3.1 LTI CT – Modelo entrada-salida para circuitos RLC

Referencia: Lathi 1.8 p111, Schaum/Hsu 2.5.B p60, Oppenheim 2.56.d p160, p700

La descripción de un sistema en términos de las mediciones en los extremos se denomina Modelo de entrada-salida.

Una forma es describir la relación entre salida/entrada se expresa usando operadores de diferenciación D:

\frac{y(t)}{x(t)} = \frac{P(D)}{Q(D)}

La respuesta de un sistema lineal puede también ser expresada como la suma de dos componentes: respuesta a entrada cero ZIR y respuesta a estado cero ZSR.

Respuesta
total
= respuesta a
entrada cero
+ respuesta a
estado cero

Para el caso de un circuito eléctrico RLC, el modelo inicia con la descripción de la ecuación diferencial lineal que relaciona el voltaje x(t) de entrada y la corriente de salida y(t).


Ejemplo 1. Corriente en circuito RLC y Ecuaciones Diferenciales Lineales de 2do orden

Referencia: Lathi 1.8-1 p111. Oppenheim problema 2.61c p164 Ejemplo 9.24 p700

Para el ejemplo, se plantea determinar la corriente de lazo y(t) del circuito mostrado en la imagen. FIEC05058_RLC

Usando la ley de voltajes en lazo se tiene que:

vL(t) + vR(t) +vC(t) = x(t)

que con las leyes de corriente para cada elemento (inductor, resistor y capacitor) se traducen en la ecuación integro-diferencial:

\frac{dy(t)}{dt} +3 y(t) + 2\int_{-\infty}^t y(\tau)d\tau = x(t)

Para tener todo expresado con un solo operador, se derivan ambos lados de la ecuación:

\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}} + 3\frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) = \frac{dx(t)}{dt}

que es la relación de «entrada-salida» del sistema con la entrada x(t) y la salida y(t) que permitirá analizar el sistema que representa al circuito.


Notación D para derivadas y 1/D para integrales

Por conveniencia, para usar una notación más compacta de la ecuación diferencial, el operador dy/dt se cambia por la notación D.

\frac{d}{dt}y(t) = Dy(t) \frac{d^2}{dt^2} y(t) = D^{2}y(t)

Que convierte la ecuación de entrada-salida a la expresión:

(D^2 + 3D +2)y(t) = Dx(t)

que es identica a la expresión de entrada y salida que describe al circuito.

El operador diferencial D también se interpreta con la notación para integrales,

\int_{-\infty}^t y(\tau)d\tau = \frac{1}{D}y(t)

por lo que la expresión integro-diferencial del circuito,

\frac{d}{dt}y(t) +3 y(t) + 2\int_{-\infty}^t y(\tau)d\tau = x(t)

también se puede escribir en notación D como:

D y(t) + 3 y(t)+ \frac{2}{D} y(t) = x(t)

Al multiplicar ambos lados por el operador D se convierte nuevamente en una expresión sin denominadores D, semejante a la expresión que usa solo diferenciales.

\Big( D^2 + 3D + 2 \Big) y(t) = D x(t)

Recuerde: la expresión con operadores D, NO ES una ecuación algebraica, pues la expresión de operadores D aplican solo a y(t).

En adelante, para el sistema o circuito descrito por ecuaciones diferenciales se usa el operador D=\frac{d}{dt}, por ejemplo:

a_2 \frac{d^2}{dt^2}y(t) + a_1 \frac{d}{dt}y(t) + a_0 y(t) = b_1\frac{d}{dt}x(t) + b_0x(t) a_2 D^ 2y(t) + a_1 Dy(t) + a_0y(t) = b_1Dx(t) + b_0 x(t) (a_2 D^ 2 + a_1 D + a_0)y(t) = (b_1D + b_0 )x(t)

las expresiones de los operadores D de cada lado se conocen también como P(D) y Q(D)

Q(D) y(t) = P(D) x(t) P(D) = b_1D + b_0 Q(D) = a_2 D^ 2 + a_1 D + a_0

La relación de salida/entrada del sistema se expresa como:

\frac{y(t)}{x(t)} = \frac{b_1D + b_0}{a_2 D^ 2 + a_1 D + a_0}


Ejercicio 2. Voltaje de un Circuito RC como una Ecuación Diferencial Lineal de 1er Orden

Referencia: Lathi Ejemplo 1.17 p113.

Usando la notación del operador D, encuentre la relación de salida/entrada para el circuito RC.  Para ésto defina i(t) como la corriente del circuito y como y(t) el voltaje del capacitor.

La corriente del lazo i(t) del circuito:

R i(t) +\frac{1}{C} \int_{-\infty}^{t} i(\tau) \delta \tau = x(t)

cambiando al operador D

R i(t) +\frac{1}{C} \frac{1}{D} i(t) = x(t) R D i(t) +\frac{1}{C} i(t) = D x(t) \Big(R D +\frac{1}{C}\Big) i(t) = D x(t)

Conociendo que la corriente i(t) en el capacitor depende de la variación de voltaje y(t) y la capacitancia C

i(t) = C \frac{\delta}{\delta t} y(t) = CD y(t)

se sustituye i(t) en la ecuación,

(R D +\frac{1}{C}) CD y(t) = D x(t)

simplificando un operador D

(R D +\frac{1}{C}) C y(t) = x(t) (RC D + 1 ) y(t) = x(t)

Para mostrar la relación de salida/entrada se reordena la expresión:

\frac{y(t)}{x(t)} = \frac{1}{RC D +1} \frac{y(t)}{x(t)} = \frac{\frac{1}{RC}}{D +\frac{1}{RC}}

Expresando con P(D) y Q(D)

Q(D) y(t) = P(D) x(t) P(D) = \frac{1}{RC} Q(D) = D +\frac{1}{RC}

Formas de encontrar una solución

Se pueden plantear varias formas de desarrollo para la solución de la ecuación diferencial lineal, usando los conceptos analíticos y numéricos:

1. Desarrollo analítico, que es el tradicional con papel y lápiz.

2. Desarrollo usando algoritmos en Python:

2.1  desarrollo analítico con fórmulas simbólicas en Sympy-Python
2.2 desarrollo numérico con funciones en Scipy-Python para LTI
2.3 desarrollo numérico con Runge-Kutta d2y/dx2  para EDO del curso  Métodos Numéricos.

3. Desarrollo usando un simulador con:

3.1 usando  diagrama de bloques
3.2 usando un diagrama de circuito

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