ESTG1003 – FCNM – ESPOL
Tema 1 (35 puntos). Para las variables aleatorias x,y con la siguiente función densidad conjunta:
f_{XY} (x,y) =\begin{cases} k(x+y) && 0.5 \leq y \leq x , 0.5\leq x\leq 1 \\ 0 && \text{otro caso}\end{cases}Encuentre:
a) (15 pts) Las funciones de densidad marginal de probabilidad, fx(x) y fy(y).
b) (10 Pts) Calcule P[x+y > 3/2].
c) (10 Pts) Calcule P\left[ \frac{Y\leq 0.75}{X+Y \geq 1.5}\right]
Tema 4 (20 puntos).Un proceso estocástico consiste de cuatro funciones del tiempo:
X(t, \xi_1) = 1 X(t, \xi_2) = cos(t) X(t, \xi_3) = sen(t) X(t, \xi_4) = e^{-|t/\pi|}cada una con probabilidad 0.1, 0.25, 0.3, 0.35 respectivamente.
Dibuje las funciones de tiempo (en forma aproximada)
a) Dibuje la función de distribución y la función densidad de probabilidad de la variable aleatoria definida a t=π, esto es, X1=X(t=π).
b) ¿Es este proceso estacionario de orden 1? Demostrar cualquiera que sea su respuesta
Tema 3 (30 puntos). Un proceso aleatorio estacionario en sentido amplio X(t) con densidad espectral de potencia:
\Im_{XX}(\omega) = 50 \pi \delta(\omega) + \frac{3}{1+\left(\frac{\omega}{2}\right)^2}se aplica a una red con respuesta impulso
h(t) = 2 e^{-2t} \mu (t)obteniendo luego de la red Y(t)
Determine:
a) Var[X(t)]
b) La densidad espectral de potencia de la respuesta de Y(t)
c) La potencia de Y(t)
Pares de Transformadas de Fourier:
x(t) \leftrightarrow X(\omega) 1 \leftrightarrow 2 \pi \delta(\omega) e^{-at}\mu (t) \leftrightarrow \frac{1}{a+j\omega} te^{-at}\mu (t) \leftrightarrow \frac{1}{(a+j\omega)^{2}} t^{n}e^{-at}\mu (t) \leftrightarrow \frac{n!}{(a+j\omega)^{n+1}} a>0Tema 2 (20 puntos). Se ha calculado la suma de una lista de 100 números reales .
Suponga que los números se redondean al entero más cercano de tal manera que cada número tiene un error que está distribuido uniformemente en el intervalo (-0.5, 0.5).
Usando el teorema del límite central estime la probabilidad de que el error en la suma exceda de 6.
Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{x}^{\infty} e^{-t^2 /2} dt| x | Q(x) | x | Q(x) | |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 5.00E-01 | 2.7 | 3.47E-03 | |
| 0.1 | 4.60E-01 | 2.8 | 2.56E-03 | |
| 0.2 | 4.21E-01 | 2.9 | 1.87E-03 | |
| 0.3 | 3.82E-01 | 3.0 | 1.35E-03 | |
| 0.4 | 3.45E-01 | 3.1 | 9.68E-04 | |
| 0.5 | 3.09E-01 | 3.2 | 6.87E-04 | |
| 0.6 | 2.74E-01 | 3.3 | 4.83E-04 | |
| 0.7 | 2.42E-01 | 3.4 | 3.37E-04 | |
| 0.8 | 2.12E-01 | 3.5 | 2.33E-04 | |
| 0.9 | 1.84E-01 | 3.6 | 1.59E-04 | |
| 1.0 | 1.59E-01 | 3.7 | 1.08E-04 | |
| 1.1 | 1.36E-01 | 3.8 | 7.24E-05 | |
| 1.2 | 1.15E-01 | 3.9 | 4.81E-05 | |
| 1.3 | 9.68E-02 | 4.0 | 3.17E-05 | |
| 1.4 | 8.08E-02 | 4.5 | 3.40E-06 | |
| 1.5 | 6.68E-02 | 5.0 | 2.87E-07 | |
| 1.6 | 5.48E-02 | 5.5 | 1.90E-08 | |
| 1.7 | 4.46E-02 | 6.0 | 9.87E-10 | |
| 1.8 | 3.59E-02 | 6.5 | 4.02E-11 | |
| 1.9 | 2.87E-02 | 7.0 | 1.28E-12 | |
| 2.0 | 2.28E-02 | 7.5 | 3.19E-14 | |
| 2.1 | 1.79E-02 | 8.0 | 6.22E-16 | |
| 2.2 | 1.39E-02 | 8.5 | 9.48E-18 | |
| 2.3 | 1.07E-02 | 9.0 | 1.13E-19 | |
| 2.4 | 8.20E-03 | 9.5 | 1.05E-21 | |
| 2.5 | 6.21E-03 | 10.0 | 7.62E-24 | |
| 2.6 | 4.66E-03 |
Tema 1 (30 puntos). Asuma un proceso estocástico estacionario en el sentido amplio X(t) con función de autocorrelación
R_X(t) = e^{-|t|} t \in \Rea) Determine la densidad espectral de potencia del proceso
A(t) = X(t) - X(t-1)Si se define el proceso estocástico
B(t) = X(t) cos(t+ \rho)donde ρ es una variable aleatoria independiente de X(t) con distribución uniforme en el intervalo (0, π), determine:
b) Es B(t) estacionario en el sentido amplio
c) La mínima diferencia de tiempos para la cual dos variables aleatorias de B(t) son independientes entre sí.
Indicación: 2 cos(a) cos(b) = cos(a + b) + cos(a − b)
Función densidad de probabilidad conjunta
Tema 4. Para las variables aleatorias X,Y con la función densidad conjunta mostrada, calcule los literales:
f_{XY}(x,y) = \begin{cases} k(x+y) & 0\leq y\leq x\leq3 \\ 0 & \text{otro caso}\end{cases}a) el valor de k , que justifica la función
b) función densidad de probabilidad para Y: fY(y)
c) El valor esperado E[Y|x]
d) Calcule P(0<X+Y<2)
Nota: Dibuje con detalle el área de integración, escriba con claridad los límites de integración, y los rangos de validez donde sea necesario.
Asientos en teatro semicircular
Tema 3. Un teatro romano tiene las gradas en forma de semianillo circular con las dimensiones de la figura.
Cuando se compra una entrada cada asiento es equiprobable (distribución uniforme en las gradas).
a) Determine la función densidad conjunta de probabilidad de la ubicación de un asiento arbitrario.
b) Calcular la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria T que mide la distancia entre el lugar al que corresponde una entrada y el centro del escenario (el origen 0).
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un asiento se encuentre ubicado a más de 60 metros a la derecha del eje Y.
Variable aleatoria contínua pdf
Tema 2. Una variable aleatoria contínua X tiene una función densidad de probabilidad (pdf) mostrada en la figura.
a) Determine el valor de a para que sea considere una pdf
b) Determine y realice la gráfica de la función acumulada de probabilidad FX(x).
c) Sea Y una nueva variable aleatoria definida como Y=|X|, determine la pdf de Y y su valor esperado E[Y].
d) Si una nueva variable Z= X2 , encuentre la probabilidad P(Z>Y).
Tarjetas ordenadas en forma creciente y selección aleatoria
Tema 1. De un paquete de n tarjetas ordenadas de forma creciente y numeradas 1, 2, … , n se selecciona aleatoriamente una tarjeta. 
Si está marcada con k, se selecciona una segunda tarjeta entre las k primeras. Sea X el numero de la tarjeta seleccionada en primer lugar y Y el de la tarjeta seleccionada en segundo lugar. Calcular:
a) Pr(Y=j)
b) E(Y)
c) Pr(X=k|Y=j)
d) E(X)
Portabilidad Numérica
Tema 4 (30 puntos). La portabilidad numérica para redes de telefonía móvil es una funcionalidad que permite que un abonado pueda conservar su número telefónico cuando decide cambiar de operador de red [1].
En Ecuador la portabilidad numérica es posible desde el final del año 2009 y de acuerdo al Ministerio de Telecomunicaciones, con esta iniciativa se garantiza el derecho de los usuarios, se estimula la competencia e innovación y se incentiva a que las operadoras evolucionen rápidamente y creen nuevos servicios, beneficiando a sus suscriptores [2].
Según los datos de Agencia de Regulación y Control de las Telecomunicaciones (ARCOTEL), durante los primeros 6 años de vigencia 1’351.989 usuarios del servicio móvil avanzado (SMA) ejercieron su derecho a la portabilidad numérica.
En el año 2015 se registraron 13,8 millones de abonados de telefonía móvil, la participación de la operadora ROJA fue de 62,5%, le sigue VERDE con un 29% y AZUL de 8,5%. [3].
Suponga que los datos corresponden al final del año, tampoco considere las líneas que fueron anuladas por inactividad, como fue dispuesto en ese año por el organismo regulador.
Considerando todos los datos como un solo periodo y que la portabilidad de abonados supone un comportamiento aleatorio similar e independiente en cada periodo aproximado a un modelo tipo Markov, desarrolle las siguientes preguntas:
a) Determine y escriba los estados
b) Realice el diagrama de transición de estados
c) Usando los datos del enunciado, determine las probabilidades de cambio de operadora y ubíquelas en el diagrama de transición de estados.
d) Realice la matriz de transición equivalente
En adelante, para el ejercicio suponga que el resultado anterior es aplicable en varios periodos.
e) Suponga que observa un abonado de la operadora ROJA:
f) Determine las probabilidades de transición a largo plazo.
g) Para cada uno de los valores encontrados en el literal anterior, con sus palabras describa en una línea el significado referenciado al problema.
Rúbrica: literal a y b (8 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), literal e (4 puntos), literal f y g (8 puntos).
Referencias:
[1] http://www.arcotel.gob.ec/wp-content/uploads/2015/01/Portabilidad-Numerica-MOD.pdf
[2] http://www.eltelegrafo.com.ec/noticias/economia/8/13-millones-de-usuarios-de-la-telefonia-movil-cambiaron-de-operadora
[3] http://www.elcomercio.com/actualidad/ecuador-lineas-telefoniacelular-arcotel.html