Sea V=P_3(\mathbb{R}) el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a 3 y considere los subespacios S=\{ p\in V\ {:}\ p'(1)=0\} y T=gen\{ x-1,x^2-3x \}. Determine:
a) Una base para el subespacio S\cap T.
b) Una base para el subespacio S+T.
Sean V un espacio vectorial real, f:V\longrightarrow \mathbb{R} y g:V\longrightarrow \mathbb{R} dos transformaciones lineales. Se define F:V\longrightarrow \mathbb{R}^2 por F(v)=\footnotesize{\left(\begin{array}{r} f(v) \\ g(v) \end{array}\right) }. Determine si F es una transformación lineal entre V y \mathbb{R}^2 con las operaciones usuales.
Sea V el espacio vectorial de las matrices diagonales de orden 2, con entradas reales. Se tiene, para V, las bases \footnotesize{A=\left\{\left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\0 & 1 \end{array}\right) , \left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\0 & -1 \end{array}\right) \right\}} y \footnotesize{B=\left\{\left(\begin{array}{rr}2 & 0 \\0 & \alpha \end{array}\right) , \left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\0 & -2 \end{array}\right) \right\} }.
| a) | Si la matriz de transición de la base B a la base A es \footnotesize{P_{BA}=\left(\begin{array}{rr}2 & - \frac{1}{2} \\0 & m \end{array}\right) } determine, de ser posible, los valores de m y \alpha. |
| b) | Si [v]_A=\footnotesize{\left(\begin{array}{r}1 \\ 2 \end{array}\right)} determine [v]_B. |
| c) | Determine el vector v. |
Sea V=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3\ {:} \ x,y,z > 0 \} el espacio vectorial con las operaciones (x_1,y_1,z_1)\oplus(x_2,y_2,z_2)=(x_1x_2,y_1y_2,z_1z_2) y \lambda\odot(x,y,z)=(x^\lambda,y^\lambda,z^\lambda). Determine:
a) el vector nulo, 0_V,
b) el vector opuesto de v=(2,3,1), y
c) si (2,2,1) y (\frac{1}{2},\frac{1}{2},1) son vectores linealmente independientes.
Se conoce que las ternas (1,1,1) y (-1,3,-9) pertenecen al conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales:\left\{\begin{array}{c} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1 \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2 \\a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3\\a_{41}x+a_{42}y+a_{43}z=b_4 \end{array}\right.Determine otro elemento del conjunto solución distinto a las ternas dadas.
A continuación se presentan cinco enunciados, cada uno de los cuales tienen cuatro posibles opciones correctas (más de una puede ser correcta en cada caso). Marque, con una X, aquella o aquellas opciones correctas.
Literal a. Sea V un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K}. Para u,v,w\in V y \lambda, \mu\in \mathbb{K}, es cierto que:
a.1. Si v+u=u+w, entonces v=w.
a.2. Si \lambda u=\lambda v, entonces u=v.
a.3. Si \lambda v=\mu v y v\neq 0_V, entonces \lambda=\mu.
a.4. dim(V)=dim(\mathbb{K}).
Literal b. Sea V un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K}. Es cierto que:
b.1. Si V=gen\{ v_1,v_2,...,v_n \} y \{ u_1,u_2,...,u_k \} es un conjunto de vectores linealmente independientes en V, entonces n\geq k.
b.2. Si V es generado por el conjunto S=\{ v_1,v_2,...,v_n \}, entonces S contiene una base.
b.3. Si S=\{ u_1,u_2,...,u_k \} es un conjunto linealmente independiente, entonces S es un subconjunto de una base de V.
b.4. Si S=\{ u_1,u_2,...,u_k \} es un conjunto linealmente independiente, entonces S contiene una base de V.
Literal c. Sean V un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K}_V y W un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K}_W. Si T:V \longrightarrow W es una transformación lineal, es cierto que:
c.1. Las operaciones v+w y T(v)+T(w) son operaciones en el espacio vectorial V.
c.2. T(v+\alpha w)=T(v)+\alpha T(w).
c.3. T(0_V)=0_W.
c.4. Los campos K_V y K_W deben ser iguales.
Literal d. Sean V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo \mathbb{K}. Considere W_1, W_2 dos subespacios de V. Es cierto que:
d.1. dim(W_1+W_2)+dim(W_1\cap W_2)=dim(W_1)+dim(W_2).
d.2. Los complementos de W_1 y W_2, con respecto a V, son subespacios vectoriales de V.
d.3. W_1 \cup W_2, es el menor subespacio que contiene a W_1+W_2.
d.4. W_1 \cap W_2, W_1+W_2 son subespacios de V.
Sea A=M_{2\times 2}{(\mathbb{R})}, si sus subespacios propios son:\begin{aligned} L_1&=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\w \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 \ : \ \begin{aligned} x+y-3z+w&=0\\y-z-2w&=0\\x+2y-4z-w&=0 \end{aligned} \end{Bmatrix} \\ L_2&=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\w \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 \ : \ \begin{aligned} x+y-z+2w&=0\\y-z+w&=0 \end{aligned} \end{Bmatrix} \end{aligned}a) Determine si A es diagonalizable.
b) ¿A es una matriz simétrica? Justifique su respuesta.
Construya, de ser posible, una transformación lineal T:\mathbb{R}^3 \longrightarrow M_{2\times 2}(\mathbb{R}) que cumpla con:\begin{aligned}T(-2,2,-1) &= \begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 2&0\\1&-2 \end{array} \end{pmatrix} \\ T(-2,1,2) &= \begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 2&1\\-3&-5 \end{array} \end{pmatrix} \\ T(0,1,-3) &= \begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 0&-1\\4&3 \end{array} \end{pmatrix} \\ T(1,-1,0) &= \begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 4&-2\\1&0 \end{array} \end{pmatrix} \end{aligned}
Sea V=P_2{(\mathbb{R})} el espacio de los polinomios de grado menor o igual a 2, con coeficientes reales. Considere los conjuntos:\begin{aligned} H_1&=\{ ax^2+(2a+b)x+b\ :\ a,b\in \mathbb{R} \} \\ H_2&=gen\{ x-2,x+3 \} \\ H_3&=\{ (a+b)x^2+(a+b)x+1\ :\ a,b\in \mathbb{R} \} \end{aligned}a) Determine, cuáles de estos conjuntos es un subespacio vectorial V.
b) Si en el literal a obtiene más de un subespacio vectorial, determine la intersección entre dichos subespacios.
c) Determine si H_1\cup H_2 es un subespacio de V.
Construya, de ser posible, un sistema con:
a) 3 ecuaciones y 2 incógnitas que tenga infinitas soluciones.
b) 3 ecuaciones y 3 incógnitas que no tenga solución.
c) 3 ecuaciones y 2 incógnitas que tenga solución única.
