Definición. Sea A una matriz de orden m\times n y sea el espacio nulo de una matriz, N_A, tal queN_A=\left\{x\in \mathbb{R^n}: Ax=0 \right\}entonces, N_A es un subespacio de \mathbb{R^n}.
Observación. El espacio nulo de una matriz, N_A, se lo conoce también como el núcleo o el kernel de la matriz A de orden m\times n.
Notación. El espacio nulo de una matriz, N_A, también se denota como N(A).
Definición. Sea N_A el espacio nulo de una matriz A de orden m\times n. Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo de A.
Notación. La nulidad del núcleo de una matriz A de orden m\times n se denota como \nu_A o también \nu(A).
Teorema. Sea A una matriz de orden m\times n. Entonces A es invertible si y solo si \nu_A=dim\ N_A=0.
Definición. Sea A una matriz de orden m\times n. Entonces la imagen de A esta dada porIm_A=\left\{y\in \mathbb{R^m}: Ax=y\quad para\ alguna\ x\in \mathbb{R^n} \right\}
Observación. La imagen de una matriz A de orden m\times n, Im_A, se la conoce también como el recorrido de la matriz A de orden m\times n.
Notación. La imagen de una matriz A de orden m\times n, Im_A, también se denota como Im(A)=Re(A)=Re_A=Rec(A).
Teorema. Sea A una matriz de orden m\times n. Entonces la imagen de A es un subespacio de \mathbb{R^m}.
Definición. Sea A una matriz de orden m\times n. Entonces el rango de A esta dada por\rho_A=dim\ Im_A.
Definición. Sea A una matriz de orden m\times n, sean \left\{r_1,r_2,...,r_m\right\} las filas de A y \left\{c_1,c_2,...,c_n\right\} las columnas de A. Entonces se defineR_A=\ espacio\ fila\ de\ A=gen\left\{r_1,r_2,...,r_m\right\}yC_A=\ espacio\ columna\ de\ A=gen\left\{c_1,c_2,...,c_n\right\}
Notación. El espacio fila de una matriz A de orden m\times n, R_A, también se denota como R(A)=filas(A); además, El espacio columna de una matriz A de orden m\times n, C_A, también se denota como C(A)=col(A).
Teorema. Sea A una matriz de orden m\times n, Entonces dim\ R_A=dim\ C_A=dim\ Im_A=\rho_A
Teorema. Para cualquier matriz A de orden m\times n, C_A=Im_A; es decir, la imagen de una matriz es igual al espacio de sus columnas.
Teorema. Sea A una matriz de orden m\times n, Entonces \rho_A+\nu_A=n; es decir, el rango de A más la nulidad de A es igual al número de columnas de A.
Enlaces de interés
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