Sea el espacio vectorial V=P_2. Se define el siguiente producto interno\langle p,q \rangle=p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(-1)q(-1)y además, el operador lineal T sobre V comoT(p(x))=p(-1)+p(0)x^2Hallar la proyección ortogonal del vector r(x)=x^2-x-1 sobre el complemento ortogonal del núcleo de T.
Sea la matriz A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} -4&6\\-3&5 \end{array} \end{pmatrix}. Determine la matriz A^k, siendo k\in\mathbb{N}.
Sea V=C[0,1] el espacio vectorial de las funciones continuas en el intervalo [0,1] con producto interno\langle f,g \rangle=\int_{1}^{0} f(x) g(x) dxEncuentre un polinomio de grado menor o igual a 1 que mejor aproxime a la funciónf(x)=e^{-x} con x\in [0,1].
Nota: Suponga a los polinomios de grado menor o igual a 1 como un subespacio vectorial de V.
Sea T:\mathbb{R}^4\longrightarrow\mathbb{R}^4 una transformación lineal definida comoT(x,y,z,w)=(0,x,x+y,x+y+z)Se conoce también que v=(1,0,0,0).
Pruebe que B=\{v,T(v),T^2(v),T^3(v)\} es un conjunto linealmente independiente en \mathbb{R}^4.
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.
a. Si A es una matriz de tamaño n\times n, u y v son vectores de \mathbb{R}^n, entonces se cumple que \langle Av,u \rangle=\langle v,A^T u \rangle.
Nota: \langle u,v \rangle representa el producto interno.
b. Sea V un espacio vectorial y T un operador lineal definido sobre V, entonces se cumple que Nu(T^2) \subseteq Nu(T).
c. Sea A y B matrices semejantes, entonces las matrices A^T y B^T también lo son.
d. Sea T:V\longrightarrow W una transformación lineal. Si \{v_1,v_2,...,v_n\} es un conjunto linealmente independiente en V, entonces el conjunto \{T(v_1),T(v_2),...,T(v_n)\} es linealmente independiente en W.
