Ejemplo. Sea T:{P}_{2}\to {P}_{2} una T.L. tal que T(a+bx+c{{x}^{2}})=(a+b+5c)+(3b)x+(3a-c){{x}^{2}} Hallar sus eigenvalores y eigenvectores.
Solución:
Necesitamos utilizar una base para hallar una matriz de transformación. Puesto que no se nos indica alguna base en particular, se utilizará la base canónica B=\{1,x,{{x}^{2}}\}.
Transformando cada vector de la base:
\begin{array}{rcl} T(1)&=&1+3{{x}^{2}} \\ T(x)&=&1+3x \\ T({{x}^{2}})&=&5-{{x}^{2}} \end{array}Y hallando las coordenadas de tales transformadas respecto a la base (la misma) del espacio de llegada, se tiene:
\begin{array}{rcl} & {{\left[ T(1) \right]}_{B}}&=&(1,0,3) \\ & {{\left[ T(x) \right]}_{B}}&=&(1,3,0) \\ & {{\left[ T({{x}^{2}}) \right]}_{B}}&=&(5,0,-1) \end{array}Por lo cual, la matriz asociada a T es:
A=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 5 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{array} \right]Ahora, hay que resolver la ecuación \det (A-\lambda I)=0, hallando el siguiente determinante: \det (A-\lambda I)=\det \left( \begin{array}{rrr} 1-\lambda & 1 & 5 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ 3 & 0 & -1-\lambda \end{array} \right) \begin{array}{rcl} \det (A-\lambda I)&=(3-\lambda )\left[ \left( 1-\lambda \right)\left( -1-\lambda \right)-15 \right] \\ & =(3-\lambda )\left[ {{\lambda }^{2}}-16 \right] \\ & =(3-\lambda )(\lambda -4)(\lambda +4)=0 \end{array}
Cuyas soluciones son: \lambda =3\vee \lambda =4\vee \lambda =-4, es decir los valores propios. Por convención, los valores propios se ordenan de mayor a menor, por lo cual se tiene:
\begin{array}{rcl} {{\lambda }_{1}}&=&4 \\ {{\lambda }_{2}}&=&3 \\ {{\lambda }_{3}}&=&-4 \end{array}Luego, para encontrar los vectores propios debemos hallar bases para el núcleo Nu(A-\lambda I) luego de reemplazar los valores propios.
Para {{\lambda }_{1}}=4:
Nu(A-{{\lambda }_{1}}I)\Rightarrow \left( \begin{array}{rrr|r} 1-{{\lambda }_{1}} & 1 & 5 & 0 \\ 0 & 3-{{\lambda }_{1}} & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -1-{{\lambda }_{1}} & 0 \end{array} \right)Resolviendo:
\left( \begin{array}{rrr|r} -3 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -5 & 0 \end{array} \right)\sim ...\left( \begin{array}{rrr|r} -3 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)es decir, {{\alpha }_{2}}=0 y -3{{\alpha }_{1}}+5{{\alpha }_{3}}=0. Por lo cual:
Nu(A-{{\lambda }_{1}}I)=\left\{ \left( {{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}} \right)\in {{\mathsf{\mathbb{R}}}^{3}}/{{\alpha }_{2}}=0\text{ }\wedge \text{ }-3{{\alpha }_{1}}+5{{\alpha }_{3}}=0 \right\}Una base de este núcleo es:
{{B}_{\lambda 1}}=\left\{ \left( \begin{array}{r} 5/3 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \right\}
Por lo cual, el primer vector característico es:
{{v}_{1}}=\left( \begin{array}{r} 5 \\ 0 \\ 3 \end{array} \right)Para {{\lambda }_{2}}=3: Nu(A-{{\lambda }_{2}}I)\Rightarrow \left( \begin{array}{rrr|r} -2 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -4 & 0 \end{array} \right)\sim ...\left( \begin{array}{rrr|r} -2 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & 3 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
Es decir,
Nu(A-{{\lambda }_{2}}I)=\left\{ \left( {{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}} \right)\in {{\mathsf{\mathbb{R}}}^{3}}/{{\alpha }_{2}}=-(7/3){{\alpha }_{3}}\text{ }\wedge \text{ }{{\alpha }_{1}}=(4/3){{\alpha }_{3}} \right\}Por lo cual, el respectivo vector característico es:
{{v}_{2}}=\left( \begin{array}{r} 4 \\ -7 \\ 3 \end{array} \right)Para {{\lambda }_{3}}=-4: Nu(A-{{\lambda }_{3}}I)\Rightarrow \left( \begin{array}{rrr|r} 5 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & 0 \end{array} \right)\sim ...\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
Es decir,
Nu(A-{{\lambda }_{3}}I)=\left\{ \left( {{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}} \right)\in {{\mathsf{\mathbb{R}}}^{3}}/{{\alpha }_{2}}=0\text{ }\wedge \text{ }{{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{3}}=0 \right\}Por lo cual, el respectivo vector característico es:
{{v}_{3}}=\left( \begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)Finalmente, los vectores propios de la matriz de transformación son coordenadas respecto a la base B (canónica en este caso), de los vectores propios de la transformación, por lo cual los resultados quedan así:
Para {{\lambda }_{1}}=4, el eigenvector es: {{v}_{1}}=5+3{{x}^{2}}.
Para {{\lambda }_{2}}=3, el eigenvector es: {{v}_{2}}=4-7x+3{{x}^{2}}.
Para {{\lambda }_{3}}=-4, el eigenvector es: {{v}_{3}}=-1+{{x}^{2}}.
Se cumplirá en cada caso que:
T({{v}_{1}})={{\lambda }_{1}}{{v}_{1}}T({{v}_{2}})={{\lambda }_{2}}{{v}_{2}}T({{v}_{3}})={{\lambda }_{3}}{{v}_{3}}
