Determine los valores reales de \alpha para que el sistema \left\{\begin{array}{rrr} x+\alpha y+3z & = & 2 \\ x+y-z & = & 1 \\ 2x+3y+\alpha z & = & 3 \end{array}\right. tenga:
a. Infinitas soluciones.
b. Solución única.
c. Ninguna solución.
Dada A=\left(\begin{array}{rrrr}2 & 4 & -2 & 1\\ -2 & -5 & 7 & 3 \\3 & 7 & -8 & 6\end{array}\right), determine:
a. Si u=(3,-2,-1,0) es un elemento del núcleo de A.
b. Si v=(3,-1,3) es un elemento de la imagen de A.
c. Nulidad de A.
d. Dimensión de la imagen de A.
Califique, justificando cada respuesta, como verdadero o falso las siguientes proposiciones.
a. El conjunto solución del sistema \left\{\begin{array}{c} x_1+x_2=1 \\ x_3+x_4=0 \end{array}\right. es un subespacio vectorial de \mathbb{R}^4.
b. Sean V un espacio vectorial sobre un campo \mathbb{K} y W un subespacio de V. Si v\notin W entonces, v+w \notin W para cada w de W.
c. Sean V un espacio vectorial sobre un campo \mathbb{K}, A y B subconjuntos de V. Entonces Gen(A\cap B)=Gen(A) \cap Gen(B).
d. Si \{u,v\} es un conjunto linealmente independiente de un espacio vectorial V, entonces \{u+v,u+w,v+w\} es un conjunto linealmente independiente para todo vector no nulo w de V.
e. Sea A una matriz cuadrada. Si el espacio columna de A es igual al espacio renglón de A, entonces A es una matriz simétrica.
Sea T una función definida sobre C^2{[a,b]} como:\begin{aligned}T&:\ C^2{[a,b]} \rightarrow C^2{[a,b]} \\ T(f)&=f''+2f'+f \end{aligned}Determine si T es una transformación lineal.
Califique como verdadero o falso y justifique su respuesta.
a. Sea V un espacio vectorial. Sea S un conjunto linealmente independiente en V. Si w es un vector no nulo de V, entonces S\cup \{w\} es también un conjunto linealmente independiente en V.
b. Sea S=\{v_1,v_2,\cdots,v_k\} un conjunto generador del espacio vectorial. Si se añade un vector v_{k+1} que es combinación lineal de los vectores de S, entonces el conjunto S'=\{v_1,v_2,\cdots,v_k,v_{k+1}\} NO es un conjunto generador de V.
Sea una base B=\left\{v_1,v_2,v_3,v_4\right\} del espacio vectorial V, se definen los siguientes subespacios vectoriales:\begin{aligned}H&=gen\left\{v_1-v_2+v_3,2v_2-v_3\right\}\\W&=gen\left\{v_1+v_2+v_4,v_4-v_1\right\}\end{aligned}Determine H\cap W, H+W y sus respectivas dimensiones.
Para la matriz A. Obtenga el valor de k para que la dimensión de la imagen de A sea 3. ¿Y para que la dim(Im(A))=1? En ambos casos justifique su respuesta.\small{A=\left(\begin{array}{rrrr} 1&1&2&4 \\ 2&k&4&8 \\ 0&0&8&16 \end{array}\right)}
Considere las bases ordenadas del espacio vectorial V=D_{2\times 2} que se indican a continuación:\small{B_1=\left\{ \left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)\right\} \quad B_2=\left\{ \left(\begin{array}{rr} 4 & 0\\ 0 & -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{rr} -4 & 0 \\ 0 & -3 \end{array}\right)\right\}}a. Si \small{A=\left(\begin{array}{rr} 5 & 0\\ 0 & -2 \end{array}\right)}, determine \left[A\right]_{B_1}.
b. Determine la matriz (de transición) de cambio de base de B_1 a B_2.
Un grupo de personas se reúnen para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Si se cuentan los hombres y mujeres, resulta ser el triple de niños. Además, si hubiese acudido una mujer más, su número iguala al de hombres. Hallar el número de hombres, mujeres y niños que han ido a la excursión.
