Examen | 2019-2020 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 2
Considere \mathcal{P}_3 (\mathbb{R}) el conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual a tres, con coeficientes reales. Considere en \mathcal{P}_3 (\mathbb{R}) la aplicación \langle \cdot | \cdot \rangle : \mathcal{P}_3 (\mathbb{R}) \times \mathcal{P}_3 (\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R} definido por \footnotesize{\langle a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 | b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3 \rangle = a_0b_0+4a_1b_1+2a_2b_2+a_3b_3}
a) | Verifique que \langle \cdot | \cdot \rangle es un producto interno en \mathcal{P}_3 (\mathbb{R}). |
b) | Para el operador en T:\mathcal{P}_3 (\mathbb{R})\longrightarrow \mathcal{P}_3 (\mathbb{R}) definido por T(p(x))=p(-1)+p(0)x^2, determine una base para la imagen de T. |
c) | Determine el complemento ortogonal del núcleo (o kernel) de T. |
d) | Encuentre la proyección ortogonal del vector r(x)=1+x+2x^2+3x^3 sobre el núcleo de T |