Definición. Sea H un subconjunto no vacío del espacio vectorial V (H\subseteq V), se dice que H es un espacio vectorial de V si H es un espacio vectorial con las mismas operaciones definidas en V.
Teorema. Sea V un espacio vectorial y sea H un subconjunto no vacío de V. Entonces, H es un subespacio de V si y solo si se cumplen las siguientes condiciones: 1. \forall\ h_{\mathrm{1}},h_{\mathrm{2}}\ \mathrm{\in}\ H:h_{\mathrm{1}}\mathrm{\oplus}h_{\mathrm{2}}\ \mathrm{\in}\space H 2. \forall\ h\ \mathrm{\in}\ H\ \mathrm{\wedge}\ \forall\ \alpha\ \mathrm{\in}\ \mathbb{R}:\alpha\odot h\ \mathrm{\in}\space H
Expresado de otra forma, un subconjunto de vectores constituye un subespacio vectorial, si éste a su vez constituye un espacio vectorial y al mismo tiempo es un subconjunto de un espacio vectorial mayor.
Para determinar si un subconjunto es o no un subespacio vectorial, es necesario que sea no vacío y mostrar que cumple con los axiomas de cerradura:
| 1. | \forall\ h_{\mathrm{1}},h_{\mathrm{2}}\ \mathrm{\in}\ H:h_{\mathrm{1}}\mathrm{\oplus}h_{\mathrm{2}}\ \mathrm{\in}\ H (Cerradura bajo la suma). |
| 2. | \forall\ h\ \mathrm{\in}\ H\ \mathrm{\wedge}\ \forall\ \alpha\ \mathrm{\in}\ \mathbb{R}:\alpha\odot h\ \mathrm{\in}\ H (Cerradura bajo la multiplicación por un escalar). |
Una manera de determinar que H es no vacío, es demostrando que el vector nulo está en H, razón por la cual algunos autores indican como axioma adicional que n_V{{\in}H}. Es conveniente notar que si los axiomas 1 y 2 se satisfacen y H es no vacío, entonces existe al menos un elemento u\!\in\!H; así se tiene que (-1)\odot u{{\in}H} por el axioma 2, y u+(-1)\odot u=n_V\!\in\!H; de donde, si se cumplen los axiomas 1 y 2 además de que H es no vacío, es decir, n_V \! \in \! H.
Ejemplo. Determine si el subconjunto H de todos los vectores en \mathbb{R^3} de la forma \left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{1}} + x_{\mathrm{2}}\right) constituye un subespacio vectorial en \mathbb{R^3}.
Solución. Para determinarlo, se debe probar que H es no vacío (nótese que el vector (0,0,0) pertence a H), y que el subconjunto cumple con los axiomas de cerradura de la suma entre vectores y multiplicación por un escalar.
\mathbf{1.\quad \forall h_{\mathrm{1}},h_{\mathrm{2}}\mathrm{\in}H:h_{\mathrm{1}}\mathrm{\oplus}h_{\mathrm{2}}\mathrm{\in}H}Sean h_{\mathrm{1}}=\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{1}} + x_{\mathrm{2}}\right) y h_{\mathrm{2}}=\left(y_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{2}},y_{\mathrm{1}} + y_{\mathrm{2}}\right) entonces:
h_{\mathrm{1}}\mathrm{\oplus}h_{\mathrm{2}}=\left(x_{\mathrm{1}} + y_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}} + y_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{1}} + x_{\mathrm{2}} + y_{\mathrm{1}} + y_{\mathrm{2}}\right) Nótese que la tercera componente es la suma de las dos primeras. Por consiguiente el axioma si se cumple.
Sea h=\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{1}} + x_{\mathrm{2}}\right) entonces:
\alpha\odot h=\alpha\odot\left(x_{1},x_{2},x_{1}+x_{2}\right)=\left(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\alpha\left(x_{1},x_{2}\right)\right)Por consiguiente el axioma si se cumple.
En conclusión, al cumplir con los 2 axiomas entonces el subconjunto H, con las operaciones convencionales de suma entre vectores (\oplus) y multiplicación por un escalar (\odot\alpha), representa un subespacio vectorial.
Cuando no se especifican las operaciones, por definición, se asumen las operaciones convencionales de suma entre vectores (\oplus) y multiplicación por un escalar (\odot\alpha).
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