Segunda Evaluación |

Tema 4

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 4

A continuación, se presentan dos enunciados que son verdaderos, escoja uno de ellos y demuéstrelo.

a)	Sean $V$ y $W$ dos espacios vectoriales ambos sobre un mismo campo $\mathbb{K}$ . Suponga que $V$ es de dimensión finita y $B=\{ v_1,v_2,...,v_n\}$ es una base de $V$ y $w_1,w_2, ..., w_n$ son vectores en $W$ , entonces existe una transformación lineal $T:V\longrightarrow W$ tal que $T(v_i)=w_i$ para cada $i=1,2,...,n$ .
b)	Sea $(V,\langle \cdot \| \cdot \rangle)$ un espacio vectorial con producto interno y sea $W$ el espacio generado por el conjunto ortonormal de vectores $\{ v_1,v_2,...,v_n \}$ . El vector $v\in V$ pertenece a $W$ si, y sólo si, $u$ puede ser escribirse como $\langle u \| v_1 \rangle v_1+\langle u \| v_2 \rangle v_2 + ... + \langle u \| v_n \rangle v_n$

Tema 3

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 3

Dada la matriz $A=\begin{pmatrix}\begin{array}{rrrr} a&-2&0&0 \\ b&1&0&0 \\ 0&0&1&-2 \\ 0&0&-2&1 \end{array}\end{pmatrix}$ Determine de ser posible:

a)	Los valores de $a$ y $b$ para que $A$ sea una matriz diagonalizable ortogonalmente y $\lambda=-1$ sea un valor propio asociado al vector propio $\begin{pmatrix}\begin{array}{r} -3\\-3\\0\\0 \end{array}\end{pmatrix}$ de $A$ .
b)	Usando los valores de $a$ y $b$ encontrados, el polinomio característico de $A$ .
c)	Los espacios propios asociados a los valores propios de $A$ .
d)	Una base ortonormal de $\mathbb{R}^4$ conformada por los vectores de $A$

Tema 2

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 2

Considere $\mathcal{P}_3 (\mathbb{R})$ el conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual a tres, con coeficientes reales. Considere en $\mathcal{P}_3 (\mathbb{R})$ la aplicación $\langle \cdot | \cdot \rangle : \mathcal{P}_3 (\mathbb{R}) \times \mathcal{P}_3 (\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}$ definido por $\footnotesize{\langle a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 | b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3 \rangle = a_0b_0+4a_1b_1+2a_2b_2+a_3b_3}$

a)	Verifique que $\langle \cdot \| \cdot \rangle$ es un producto interno en $\mathcal{P}_3 (\mathbb{R})$ .
b)	Para el operador en $T:\mathcal{P}_3 (\mathbb{R})\longrightarrow \mathcal{P}_3 (\mathbb{R})$ definido por $T(p(x))=p(-1)+p(0)x^2$ , determine una base para la imagen de $T$ .
c)	Determine el complemento ortogonal del núcleo (o kernel) de $T$ .
d)	Encuentre la proyección ortogonal del vector $r(x)=1+x+2x^2+3x^3$ sobre el núcleo de $T$

Tema 1

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 1

A continuación, se presentan tres enunciados, cada uno de los cuales tienen cinco posibles opciones de respuesta (más de una puede ser correcta en cada caso). Rellene el círculo de aquellas opciones correctas. No debe justificar su elección, pero debe analizar bien cada elección, pero debe analizar bien cada elección, dado que cada selección incorrecta restará $0.5$ puntos a la calificación del tema.

a.	Sean $T:V\longrightarrow W$ una transformación lineal entre los espacio vectoriales $V$ y $W$ . Entonces es cierto que:
$\bigcirc$	Si $dim(V) > dim(W)$ , entonces $T$ no es inyectiva.
$\bigcirc$	Si $dim(V) < dim(W)$ , entonces $T$ no es sobreyectiva.
$\bigcirc$	Si $B_1=\{ v_1,v_2,...,v_n \}$ es una base de $V$ , entonces $B_2=\{ T(v_1),T(v_2),...,T(v_n) \}$ es una base de para la imagen de $T$ .
$\bigcirc$	Si $\{ T(v_1),T(v_2),...,T(v_n) \}$ es linealmente independiente en $W$ , entonces $\{ v_1,v_2,...,v_n \}$ es linealmente independiente en $V$ .
$\bigcirc$	Si $T$ es un isomorfismo, entonces $dim(V)$ es igual al rango de $T$ .

b.	Si $u$ y $v$ son vectores ortogonales de un espacio $(V,\langle \cdot \| \cdot \rangle)$ con producto interno, entonces es cierto que:
$\bigcirc$	$\{ u,v \}$ es un conjunto linealmente independiente.
$\bigcirc$	${\lVert u+v \rVert }^2={\lVert u \rVert }^2 + {\lVert v \rVert }^2$
$\bigcirc$	Si $u$ y $v$ son no nulos, existe una base de $V$ que contenga a estos dos vectores.
$\bigcirc$	$u$ y $u+v$ no pueden ser ortogonales.
$\bigcirc$	$u$ y $u+v$ son ortogonales si $u$ es no nulo.

c.	Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n$ con entradas en un campo $\mathbb{K}$ . Es cierto que:
$\bigcirc$	$A$ y su transpuesta tienen el mismo polinomio característico.
$\bigcirc$	$A$ tiene $n$ autovectores linealmente independientes.
$\bigcirc$	Si $A$ tiene $n$ autovalores diferentes, entonces es diagonalizable.
$\bigcirc$	Si $A$ es diagonalizable, entonces debe ser una matriz simétrica.
$\bigcirc$	Si $A$ es una matriz simétrica, entonces todos sus valores propios son número reales.