Ejercicio: 3Eva2016TI_T2 LTI CT sub-sistemas h(t) multiplicados con Fourier
a. Determinar la energía contenida en la señal h(t)
h(t) = \frac{\sin (11 \pi t)}{\pi t} E_{h(t)} = \int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|^2 \delta t = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}|H(\omega)|^2 \delta \omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-11\pi}^{11\pi}|1|^2 \delta \omega = \frac{1}{2\pi} \omega \Big|_{-11\pi}^{11\pi} = \frac{1}{2\pi} \big(11\pi-(-11\pi)\big) = \frac{1}{2\pi} 2\big(11\pi\big) = 11b. Determinar, esquematizar y etiquetar el espectro de Fourier de la señal m(t). Es decir M(ω) vs ω.
X(\omega) = \mathscr{F} \Big[\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \cos(5k\pi t) \Big] = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \mathscr{F} \Big[\cos (5k\pi t) \Big] = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \Big[\pi \delta (\omega +5k\pi) + \pi \delta (\omega -5k\pi) \Big] X(\omega) = \pi \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \Big[\delta (\omega +5k\pi) +\delta (\omega -5k\pi) \Big]Para el caso de la función de transferencia H(ω) que representa un filtro pasabajo LPF,
por el filtro pasabajo LPF se limitan las señales hasta k=2
= \sum_{i=1}^{2} \frac{1}{k^2} \pi\Big[\delta (\omega +5k\pi) +\delta (\omega -5k\pi) \Big] = \pi \frac{1}{1^2} \Big[\delta (\omega +5\pi) +\delta (\omega -5\pi) \Big] + \pi \frac{1}{2^2} \Big[\delta (\omega +5(2)\pi) +\delta (\omega -5(2)\pi) \Big] = \pi \delta (\omega +5\pi) +\pi \delta (\omega -5\pi) + \frac{\pi}{4} \delta (\omega +10\pi) +\frac{\pi}{4} \delta (\omega -10\pi)
c. Determinar, esquematizar y etiquetar el espectro de Fourier de la señal n(t). Es decir N(ω) vs ω
N(\omega) = G( \omega ) H( \omega ) N(\omega) = G( \omega ) \mathscr{F} \Big[\sum_{k=1}^{10} \cos (8k \pi t) \Big] = p_{11\pi}(\omega) \sum_{i=1}^{10} \pi\Big[\delta (\omega +8k\pi) +\delta (\omega -8k\pi) \Big]por el filtro pasabajo LPF se limitan las señales hasta k=1
= \pi \sum_{i=1}^{1} \Big[\delta (\omega +8k\pi) +\delta (\omega -8k\pi) \Big] = \pi \Big[\delta (\omega +8\pi) +\delta (\omega -8\pi) \Big] = \pi \delta (\omega +8\pi) + \pi\delta (\omega -8\pi)
d. Determinar la potencia de la señal de salida y(t) y la representación de su espectro de Series de Fourier complejas exponenciales. Indique también el orden de los armónicos que están presentes en dicha salida.
Z(\omega) = \mathscr{F}[m(t) n(t)] = \frac{1}{2 \pi} M(\omega) \circledast N(\omega)] = \frac{1}{2 \pi} \Big[\pi \delta (\omega +5\pi) +\pi \delta (\omega -5\pi) + +\frac{\pi}{4} \delta (\omega +10\pi) +\frac{\pi}{4} \delta (\omega -10\pi)\Big] \circledast \Big[ \pi \delta (\omega +8\pi) + \pi\delta (\omega -8\pi) \Big]se obtiene factor común π, para simplificar
Z(\omega) = \frac{\pi^2}{2\pi} \Big[\delta (\omega +5\pi) + \delta (\omega -5\pi) + +\frac{1}{4} \delta (\omega +10\pi) +\frac{1}{4} \delta (\omega -10\pi)\Big] \circledast \Big[ \delta (\omega +8\pi) + \delta (\omega -8\pi) \Big] = \frac{\pi}{2} \Big[\delta (\omega +5\pi+8\pi) + \delta (\omega -5\pi+8\pi) + +\frac{1}{4} \delta (\omega +10\pi +8\pi) +\frac{1}{4} \delta (\omega -10\pi +8\pi) +\delta (\omega +5\pi-8\pi) + \delta (\omega -5\pi-8\pi) + +\frac{1}{4} \delta (\omega +10\pi -8\pi) +\frac{1}{4} \delta (\omega -10\pi -8\pi) \Big] Z(\omega) = \frac{\pi}{2} \Big[\delta (\omega +13\pi) + \delta (\omega +3\pi) + +\frac{1}{4}\delta (\omega +18\pi) +\frac{1}{4} \delta (\omega -2\pi) + \delta (\omega -3\pi) + \delta (\omega -13\pi) + +\frac{1}{4} \delta (\omega +2\pi) +\frac{1}{4} \delta (\omega -18\pi)\Big]d. Determinar la potencia de la señal de salida y(t) y la representación de su espectro de Series de Fourier complejas exponenciales. Indique también el orden de los armónicos que están presentes en dicha salida.
Y(\omega) = Z(\omega) H(\omega)] = p_{11\pi}(\omega)Z(\omega)Las frecuencias superiores a 11ω no pasan por el filtro LPF
Z(\omega) = \frac{\pi}{2} \Big[\cancel{\delta (\omega +13\pi)} + \delta (\omega +3\pi) + +\cancel{\frac{1}{4}\delta (\omega +18\pi)} +\frac{1}{4} \delta (\omega -2\pi) + \delta (\omega -3\pi) + \cancel{\delta (\omega -13\pi)} + +\frac{1}{4} \delta (\omega +2\pi) +\cancel{\frac{1}{4} \delta (\omega -18\pi)}\Big] Y(\omega)= \frac{\pi}{2} \Big[\delta (\omega +3\pi) + \delta (\omega -3\pi) + +\frac{1}{4} \delta (\omega +2\pi) + \frac{1}{4} \delta (\omega -2\pi)\Big] Y(\omega)= \frac{\pi}{2}\delta (\omega +3\pi) + \frac{\pi}{2}\delta (\omega -3\pi) + +\frac{\pi}{8} \delta (\omega +2\pi) + \frac{\pi}{8} \delta (\omega -2\pi)ordenando y agrupando para obtener la inversa de la transformada,
Y(\omega)= \frac{1}{8} \pi \Big[ \delta (\omega +2\pi) + \delta (\omega -2\pi) \Big] +\frac{1}{2} \pi\Big[\delta (\omega +3\pi) + \delta (\omega -3\pi) \Big]
para determinar las frecuencias fundamentales de y(t) se tiene:
\omega_1 = 2\pi f = \frac{2\pi}{T_1} =2 \pi T_1 = \frac{2\pi}{2\pi} =1 \omega_2 = 2\pi f = \frac{2\pi}{T_2} =3 \pi T_2 = \frac{2\pi}{3\pi} = \frac{2}{3} \frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{2/3} =\frac{3}{2}la relación entre los periodos fundamentales es racional, se tiene que la señal de salida y(t) es periódica.
2T_1 = 3T_2 =T_0 2(1) = 3 \frac{2}{3} = 2 =T_0 \omega_0 = \frac{2\pi}{T_0} =\frac{2\pi}{2} = \pilos armónicos se pueden obtener observando la gráfica de y(ω):
k1 = 2, k2=3
para la potencia de la señal de salida y(t) se puede aplicar la relación de Parseval, siendo Ck los coeficientes de cada cos() para cada ωk, y C0 es cero por no tener componente en ω0=π
P_{y(t)} = C_o^2 + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} |C_k|^2 =(0)^2 + \frac{1}{2} \Big[ \Big(\frac{1}{8}\Big)^2 + \Big( \frac{1}{2}\Big) ^2 \Big] =(0)^2 + \frac{1}{2} \Big[ \frac{1}{64} +\frac{1}{4} \Big] = \frac{1}{2}\Big(\frac{1}{4}\Big) \Big[ \frac{1}{16} +1 \Big] = \frac{1}{8} \frac{17}{16} = \frac{17}{128}