2018-2019 |

Tema 6

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 6

Considere el siguiente teorema:

Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{K}$ y sea $D$ un subconjunto de $V$ linealmente independiente. Si $v_0 \in V$ es un elemento tal que $v_0 \notin gen(D)$ , entonces el conjunto $D\cup \{ v_0 \}$ es un conjunto linealmente independiente.

A continuación, se presenta un conjunto de pasos que ordenados pertinentemente representan la demostración de este teorema. En cada círculo en blanco indique el orden que corresponda al paso adjunto para que la demostración sea expresada de manera correcta.

$\bigcirc$	En consecuencia $D\cup \{ v_0\}$ es un conjunto linealmente independiente.
$\bigcirc$	Lo cual contradice la elección de $v_0$ .
$\bigcirc$	$\alpha_0$ debe ser distinto de cero, de otro modo $D$ sería linealmente independiente, lo cual sería una contradicción.
$\bigcirc$	Entonces existen elementos $v_1,v_2,...,v_n \in D$ y escalares $\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ no todos iguales a cero, tales que $\alpha_0 v_0+\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+...+\alpha_n v_n=0_V$ .
$\bigcirc$	Así $v_0=\frac{\alpha_1}{\alpha_0}v_1+\frac{\alpha_2}{\alpha_0}v_2+...+\frac{\alpha_n}{\alpha_0}v_n$ .
$\bigcirc$	Suponga que el conjunto $D\cup \{ v_0 \}$ es linealmente dependiente.

Tema 5

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 5

Sea $V$ un espacio vectorial definido sobre un campo $\mathbb{K}$ y sea $U$ un conjunto no vacío de $V$ . Demuestre que $U$ es un subespacio de $V$ si, y sólo si, $\alpha u + v \in U$ para todo $u,v \in V$ y $\alpha \in \mathbb{K}$ .

Tema 4

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 4

Sea $A=M_{4\times 4}{(\mathbb{R})}$ , si sus subespacios propios son: $\begin{aligned} L_1&=gen\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\w \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 \ : \ \begin{aligned} 8x+y+z+4w&=0\\4x+y+z+2w&=0\\4x+z+2w&=0 \end{aligned} \end{Bmatrix} \\ \\L_2&=gen\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} \begin{array}{r} -1\\0\\1\\0 \end{array} \end{pmatrix} \end{Bmatrix}\\ \\ L_3&=gen\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{Bmatrix} \end{aligned}$ a) Determine si $A$ es diagonalizable.
b) ¿Es $A$ es una matriz simétrica? Justifique su respuesta.

Tema 3

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 3

De ser posible, construya una transformación lineal $T$ de $P_2(\mathbb{R})$ en $\mathbb{R}^3$ tal que $\; T\begin{pmatrix} x^2+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1\\-1\\0 \end{array} \end{pmatrix}$ y $\; T\begin{pmatrix} x+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0\\2\\1 \end{array} \end{pmatrix}$ .

Tema 2

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Tercera Evaluación Evaluación | Tema 2

Sea $V=P_3(\mathbb{R})$ el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a $3$ , con coeficientes reales. Considere los conjuntos $H_1=\{ p\in V\ {:}\ p'(1)=0\}$ y $H_2=gen\{ x-1,x^2-3x \}$ .

a) Determine una base para el subespacio $H_1\cap H_2$ .
b) Determine una base para el subespacio $H_1 + H_2$ .

Tema 1

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 1

A continuación se presentan cuatro enunciados cada uno de los cuales tienen cuatro posibles opciones de respuesta (más de una puede ser correcta en cada caso). Rellene el círculo de aquella o aquellas opciones correctas.

Literal a. Sean $V$ un espacio vectorial definido sobre un campo $\mathbb{K}$ . Es cierto que:

$\bigcirc$	Si $W_1$ y $W_2$ son subconjuntos de $V$ entonces $( W_1 \cap W_2 )$ es un subespacio.
$\bigcirc$	Si $W_1$ , $W_2$ y $W_3$ son subespacios de $V$ entonces $(W_1 \cap W_2) + W_3$ es un subespacio de $V$ .
$\bigcirc$	Si $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ y para cada número complejo $a+bi$ se define $(a+bi)v=av$ entonces con esta nueva multiplicación por escalar, $V$ es un espacio vectorial complejo.
$\bigcirc$	Si $W_1$ y $W_2$ son subespacios de $V$ entonces $W_1+W_2$ es el menor subespacio de $V$ que contiene a $W_1 \cup W_2$ .

Literal b. Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales de dimensión finita, definidos sobre un mismo campo $\mathbb{K}$ . Si $B=\{ u_1,u_2,...,u_n \}$ es una base del espacio $V$ , entonces es cierto que:

$\bigcirc$	Existe una única transformación lineal tal que $T(u_1)=T(u_2)=...=T(u_n)$ .
$\bigcirc$	Si $T:V\longrightarrow W$ y $G:V\longrightarrow W$ son dos transformaciones lineales entonces $T\circ G$ es una transformación lineal.
$\bigcirc$	Si $T:V\longrightarrow W$ y $G:V\longrightarrow W$ son dos transformaciones lineales entonces $T+G$ es una transformación lineal.
$\bigcirc$	$T$ es un isomorfismo sí, y solo si, $\{ T(u_1),T(u_2),...,T(u_n) \}$ es una base de $W$ .

Literal c. Sea $V$ un espacio vectorial, de dimensión finita, definido sobre un campo $\mathbb{K}$ . Suponga que ${\langle \cdotp | \cdotp \rangle}$ define un producto interno en $V$ . Es cierto que:

$\bigcirc$	${\langle v \| v \rangle}$ puede ser un número complejo.
$\bigcirc$	$d(x,y)\le d(z,x)+d(y,z)$ .
$\bigcirc$	Si $S$ es un conjunto ortonormal de vectores en $V$ , entonces $S$ es un conjunto linealmente independiente.
$\bigcirc$	Si $S$ es un conjunto ortogonal de vectores en $V$ , entonces $S$ es un conjunto linealmente independiente.

Literal d. Sean $u_1$ y $u_2$ dos vectores propios de la matriz $A\in M_n(\mathbb{R})$ asociada a los autovalores $\lambda_1$ y $\lambda_2$ respectivamente. Es cierto que:

$\bigcirc$	$u_1-u_2$ es vector propio asociado a $A$ .
$\bigcirc$	$\{ u_1,u_2 \}$ es un conjunto linealmente independiente en $\mathbb{R}^n$ .
$\bigcirc$	Si $A$ es una matriz simétrica, existe un escalar $\alpha$ tal que $u_1=\alpha u_2$ .
$\bigcirc$	Si $A$ es una matriz simétrica y $\lambda_1 \neq \lambda_2$ entonces $\{ u_1,u_2 \}$ es un conjunto ortogonal.

Tema 6

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 6

Sea $(V,{\langle \cdotp | \cdotp \rangle})$ un espacio con producto interno definido sobre un campo $\mathbb{K}$ y sea $W$ un subespacio de $V$ . Demuestre que el complemento ortogonal de $W$ , $W^{\perp}$ , es un subespacio de $V$ y determine el conjunto $W\cap W^{\perp}$ .

Tema 5

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 5

Considere el siguiente teorema: Si $V$ y $U$ son dos espacios vectoriales sobre un campo $\mathbb{K}$ , $V$ de dimensión finita y $L:V\longrightarrow U$ una transformación lineal, entonces $Rango\,(L)+Nulidad\,(L)=dim\,(V)$
A continuación, se presenta un conjunto de pasos que ordenados pertinentemente representan la demostración de este teorema para el caso en que $k=Nulidad\,(L)<dim\,(V)=n$ . En cada círculo en blanco indique el orden que corresponda al paso adjunto para que la demostración sea expresada de manera correcta.

$\bigcirc$	Si $u\in Im\,(L)$ , entonces existe un vector $v\in V$ tal que $L(v)=u$ y $v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+...+\alpha_n v_n$ con $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n \in \mathbb{K}$ .
$\bigcirc$	Se obtiene entonces que ${Rango\,(L)+Nulidad\,(L)=(n-k)+k=n=dim\,(V)}$ .
$\bigcirc$	Sea $B_1=\{v_1,v_2,...,v_k\}$ una base para el $Ker\,(L)$ .
$\bigcirc$	$T$ debe ser inyectiva.
$\bigcirc$	Existen entonces $c_1,c_2,...,c_k\in \mathbb{K}$ tales que $\gamma_{k+1}v_{k+1}+...+\gamma_{n}v_{n}=c_1 v_1+c_2 v_2 +...+c_k v_k$ , de donde $c_1 v_1 + c_2 v_2 +...+c_k v_k -\gamma_{k+1}v_{k+1}-...-\gamma_{n}v_{n}=0_V$ .
$\bigcirc$	Se pueden elegir vectores $v_{k+1},v_{k+2},...,v_{n}$ tales que $B=\{v_1,v_2,...,v_n\}$ sea una base para $V$ .
$\bigcirc$	Se tiene entonces que $c_1=c_2=...=c_k=\gamma_{k+1}=...=\gamma_n=0$ por lo tanto $\{ L(v_{k+1}),...,L(v_n) \}$ es linealmente independiente y base de $Im(L)$ .
$\bigcirc$	Si $\gamma_{k+1}L(v_{k+1})+...+\gamma_{n}L(v_{n})=0_U$ se tiene que $L(\gamma_{k+1}v_{k+1}+...+\gamma_{n}v_n)=0_U$ , esto es $\gamma_{k+1}v_{k+1}+...+\gamma_{n}v_n\in Ker(L)$ .
$\bigcirc$	Luego, $u=\alpha_{k+1}L(v_{k+1})+...+\alpha_n L(v_n)$ , por lo tanto $\{ L(v_{k+1}),...,L(v_n) \}$ genera a $Im(L)$ .

Tema 4

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 4

Demuestre que si $V$ es un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{K}$ , con producto interno ${\langle \cdotp | \cdotp \rangle}$ , entonces para todo $a\in \mathbb{K}$ y $v_1,v_2,v_3\in V$ se tiene que ${\langle v_1 | \alpha v_2+v_3 \rangle}=\overline{\alpha}{\langle v_1 | v_2 \rangle}+{\langle v_1 | v_3 \rangle}$ .

Tema 3

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 3

Determine los valores de la constante a para los cuales la matriz real $\footnotesize{\begin{pmatrix}\begin{array} {rcr} 1&a&a \\ -1&1&-1 \\ 1&0&2 \end{array}\end{pmatrix}}$ sea diagonalizable.