Exámenes | - Part 4

Tema 4

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 4

Sea $A=M_{4\times 4}{(\mathbb{R})}$ , si sus subespacios propios son: $\begin{aligned} L_1&=gen\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\w \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 \ : \ \begin{aligned} 8x+y+z+4w&=0\\4x+y+z+2w&=0\\4x+z+2w&=0 \end{aligned} \end{Bmatrix} \\ \\L_2&=gen\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} \begin{array}{r} -1\\0\\1\\0 \end{array} \end{pmatrix} \end{Bmatrix}\\ \\ L_3&=gen\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{Bmatrix} \end{aligned}$ a) Determine si $A$ es diagonalizable.
b) ¿Es $A$ es una matriz simétrica? Justifique su respuesta.

Tema 3

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 3

De ser posible, construya una transformación lineal $T$ de $P_2(\mathbb{R})$ en $\mathbb{R}^3$ tal que $\; T\begin{pmatrix} x^2+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1\\-1\\0 \end{array} \end{pmatrix}$ y $\; T\begin{pmatrix} x+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0\\2\\1 \end{array} \end{pmatrix}$ .

Tema 2

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Tercera Evaluación Evaluación | Tema 2

Sea $V=P_3(\mathbb{R})$ el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a $3$ , con coeficientes reales. Considere los conjuntos $H_1=\{ p\in V\ {:}\ p'(1)=0\}$ y $H_2=gen\{ x-1,x^2-3x \}$ .

a) Determine una base para el subespacio $H_1\cap H_2$ .
b) Determine una base para el subespacio $H_1 + H_2$ .

Tema 1

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 1

A continuación se presentan cuatro enunciados cada uno de los cuales tienen cuatro posibles opciones de respuesta (más de una puede ser correcta en cada caso). Rellene el círculo de aquella o aquellas opciones correctas.

Literal a. Sean $V$ un espacio vectorial definido sobre un campo $\mathbb{K}$ . Es cierto que:

$\bigcirc$	Si $W_1$ y $W_2$ son subconjuntos de $V$ entonces $( W_1 \cap W_2 )$ es un subespacio.
$\bigcirc$	Si $W_1$ , $W_2$ y $W_3$ son subespacios de $V$ entonces $(W_1 \cap W_2) + W_3$ es un subespacio de $V$ .
$\bigcirc$	Si $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ y para cada número complejo $a+bi$ se define $(a+bi)v=av$ entonces con esta nueva multiplicación por escalar, $V$ es un espacio vectorial complejo.
$\bigcirc$	Si $W_1$ y $W_2$ son subespacios de $V$ entonces $W_1+W_2$ es el menor subespacio de $V$ que contiene a $W_1 \cup W_2$ .

Literal b. Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales de dimensión finita, definidos sobre un mismo campo $\mathbb{K}$ . Si $B=\{ u_1,u_2,...,u_n \}$ es una base del espacio $V$ , entonces es cierto que:

$\bigcirc$	Existe una única transformación lineal tal que $T(u_1)=T(u_2)=...=T(u_n)$ .
$\bigcirc$	Si $T:V\longrightarrow W$ y $G:V\longrightarrow W$ son dos transformaciones lineales entonces $T\circ G$ es una transformación lineal.
$\bigcirc$	Si $T:V\longrightarrow W$ y $G:V\longrightarrow W$ son dos transformaciones lineales entonces $T+G$ es una transformación lineal.
$\bigcirc$	$T$ es un isomorfismo sí, y solo si, $\{ T(u_1),T(u_2),...,T(u_n) \}$ es una base de $W$ .

Literal c. Sea $V$ un espacio vectorial, de dimensión finita, definido sobre un campo $\mathbb{K}$ . Suponga que ${\langle \cdotp | \cdotp \rangle}$ define un producto interno en $V$ . Es cierto que:

$\bigcirc$	${\langle v \| v \rangle}$ puede ser un número complejo.
$\bigcirc$	$d(x,y)\le d(z,x)+d(y,z)$ .
$\bigcirc$	Si $S$ es un conjunto ortonormal de vectores en $V$ , entonces $S$ es un conjunto linealmente independiente.
$\bigcirc$	Si $S$ es un conjunto ortogonal de vectores en $V$ , entonces $S$ es un conjunto linealmente independiente.

Literal d. Sean $u_1$ y $u_2$ dos vectores propios de la matriz $A\in M_n(\mathbb{R})$ asociada a los autovalores $\lambda_1$ y $\lambda_2$ respectivamente. Es cierto que:

$\bigcirc$	$u_1-u_2$ es vector propio asociado a $A$ .
$\bigcirc$	$\{ u_1,u_2 \}$ es un conjunto linealmente independiente en $\mathbb{R}^n$ .
$\bigcirc$	Si $A$ es una matriz simétrica, existe un escalar $\alpha$ tal que $u_1=\alpha u_2$ .
$\bigcirc$	Si $A$ es una matriz simétrica y $\lambda_1 \neq \lambda_2$ entonces $\{ u_1,u_2 \}$ es un conjunto ortogonal.

Tema 6

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 6

Sea $(V,{\langle \cdotp | \cdotp \rangle})$ un espacio con producto interno definido sobre un campo $\mathbb{K}$ y sea $W$ un subespacio de $V$ . Demuestre que el complemento ortogonal de $W$ , $W^{\perp}$ , es un subespacio de $V$ y determine el conjunto $W\cap W^{\perp}$ .

Tema 5

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 5

Considere el siguiente teorema: Si $V$ y $U$ son dos espacios vectoriales sobre un campo $\mathbb{K}$ , $V$ de dimensión finita y $L:V\longrightarrow U$ una transformación lineal, entonces $Rango\,(L)+Nulidad\,(L)=dim\,(V)$
A continuación, se presenta un conjunto de pasos que ordenados pertinentemente representan la demostración de este teorema para el caso en que $k=Nulidad\,(L)<dim\,(V)=n$ . En cada círculo en blanco indique el orden que corresponda al paso adjunto para que la demostración sea expresada de manera correcta.

$\bigcirc$	Si $u\in Im\,(L)$ , entonces existe un vector $v\in V$ tal que $L(v)=u$ y $v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+...+\alpha_n v_n$ con $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n \in \mathbb{K}$ .
$\bigcirc$	Se obtiene entonces que ${Rango\,(L)+Nulidad\,(L)=(n-k)+k=n=dim\,(V)}$ .
$\bigcirc$	Sea $B_1=\{v_1,v_2,...,v_k\}$ una base para el $Ker\,(L)$ .
$\bigcirc$	$T$ debe ser inyectiva.
$\bigcirc$	Existen entonces $c_1,c_2,...,c_k\in \mathbb{K}$ tales que $\gamma_{k+1}v_{k+1}+...+\gamma_{n}v_{n}=c_1 v_1+c_2 v_2 +...+c_k v_k$ , de donde $c_1 v_1 + c_2 v_2 +...+c_k v_k -\gamma_{k+1}v_{k+1}-...-\gamma_{n}v_{n}=0_V$ .
$\bigcirc$	Se pueden elegir vectores $v_{k+1},v_{k+2},...,v_{n}$ tales que $B=\{v_1,v_2,...,v_n\}$ sea una base para $V$ .
$\bigcirc$	Se tiene entonces que $c_1=c_2=...=c_k=\gamma_{k+1}=...=\gamma_n=0$ por lo tanto $\{ L(v_{k+1}),...,L(v_n) \}$ es linealmente independiente y base de $Im(L)$ .
$\bigcirc$	Si $\gamma_{k+1}L(v_{k+1})+...+\gamma_{n}L(v_{n})=0_U$ se tiene que $L(\gamma_{k+1}v_{k+1}+...+\gamma_{n}v_n)=0_U$ , esto es $\gamma_{k+1}v_{k+1}+...+\gamma_{n}v_n\in Ker(L)$ .
$\bigcirc$	Luego, $u=\alpha_{k+1}L(v_{k+1})+...+\alpha_n L(v_n)$ , por lo tanto $\{ L(v_{k+1}),...,L(v_n) \}$ genera a $Im(L)$ .

Tema 4

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 4

Demuestre que si $V$ es un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{K}$ , con producto interno ${\langle \cdotp | \cdotp \rangle}$ , entonces para todo $a\in \mathbb{K}$ y $v_1,v_2,v_3\in V$ se tiene que ${\langle v_1 | \alpha v_2+v_3 \rangle}=\overline{\alpha}{\langle v_1 | v_2 \rangle}+{\langle v_1 | v_3 \rangle}$ .

Tema 3

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 3

Determine los valores de la constante a para los cuales la matriz real $\footnotesize{\begin{pmatrix}\begin{array} {rcr} 1&a&a \\ -1&1&-1 \\ 1&0&2 \end{array}\end{pmatrix}}$ sea diagonalizable.

Tema 2

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 2

De ser posible, construya una transformación lineal $T$ de $P_2(\mathbb{R})$ en $\mathbb{R}^3$ tal que $\begin{array}{c} T\begin{pmatrix} x^2+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1\\-1\\0 \end{array} \end{pmatrix} \\ \\ T\begin{pmatrix} x+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0\\2\\1 \end{array} \end{pmatrix} \\ \\T\begin{pmatrix} x^2-x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1\\-3\\-1 \end{array} \end{pmatrix} \end{array}$

Tema 1

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 1

A continuación se presentan tres enunciados cada uno de los cuales tienen cinco posibles opciones de respuesta (más de una puede ser correcta en cada caso). Rellene el círculo de aquella o aquellas opciones correctas. Cada selección incorrecta restará medio punto a la calificación del tema.

Literal a. Sean $T:V \longrightarrow W$ una transformación lineal. Si $dim\, V=n$ y $dim \,W=n-1$ , entonces es cierto que:

$\bigcirc$	Si ${v_1,v_2,...,v_n}$ es un conjunto linealmente independiente en $V$ , entonces ${T(v_1),T(v_2),...,T(v_n)}$ es un conjunto linealmente independiente de $W$ .
$\bigcirc$	$T(\bold{0}_v)=\bold{0}_v$ .
$\bigcirc$	$T$ debe ser sobreyectiva.
$\bigcirc$	$T$ debe ser inyectiva.
$\bigcirc$	El rango de $T$ es menor o igual a $n-1$ .

Literal b. Si $u$ y $v$ son vectores ortogonales de un espacio vectorial $(V,{\langle} \cdot|\cdot {\rangle})$ , entonces es cierto que:

$\bigcirc$	${\lVert u+v \rVert}^2 = {\lVert u \rVert}^2 + {\lVert v \rVert}^2$ .
$\bigcirc$	$\{u,v\}$ es un conjunto linealmente independiente.
$\bigcirc$	Si $u$ y $v$ son no nulos, existe una base de $V$ que contenga a estos dos vectores.
$\bigcirc$	$u$ y $u+v$ no pueden ser ortogonales.
$\bigcirc$	$u$ y $u+v$ son ortogonales si $u$ es no nulo.

Literal c. Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n$ con entradas en un campo $\mathbb{K}$ , entonces es cierto que:

$\bigcirc$	$A$ y su transpuesta tienen el mismo polinomio característico.
$\bigcirc$	$A$ tiene $n$ autovectores linealmente independientes.
$\bigcirc$	Si $A$ tiene $n$ autovalores diferentes entonces es diagonalizable.
$\bigcirc$	Si $A$ es diagonalizable entonces debe ser una matriz simétrica.
$\bigcirc$	Si $A$ es una matriz simétrica entonces todos sus valores propios son números reales.