Núcleo y Nulidad de una Transformación.
Definición. Sea T{:}\ V\rightarrow W una transformación lineal, se define el Núcleo de T al conjunto de todos los elementos de V cuya transformada es el neutro de W: Nu(T)=\left\{ v\in V/T(v)={{0}_{w}} \right\} Algunos autores utilizan el término Kernel en lugar de Núcleo, Ker(T).
Sea T{:}\ V\rightarrow W una transformación lineal, el Núcleo de T es un subespacio de V
Definición. Sea T{:}\ V\rightarrow W una transformación lineal, se define la nulidad de T a la dimensión del respectivo Núcleo: \upsilon (T)=\dim(Nu(T)) Por lo tanto, 0\le \upsilon (T)\le \dim(V)
Imagen y Rango de una Transformación.
Definición. Sea T{:}\ V\rightarrow W una transformación lineal, se define Imagen de T al conjunto de todos los elementos de W que son la transformada de algún vector en el espacio de partida: {Im}(T)=\left\{ w\in W/\text{ }\exists v\in V\text{ }tal\text{ }que\text{ }w=T(v) \right\} Algunos autores utilizan el término Recorrido en lugar de Imagen, Rec(T).
Sea T{:}\ V\rightarrow W una transformación lineal, la Imagen de T es un subespacio de W
Definición. Sea T{:}\ V\rightarrow W una transformación lineal, se define rango de T a la dimensión de la respectiva Imagen: \rho (T)=\dim({Im}(T)) Por lo tanto, 0\le \rho (T)\le \dim(W)
Teorema de la Dimensión
Sea T{:}\ V\rightarrow W una transformación lineal, se cumple que: \upsilon(T) + \rho(T)=\dim(V)
Relación con la inyectividad y la sobreyectividad de una transformación
Teorema. Sea T{:}\ V\rightarrow W una transformación lineal, T es inyectiva si y solo si: \upsilon(T) = 0
Teorema. Sea T{:}\ V\rightarrow W una transformación lineal, T es sobreyectiva si y solo si: \rho(T) = \dim(W)
Teorema. Sean V y W dos espacios vectoriales, se dice que son isomorfos si y solo si \dim(V) = \dim(W).
Ejemplo Sea T:{{P}_{2}}\to {{R}^{4}} una transformación lineal tal que: T(a{{x}^{2}}+bx+c)=(a+b,b+c,a-c,a+2b+c), determine {Nu}(T) e {Im}(T).
Solución
Imagen.- Según la definición, se debe hallar todos los vectores w\in {{R}^{4}} tales que T(v)=w para algún v \in {P}_{2}. Sea
v=a{{x}^{2}}+bx+c\in {{P}_{2}} y sea w=({{w}_{1}},{{w}_{2}},{{w}_{3}},{{w}_{4}}), entonces se tiene que:
T(v)=(a+b,b+c,a-c,a+2b+c)=({{w}_{1}},{{w}_{2}},{{w}_{3}},{{w}_{4}}),
lo que implica resolver el siguiente sistema:
\left\{ \begin{array}{rcl} a+b={{w}_{1}} \\ b+c={{w}_{2}} \\ a-c={{w}_{3}} \\ a+2b+c={{w}_{4}} \end{array} \right. ,
\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 0 & {{w}_{1}} \\ 0 & 1 & 1 & {{w}_{2}} \\ 1 & 0 & -1 & {{w}_{3}} \\ 1 & 2 & 1 & {{w}_{4}} \end{array} \right)\sim ...\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 0 & {{w}_{1}} \\ 0 & 1 & 1 & {{w}_{2}} \\ 0 & 0 & 0 & {{w}_{3}}+{{w}_{2}}-{{w}_{1}} \\ 0 & 0 & 0 & {{w}_{4}}-{{w}_{2}}-{{w}_{1}} \end{array}\right) .
Las condiciones para que el sistema sea consistente se vuelven las condiciones de la imagen de T:
{Im}(T)=\left\{ {({{w}_{1}},{{w}_{2}},{{w}_{3}},{{w}_{4}})\in {{R}^{4}}}/{\begin{array}{r} & {{w}_{3}}+{{w}_{2}}-{{w}_{1}}=0 \\ & \wedge \text{ }{{w}_{4}}-{{w}_{2}}-{{w}_{1}}=0 \end{array}}\; \right\}.
Núcleo.- Según la definición, se debe hallar todos los vectores v\in {{P}_{2}} tales que T(v)={0}_{w}, entonces se tiene que:
T(v)=(a+b,b+c,a-c,a+2b+c)=(0,0,0,0),
lo que implica resolver el siguiente sistema:
\left\{ \begin{array}{rcl} a+b={0} \\ b+c={0} \\ a-c={0} \\ a+2b+c={0} \end{array} \right. ,
\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right).
A partir de lo cual, podemos describir el núcleo de T:
Nu(T)=\left\{ {a{{x}^{2}}+bx+c\in {{P}_{2}}}/{\begin{array}{r} & a+b=0 \\ & \wedge \text{ }b+c=0 \end{array}}\; \right\}