámetros). Aplicando la representación con matriz aumentada en el S.E.L. del literal a) y desarrollando las operaciones de renglón correspondientes para reducir el sistema a uno equivalente se tiene: \left(\begin{array}{rr|r} 1 & -1 & 4\\ 1 & -1 & 4 \end{array}\right) \stackrel{f_{2}-f_{1}}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & -1 & 4\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) Se puede observar que la segunda ecuación se vuelve trivial y no aporta información debido a que el conjunto solución es el referencial, Re=\mathbb{R}^{2}. Nótese que el conjunto solución del S.E.L. depende de la primera ecuación, x-y=4. A partir de esta ecuación es imposible obtener una solución numérica específica sino que una de las variables depende de la otra.
Si se elige expresar la variable x en términos de la variable y, la solución es la ecuación x=y+4, donde y\in R; es decir, x es la variable dependiente mientras que y es la variable libre. Por otra parte, si se elige expresar la variable y en términos de la variable x, la solución es la ecuación y=x-4, donde x\in R; es decir, x es la variable libre mientras que y es la variable dependiente. En cualquier situación, existe al menos una variable libre, lo que determina que el S.E.L. tenga infinitas soluciones.
Nota: El hecho que un S.E.L. tenga una o más filas de ceros en su representación con matriz aumentada, NO implica que el S.E.L. tenga infinitas soluciones; sino que la solución, de existir, NO dependerá de tales filas de ceros (pues corresponden a ecuaciones triviales cuya solución es todo el referencial), sino que dependerá de las ecuaciones no triviales restantes.
Como un ejemplo, se presenta el siguiente S.E.L.:
\left\{ \begin{array}{rcl}2x-3y&=&6 \\ x-3y&=&0 \\ 3x-3y&=&12 \end{array}\right.el cual tiene solución única independientemente de que, al resolverlo, aparezca una fila de ceros en su representación con matriz aumentada.
Un sistema tiene infinitas soluciones siempre y cuando sea consistente y presente variables libres.
