Transformada z – Tabla de Propiedades

Referencia: Schaum Hsu Tabla 4-2 p173. Lathi Tabla 5.2 p509. Oppenheim Tabla 10.3 p793 pdf821,

 

Propiedad señal Transformada z ROC
x[n]
x1[n]
x2[n]
X[z]
X1[z]
X2[z]
R
R1
R2
Aditiva x1[n] + x2[n] X1[z] + X2[z]
Escalabilidad a x[n] a X[z]
Linealidad a_1 x_1[n] + a_2 x_2[n] a_1 X_1[z] + a_2 X_2[z] R’ ⊃R1∩R2
Desplazamiento
en tiempo
x[n-n0] z-n0 X[z] R’ ⊃ R∩{0<|z|<∞}
Multiplicación
por z0n
z0n x[n] X \big(\frac{z}{z_0}\big) R’ = |z0|R
Multiplicación
por ejβn
ejβn x[n] X(e-jβ z) R’ = R
Inversión en tiempo x[-n] X \big(\frac{1}{z}\big) R’ = 1/R
Multiplicación
por n
n x[n] -z \frac{\delta}{\delta z}X(z) R’ = R
Acumulativa \sum_{k=-\infty}^n x[n] \frac{1}{1-z^{-1}} X(z) R’ ⊃ R∩{|z|>1}
Convolución x_1 \circledast z_2 X1[z]X2[z] R’ ⊃R1∩R2
Valor inicial x[0] \lim _{z \rightarrow \infty} X[z]
Valor Final \lim _{N \rightarrow \infty} x[N] \lim _{z \rightarrow 1} (z-1) X[z]
polos de (z-1)X[z] dentro de círculo unitario

Transformadas z – Tabla

Transformada z – Tabla

Referencia: Schaum Hsu Tabla 4-1 p170. Lathi Tabla 5.1 Transformada z p492. Oppenheim tabla 10.2 p776 pdf807

No. x[n] X[z] ROC
1a δ[n] 1 Toda z
1b δ[n-m] z-m Toda z excepto
0 (si m>0) ó
∞ (si m<0)
2a μ[n] \frac{z}{z-1} \frac{1}{1-z^{-1}} |z|>1
2b -μ[-n-1] \frac{z}{z-1} \frac{1}{1-z^{-1}} |z|<1
3 n μ[n] \frac{z}{(z-1)^2} \frac{z^{-1}}{(1- z^{-1})^2} |z|>1
4 n2 μ[n] \frac{z(z+1)}{(z-1)^3}
5 n3 μ[n] \frac{z(z^2 + 4z + 1)}{(z-1)^4}
6a γn μ[n] \frac{z}{z-\gamma} \frac{1}{1-\gamma z^{-1}} |z|>|γ|
6b n μ[-n-1] \frac{z}{z-\gamma} \frac{1}{1-\gamma z^{-1}} |z|<|γ|
7 γn-1 μ[n-1] \frac{1}{z-\gamma}
8a n γn μ[n] \frac{\gamma z}{(z-\gamma)^2} \frac{\gamma z^{-1}}{(1- \gamma z^{-1})^2} |z|>|γ|
8b -n γn μ[-n-1] \frac{\gamma z}{(z-\gamma)^2} \frac{\gamma z^{-1}}{(1- \gamma z^{-1})^2} |z|<|γ|
8c (n+1) γn μ[n] \Big[ \frac{z}{z-\gamma}\Big]^2 \frac{1}{(1- \gamma z^{-1})^2} |z|>|γ|
9 n2 γn μ[n] \frac{\gamma z (z + \gamma)}{(z - \gamma)^3 }
10 \frac{n(n-1)(n-2) \text{...} (n-m+1)}{\gamma^m m!}\gamma^n \mu[n] \frac{ z}{(z-\gamma)^{m+1}}
11a |γ|n cos(βn) μ[n] \frac{ z \big(z-|\gamma | \cos (\beta ) \big)}{z^2-(2|\gamma | \cos (\beta ))z +|\gamma |^2}
11b |γ|n sin(βn) μ[n] \frac{ z |\gamma | \sin (\beta )}{z^2-(2|\gamma | \cos (\beta ))z +|\gamma |^2}
12a r|γ|n cos(βn+θ) μ[n] \frac{ rz[z \cos (\theta) - |\gamma | \cos (\beta -\theta)]}{z^2-(2|\gamma | \cos (\beta ))z +|\gamma |^2}
12b r|γ|n cos(βn+θ) μ[n]
γ = |γ| e
\frac{\big(0.5r e^{j \theta} \big)z}{z - \gamma} + \frac{\big(0.5r e^{-j \theta} \big)z}{z - \gamma^{*}}
12c r|γ|n cos(βn+θ) μ[n] \frac{z(Az +B)}{z^2 + 2az + |\gamma|2}
r = \sqrt{\frac{A^2|\gamma |^2 + B^2 - 2AaB}{|\gamma |^2 - a^2}} \beta = \cos ^{-1} \frac{-a}{|\gamma |}

\theta = tan^{-1} \frac{ Aa - B}{A \sqrt{|\gamma |^2 - a^2}}

13 {an ; 0≤ n ≤ N-1
{0  ; otro caso
\frac{1-a^N z^{-n}}{1-az^{-1}} |z|>0

Transformada z – Tabla de propiedades

7.4 LTI DT Transformada z – Ejemplos con sistemas discretos

2Eva2009TII_T2 LTI DT Dado h[n], y[n] determine x[n]

 

7.3 LTI DT Transformada z – Y[z] componentes de entrada cero y estado cero con Python

Referencia: Lathi Ejemplo 5.5 p510

continuando con la solución del ejercicio de condiciones iniciales,

y[n+2] – 5 y[n+1] + 6 y[n] = 3 x[n+1] + 5 x[n]

con las condiciones iniciales y[-1]=11/16, y[-2]=37/36,
ante una entrada x[n]=(-2)-nμ[n]

Respuesta
total
= respuesta a
entrada cero
+ respuesta a
estado cero

En el ejemplo se encuentra que la solución total de la ecuación de diferencias se puede separar en dos componentes. El primero es generado por las condiciones iniciales y el segundo por la entrada x[n]

\Bigg(1 - 5 \frac{1}{z} + 6 \frac{1}{z^2}\Bigg) Y[z] + \Bigg(-3 + \frac{11}{z} \Bigg) = 3\frac{1}{z-0.5}+5\frac{1}{z(z-0.5)} \Bigg(1 - 5 \frac{1}{z} + 6 \frac{1}{z^2}\Bigg) Y[z] = - \Bigg(-3 + \frac{11}{z} \Bigg) + \frac{3z+5}{z(z-0.5)} \Bigg(1 - 5 \frac{1}{z} + 6 \frac{1}{z^2}\Bigg) Y[z] = -\text{condiciones iniciales} + \text{entrada x[n]}

para simplificar, se multiplica ambos lados por z2

(z^2 - 5 z + 6 ) Y[z] = - z(-3z +11) + \frac{z(3z+5)}{(z-0.5)} (z^2 - 5 z + 6 ) Y[z] = - \text{condiciones iniciales} + \text{entrada x[n]} Y[z] = \frac{- z(-3z +11)}{(z^2 - 5 z + 6 )} + \frac{z(3z+5)}{(z-0.5)(z^2 - 5 z + 6 ) }

respuesta total = (respuesta a entrada cero) + (respuesta estado cero)

continuando luego con el proceso de fracciones parciales y cambio al dominio de tiempo discreto. (realizado en desarrollo analítico).


Instrucciones en Python

Se reutilizan los algoritmos de la sección LTID Transformada z – Fracciones parciales con Python a lo que se añaden las instrucciones de los pasos anteriores.

termino entrada cero:  z**2*(-3.0 + 11.0/z)
termino estado cero:   z*(3*z + 5)/(z - 0.5)

 Yz = (-entrada0 +estado0)/Qz:
   2 /       11.0\   z*(3*z + 5)
- z *|-3.0 + ----| + -----------
     \        z  /     z - 0.5  
--------------------------------
           2                    
          z  - 5*z + 6          

 Yz en fracción:
   /     2               \  
 z*\3.0*z  - 9.5*z + 10.5/  
----------------------------
              / 2          \
(1.0*z - 0.5)*\z  - 5*z + 6/

 Yz en fracciones parciales:
1.73333333333333*z   1.16666666666667*z             1.2*z          
------------------ - ------------------ + -------------------------
   1.0*z - 0.5          0.5*z - 1.0       0.333333333333333*z - 1.0
 
{polos:veces}:  {3: 1, 2: 1}
>>> 

Instrucciones Python

# Transformada z- Fracciones parciales
# Y(z) componentes entrada0 y estado0
# Polos únicos, repetidos y complejos
# Lathi Ejemplo 5.5 p510
import sympy as sym

# INGRESO
z = sym.Symbol('z')

# Hz = Pz/Qz
Pz = 3*z+5
Qz = z**2-5*z+6

# condiciones iniciales ascendente ...,y[-2],y[-1]
inicial = [37/36, 11/6]

# señal de entrada Xz
Xz = z/(z-0.5)

# PROCEDIMIENTO
# coeficientes QD
P = Pz.as_poly(z)
Q = Qz.as_poly(z)
Q_raiz  = sym.roots(Q)
Q_coef  = Q.coeffs()
Q_grado = Q.degree()

Hz = Pz/Qz

# Términos de condiciones iniciales
m0 = len(inicial)
termino0 = 0 
for j in range(0,Q_grado,1):
    terminogrado = 0
    for i in range(m0-1-j,m0,1):
        terminogrado = terminogrado + inicial[i]*(z**((m0-1-j)-i ))
    termino0 = termino0 + terminogrado*Q_coef[j+1]
    
# salida y(t) a entrada x(t)
entrada0 = termino0*(z**2)
estado0  = sym.simplify(Pz*Xz)

# ecuación lado derecho
derecha = sym.simplify(-entrada0 + estado0)
fraccion = derecha.as_numer_denom()
numerador = sym.simplify(fraccion[0])
denominador = sym.simplify(fraccion[1])

# senal resultante
Yzf = (numerador/denominador)/Qz

# fracciones parciales modificadas
Yzz = sym.simplify(Yzf/z)
Yzm = Yzz.apart()

# fracciones parciales restaurada
terminos = Yzm.args
Yzp = 0
parametros = [] # denominador cuadratico
for untermino in terminos:
    Yzp = Yzp + untermino*z

    # revisa denominador cuadratico
    [numerador,denominador] = (untermino*z).as_numer_denom()
    if not(denominador.is_constant()):
        denominador = denominador.as_poly()
        numerador = numerador.as_poly()
        gradoD = denominador.degree()
        gradoN = numerador.degree()
        coeficientesD = denominador.coeffs()
        coeficientesN = numerador.coeffs()
        if gradoD == 2 and gradoN==2:
            a = float(coeficientesD[1])/2
            gamma2 = float(coeficientesD[2])
            gamma = np.sqrt(gamma2)
            A = float(coeficientesN[0])
            B = float(coeficientesN[1])
            rN = (A**2)*gamma2 + B**2 - 2*A*a*B
            rD = gamma2 - a**2
            r = np.sqrt(rN/rD)
            beta = np.arccos(-a/gamma)
            thetaN = A*a-B
            thetaD = A*np.sqrt(gamma2-a**2)
            theta = np.arctan(thetaN/thetaD)
            parametros.append({'r':r,
                               'beta':beta,
                               'theta':theta})

# SALIDA
print('termino entrada cero: ',entrada0)
print('termino estado cero:  ',estado0)
print('\n Yz = (-entrada0 +estado0)/Qz:')
sym.pprint((-entrada0 + estado0)/Qz)

print('\n Yz en fracción:')
sym.pprint(Yzf)
print('\n Yz en fracciones parciales:')
sym.pprint(Yzp)
print('\n {polos:veces} Hz: ',Q_raiz)
if len(parametros)>0:
    print('parametros cuadraticos: ')
    print(parametros)

7.2.1 LTI DT Transformada z – Y[n] ecuacion lineal de diferencias en z con condiciones iniciales

La transformada z convierte las ecuaciones de diferencias en expresiones algebraicas que permiten encontrar soluciones en el dominio z. A partir de las soluciones en el dominio z, se aplica la transformada inversa z que lleva a la solución en el dominio del tiempo


Ejercicio1

Referencia: Lathi Ejemplo 5.5 p510

Resolver

y[n+2] – 5 y[n+1] + 6 y[n]  = 3 x[n+1] + 5 x[n]

con las condiciones iniciales y[-1]=11/16, y[-2]=37/36,
ante una entrada x[n]=(2)-nμ[n]

Desarrollo analítico

Usando la propiedad de desplazamiento de 2 unidades a la derecha.

y[n] – 5 y[n-1] +6 y[n-2]  = 3 x[n-1] + 5 x[n-2]

se aplica la transformada z, teniendo en cuenta que y[n-k] significa y[n-k]μ[n], pues consideramos solamente la situación de n≥0, y[n] esta presente incluso antes de n=0.

Teniendo así que,

y[n] μ[n] \Leftrightarrow Y[z] y[n-1] μ[n] \Leftrightarrow \frac{1}{z} Y[z] + y[-1] = \frac{1}{z} Y[z] + \frac{11}{6} y[n-1] μ[n] \Leftrightarrow \frac{1}{z} Y[z] + \frac{11}{6} y[n-2] μ[n] \Leftrightarrow \frac{1}{z^2} Y[z] + \frac{1}{z}y[-1] + y[-2] y[n-2] \mu [n] \Leftrightarrow \frac{1}{z^2} Y[z] + \frac{1}{z}\frac{11}{6} +\frac{37}{36}

Conociendo que para una entrada causal x[n]

x[-1] = x[-2] = … = x[-n] = 0

se tiene que:

x[n] = (2)^{-n} \mu [n] = (2^{-1})^n \mu [n] = (0.5)^n \mu [n] \Leftrightarrow \frac{z}{z-0.5} x[n-1] \mu [n] \Leftrightarrow \frac{1}{z}X[z] +x[-1] = \frac{1}{z}\frac{z}{z-0.5} +0= \frac{1}{z-0.5} x[n-2] \mu [n] \Leftrightarrow \frac{1}{z^2}X[z] + \frac{1}{z}x[-1] + x[-2] = = \frac{1}{z^2} \frac{z}{z-0.5} + (0) + (0) = \frac{1}{z(z-0.5)}

en general, para una entrada causal:

x[n-r] \mu [n] \Leftrightarrow \frac{1}{z^r}X[z]

tomando los resultados anteriores y reemplazado en la ecuacion inicial, de tiene

Y[z] - 5 \Bigg[ \frac{1}{z} Y[z] + \frac{11}{6}\Bigg] + 6 \Bigg[\frac{1}{z^2} Y[z] + \frac{1}{z}\frac{11}{6} +\frac{37}{36} \Bigg] = = 3\frac{1}{z-0.5}+5\frac{1}{z(z-0.5)}

reagrupando términos Y[z] y reordenando,

\Bigg(1 - 5 \frac{1}{z} + 6 \frac{1}{z^2}\Bigg) Y[z] +\Bigg(-5\frac{11}{6}+ \frac{1}{z}\frac{11}{6}6 +6\frac{37}{36} \Bigg) = = 3\frac{1}{z-0.5}+5\frac{1}{z(z-0.5)} \Bigg(1 - 5 \frac{1}{z} + 6 \frac{1}{z^2}\Bigg) Y[z] + \Bigg(-3 + \frac{11}{z} \Bigg) = 3\frac{1}{z-0.5}+5\frac{1}{z(z-0.5)} \Bigg(1 - 5 \frac{1}{z} + 6 \frac{1}{z^2}\Bigg) Y[z] = -\Bigg(-3 + \frac{11}{z} \Bigg) + 3\frac{1}{z-0.5}+5\frac{1}{z(z-0.5)}

En el lado derecho se muestran términos generados por una respuesta natural y una respuesta forzada. Dicho de otra forma, se muestran términos generados por las condiciones iniciales y por la señal x[n].

reagrupando el lado derecho en forma de numerador y denominador

\Bigg(1 - 5 \frac{1}{z} + 6 \frac{1}{z^2}\Bigg) Y[z] = \frac{3z^2 -9.5z +10.5}{z(z-0.5)}

se puede reescribir, multiplicando cada lado por z2

z^2\Bigg(1 - 5 \frac{1}{z} + 6 \frac{1}{z^2}\Bigg) Y[z] = z^2 \Bigg[\frac{3z^2 -9.5z +10.5}{z(z-0.5)} \Bigg] (z^2 - 5 z + 6) Y[z] = \frac{z(3z^2 -9.5z +10.5)}{(z-0.5)} Y[z] = \frac{z(3z^2 -9.5z +10.5)}{(z-0.5)(z^2 - 5 z + 6)}

se aplica fracciones parciales, usando el algoritmo de la sección Transformada z-fracciones parciales

Y[z] = \frac{26}{15}\frac{z}{z-0.5} - \frac{7}{3}\frac{z}{z-2} + \frac{18}{5}\frac{z}{z-3}

usando la tabla de transformadas z, se obtiene como respuesta en el tiempo discreto

y[n] = \Bigg[ \frac{26}{15}(0.5)^n - \frac{7}{3}(2)^n + \frac{18}{5}(3)^n \Bigg] \mu [n]

7.2 LTI DT Transformada z – X[z] Fracciones parciales modificadas con Python

Referencia: Lathi 5.1-1 p495, Oppenheim 10.3 p757, Hsu 4.5.D p174

Muchas de las transformadas X(z) de interés en la práctica son funciones racionales, que pueden ser expresadas como la suma de fracciones parciales, cuyas transformadas inversas pueden ser encontradas rapidamente en la tabla de transformadas.

Se busca evitar realizar el integral en el plano complejo requerido para encontrar la transformada inversa de z.

El método de las fracciones parciales es práctico porque cada x[n] transformable se define para n≥0, existe  su correspondiente X[z] definida para |z|>r0 y viceversa. (r0 es constante)

Para desarrollar y probar el algoritmo con Sympy-Python, se usará el desarrollo de los tres ejercicios siguientes, con polos únicos, repetidos y complejos. El algoritmo final del literal c integra las soluciones anteriores.


Ejercicio 1. Polos diferentes

Referencia: Lathi Ejercicio 5.3a p495. Hsu. ejercicio 4.29 p198

Realice la expansión en fracciones parciales de,

X[z] = \frac{8z-19}{(z-2)(z-3)}

Se puede encontrar que,

X[z] = \frac{3}{(z-2)}+\frac{5}{(z-3)}

de la tabla de transformadas z se tiene,

x[n] = [3(2)^{n-1} +5(3)^{n-1}] \mu [n-1]

Que tiene una entrada  con términos multiplicadas por μ[n-1], que es un inconveniente y no deseable. Se prefieren las transformadas respecto a μ[n].

Observando la tabla de transformadas z entre los items 6a y 7, se tiene que si la señal X[n] es multiplicada por u[n], el numerador tiene un factor z. Esto se consigue expandiendo en fracciones parciales X[z]/z  que son fracciones parciales modificadas cuando se tiene un factor z en el numeradory luego se restauran multiplicando el todo el resultado por z.

\frac{X[z]}{z} = \frac{8z-19}{z(z-2)(z-3)} =\frac{-19/6}{z} + \frac{3/2}{z-2} + \frac{5/3}{z-3}

que al multiplicar ambos lados por z, se obtiene,

X[z] =\frac{-19}{6} + \frac{3}{2}\frac{z}{z-2} + \frac{5}{3}\frac{z}{z-3}

y usando la tabla de transformadas z se obtiene:

x[n] = \frac{-19}{6} \delta [n] + \Big[ \frac{3}{2}(2)^n + \frac{5}{3}(3)^n \Big] \mu[n]

que es el resultado esperado y con respuesta equivalente al resolver con algoritmo iterativo para n=0,1,2,3,…

Por este motivo, es recomendable siempre expandir en fracciones parciales X[z]/z en lugar de solo X[z], pues tiene un factor z en el numerador.

Algoritmo en Python

Para realizar el ejercicio, debemos considerar usar Sympy. Las operaciones se realizan al dividir X[x]/z y simplificar la nueva expresión Xzz, luego una expansión Xzp. El resultado se multiplica término a término por z y de añaden a la expresión total Xzfp.

El bloque de ingreso que se modifica para cada caso es:

Pz = 8*z-19
Qz = (z-2)*(z-3)

El resultado obtenido es:

 Xz:
    8*z - 19   
---------------
(z - 3)*(z - 2)

 Xz/z:
    8*z - 19    
----------------
  / 2          \
z*\z  - 5*z + 6/

 Xz/z.apart:
    3           5        19
--------- + --------- - ---
2*(z - 2)   3*(z - 3)   6*z

 Xz = (Xz/z)*z
   3*z         5*z      19
--------- + --------- - --
2*(z - 2)   3*(z - 3)   6 

{polos:veces}:  {3: 1, 2: 1}
>>> 

Instrucciones en Python

# Transformada z- Fracciones parciales
# Polos únicos, repetidos y complejos
# Lathi Ejercicio 5.3a pdf495
# blog.espol.edu.ec/telg1001
import numpy as np
import sympy as sym

# INGRESO
z = sym.Symbol('z')

Pz = 8*z-19
Qz = (z-2)*(z-3)

# PROCEDIMIENTO
P = Pz.as_poly(z)
Q = Qz.as_poly(z)
Xz = Pz/Qz

# Raices Denominador
Q_raiz = sym.roots(Q)
Q_raizRe = sym.real_roots(Q)
rcompleja = len(Q_raiz)-len(Q_raizRe)

# Raices reales, únicas y repetidas
if (rcompleja<=0 and len(Q_raizRe)>0):
    # fracciones parciales modificadas
    Xzz = (P/Q)/z
    Xzm = Xzz.apart()
    # fracciones parciales restaurada
    terminos = Xzm.args
    Xzp = 0*z
    for untermino in terminos:
        Xzp = Xzp + untermino*z


# SALIDA
print('\n Xz:')
sym.pprint(Xz)
if (len(Q_raizRe)>0):
    print('\n Xz/z:')
    sym.pprint(Xzz)
    print('\n Xz/z.apart:')
    sym.pprint(Xzm)
    print('\n Xz = (Xz/z)*z')
    sym.pprint(Xzp)
    print('\n {polos:veces}:    ', Q_raiz)
print('\n polos Re: ', Q_raizRe)
if (rcompleja>0):
    print( ' Existen raíces complejas en denominador')
    print( ' Revisar la sección correspondiente')

Ejercicio 2. Polos repetidos

Referencia: Lathi Ejercicio 5.3b p495

Realice la expansión en fracciones parciales de,

X[z] = \frac{z(2z^2-11z+12)}{(z-1)(z-2)^{3}}

Antes de realizar la expansión en fracciones parciales, se divide ambos lados de la expresión para z. Es decir se usa fracciones parciales modificadas

\frac{X[z]}{z} = \frac{1}{z}\frac{z(2z^2-11z+12)}{(z-1)(z-2)^{3}} \frac{X[z]}{z} = \frac{(2z^2-11z+12)}{(z-1)(z-2)^{3}}

donde el modelo de las fracciones parciales a aplicar es:

\frac{(2z^2-11z+12)}{(z-1)(z-2)^{3}} = \frac{k}{z-1} + \frac{a_0}{(z-2)^3} + \frac{a_1}{(z-2)^2} + \frac{a_2}{(z-2)}

Para encontrar las constantes, se evalúa la expresión de la izquierda con los valores de cada raiz del denominador, en cada caso se obvia el término de la raiz en el denominador,

k = \frac{(2z^2-11z+12)}{\cancel{z-1}(z-2)^{3}} \Bigg|_{z=1} = \frac{(2(1)^2-11(1)+12)}{((1)-2)^{3}} = -3 a_0 = \frac{(2z^2-11z+12)}{(z-1)\cancel{(z-2)^{3}}}\Bigg|_{z=2} = \frac{(2(2)^2-11(2)+12)}{((2)-1)} = -2

con lo que la expresión modelo se convierte en:

\frac{(2z^2-11z+12)}{(z-1)(z-2)^{3}} = \frac{-3}{z-1} + \frac{-2}{(z-2)^3} + \frac{a_1}{(z-2)^2} + \frac{a_2}{(z-2)}

Una forma de resolver es por ejemplo para a2, multiplicar ambos lados por z y hacer que z→∞

\frac{(2z^2-11z+12)}{(z-1)(z-2)^{3}} z = z \Big[\frac{-3}{z-1} + \frac{-2}{(z-2)^3} + \frac{a_1}{(z-2)^2} + \frac{a_2}{(z-2)}\Big] \frac{(2z^2-11z+12)}{(z-1)(z-2)^{3}} z = \frac{-3z}{z-1} + \frac{-2z}{(z-2)^3} + \frac{a_1z}{(z-2)^2} + \frac{a_2z}{(z-2)}\Big] 0 = \frac{-3}{1-1/z} + \frac{-2z}{(z-2)^3} + \frac{a_1z}{(z-2)^2} + \frac{a_2}{(1-2/z)}\Big] 0 = -3 + (0) + (0) + a_2 a_2 =3

quedando solamente una incógnita a1 por resolver,

\frac{(2z^2-11z+12)}{(z-1)(z-2)^{3}} = \frac{-3}{z-1} + \frac{-2}{(z-2)^3} + \frac{a_1}{(z-2)^2} + \frac{3}{(z-2)}

El valor de a1 se puede determinar haciendo z tomar un valor conveniente, es decir z=0 en ambos lados de la ecuación

\frac{(2(0)^2-11(0)+12)}{((0)-1)((0)-2)^{3}} = \frac{-3}{(0)-1} + \frac{-2}{((0)-2)^3} + \frac{a_1}{((0)-2)^2} + \frac{3}{((0)-2)} \frac{12}{(-1)(-8)} = \frac{-3}{-1} + \frac{-2}{-8} + \frac{a_1}{4} + \frac{-3}{-2} \frac{3}{2} = 3 + \frac{1}{4} + \frac{a_1}{4} - \frac{3}{2} \frac{6}{2} - \frac{13}{4}= \frac{a_1}{4} -\frac{1}{4}= \frac{a_1}{4} a_1 = -1

completando la expresión:

\frac{X[z]}{z} = \frac{-3}{z-1} + \frac{-2}{(z-2)^3} + \frac{-1}{(z-2)^2} + \frac{3}{(z-2)}

teniendo finalmente X[z] al multiplicar ambos lados por z,

X[z] = \frac{-3z}{z-1} + \frac{-2z}{(z-2)^3} + \frac{-1z}{(z-2)^2} + \frac{3z}{(z-2)}

y usando la tabla de transformadas z se obtiene:

x[n] = \Big[-3 -2 \frac{n(n-1)}{8}(2)^n - \frac{n}{2}(2)^n + 3(2)^n \Big] \mu [n]

simplificando un poco:

x[n] = \Big[-3 -\Big(\frac{n(n-1)}{4} + \frac{n}{2} - 3\Big)(2)^n \Big] \mu [n] x[n] = -\Big[3 +\frac{1}{4}(n^2 + n-12)(2)^n \Big] \mu [n]

Usando el algoritmo en Python anterior, el bloque de ingreso cambia a:

Pz = z*(2*z**2-11*z+12)
Qz = (z-1)*(z-2)**3

con el resultado:

 Xz:
  /   2            \
z*\2*z  - 11*z + 12/
--------------------
         3          
  (z - 2) *(z - 1)  

 Xz/z:
         3       2              
      2*z  - 11*z  + 12*z       
--------------------------------
  / 4      3       2           \
z*\z  - 7*z  + 18*z  - 20*z + 8/

 Xz/z.apart:
    3       3        1          2    
- ----- + ----- - -------- - --------
  z - 1   z - 2          2          3
                  (z - 2)    (z - 2) 

 Xz = (Xz/z)*z
   3*z     3*z       z         2*z   
- ----- + ----- - -------- - --------
  z - 1   z - 2          2          3
                  (z - 2)    (z - 2) 
{polos:veces}:  {1: 1, 2: 3}
>>> 

comparando con el resultado analítico es el mismo.


Ejercicio 3. Polos complejos

Referencia: Lathi Ejercicio 5.3c p495

Realice la expansión en fracciones parciales de,

X[z] = \frac{2 z(3z+17)}{(z-1)(z^2 - 6z+25)}

Se realiza la separación en fracciones parciales modificadas

\frac{X[z]}{z} = \frac{2(3z+17)}{(z-1)(z^2 - 6z+25)}

usando el método «cubrir» de Heaviside se tiene que :

k = \frac{2(3z+17)}{\cancel{(z-1)}(z^2 - 6z+25)} \Big|_{z=1}=2

queda por resolver la segunda parte de la fracción.

\frac{X[z]}{z} = \frac{2}{(z-1)}+\frac{Az+B}{z^2 - 6z+25}

Usando el método de los factores cuadráticos, se multiplica ambos lados por z y z→∞

\frac{X[z]}{z}z= z\frac{2}{(z-1)}+z\frac{Az+B}{z^2 - 6z+25} 0 = \frac{2}{(1-1/z)}+\frac{Az^2+Bz}{(z^2 - 6z+25)} 0 = \frac{2}{(1-1/z)}+\frac{A+B\frac{1}{z}}{\frac{1}{z^2}(z^2 - 6z+25)} 0 = \frac{2}{(1-1/z)}+\frac{A+B\frac{1}{z}}{1 - 6\frac{1}{z}+25\frac{1}{z^2}} 0 = 2+A

con lo que A = -2 , para encontrar B se usa un valor conveniente de z=0

\frac{2 z(3z+17)}{(z-1)(z^2 - 6z+25)} = \frac{2}{(z-1)}+\frac{Az+B}{z^2 - 6z+25} \frac{2 (0+17)}{(0-1)(0^2 - 6(0)+25)} = \frac{2}{((0)-1)}+\frac{-2(0)+B}{(0^2 - 6(0)+25)} \frac{34}{-25} = +\frac{2}{-1}+\frac{B}{25} -\frac{34}{25} + 2=\frac{B}{25} -34+ 2(25) = B

con lo que B=16

\frac{X[z]}{z}= \frac{2}{(z-1)}+\frac{-2z+16}{z^2 - 6z+25} X[z]= \frac{2}{(z-1)}+\frac{z(-2z+16)}{z^2 - 6z+25}

con lo que es posible usar la tabla de transformadas z usando los items 2a y 12c. Para 12c los valores de A = -2, B = 16, |γ| =5 y a=-3.

r = \sqrt{\frac{(-2)^2 (5)^2+(16)^2-2(-2)(-3)(16)}{(5^2 -(-3)^2}} = \sqrt{\frac{100+256-192}{25-9}} =3.2

\beta = \cos^{-1} \Big(\frac{-(-3)}{5} \Big) = 0.927 \theta = \tan^{-1} \Bigg(\frac{(-2)(-3)-16}{(-2)\sqrt{(5^2 -(-3)^2}}\Bigg) = \tan^{-1}\Big( \frac{-10}{-8}\Big) = -2.246

reemplazando en la transformada, se encuentra x[n].

x[n] = [2+3.2(5)^n \cos(0.927n-2.246)] \mu [n]

pasamos a probar el algoritmo, donde se encuentra que para el denominador hay raíces complejas. Otra forma de observar es que las funciones parciales aún entregan resultados con términos que tienen el denominador con grado 2. Donde hay que usar expresiones de la tabla de transformadas.

 Xz:
     2*z*(3*z + 17)    
-----------------------
        / 2           \
(z - 1)*\z  - 6*z + 25/

 Xz/z:
          2              
       6*z  + 34*z       
-------------------------
  / 3      2            \
z*\z  - 7*z  + 31*z - 25/

 Xz/z.apart:
    2*(z - 8)       2  
- ------------- + -----
   2              z - 1
  z  - 6*z + 25        

 Xz = (Xz/z)*z
   2*z*(z - 8)     2*z 
- ------------- + -----
   2              z - 1
  z  - 6*z + 25        

{polos:veces}:     {1: 1, 3 - 4*I: 1, 3 + 4*I: 1}

 polos Re:  [1]
parametros cuadraticos: 
r 	 3.2015621187164243
gamma 	 5.0
beta 	 0.9272952180016123
theta 	 0.8960553845713439
>>> 

Instrucciones en Python

El algoritmo inicia de la misma forma que en la sección anterior. Ahora hay que revisar el grado del denominador en cada término. Si es de grado 2, se calculan los valores de r, β y θ para armar las transformada a partir de la tabla.

# Transformada z- Fracciones parciales
# Polos únicos, repetidos y complejos
# Lathi Ejercicio 5.3c pdf495
# blog.espol.edu.ec/telg1001
import numpy as np
import sympy as sym

# INGRESO
z = sym.Symbol('z')

Pz = 2*z*(3*z+17) #z*(2*z**2-11*z+12) #8*z-19
Qz = (z-1)*(z**2-6*z+25) #(z-1)*(z-2)**3 #(z-2)*(z-3)

# PROCEDIMIENTO
P = Pz.as_poly(z)
Q = Qz.as_poly(z)
Xz = Pz/Qz

# Raices Denominador
Q_raiz = sym.roots(Q)
Q_raizRe = sym.real_roots(Q)
rcompleja = len(Q_raiz)-len(Q_raizRe)

# Raices reales, únicas y repetidas
if (rcompleja<=0 and len(Q_raizRe)>0):
    # fracciones parciales modificadas
    Xzz = (P/Q)/z
    Xzm = Xzz.apart()
    # fracciones parciales restaurada
    terminos = Xzm.args
    Xzp = 0*z
    for untermino in terminos:
        Xzp = Xzp + untermino*z

def parametro_cuadratico(untermino):
    unparametro ={}
    # revisa denominador cuadratico
    [numerador,denominador] = (untermino).as_numer_denom()
    gradoD = 0
    coeficientesD = denominador
    gradoN = 0
    coeficientesN = numerador
    if not(denominador.is_constant()):
        denominador = denominador.as_poly()
        gradoD = denominador.degree()
        coeficientesD = denominador.coeffs()
    if not(numerador.is_constant()):
        numerador = numerador.as_poly()
        gradoN = numerador.degree()
        coeficientesN = numerador.coeffs()
    if gradoD == 2 and gradoN==2:
        a = float(coeficientesD[1])/2
        gamma2 = float(coeficientesD[2])
        gamma = np.sqrt(gamma2)
        A = float(coeficientesN[0])
        B = float(coeficientesN[1])
        rN = (A**2)*gamma2 + B**2 - 2*A*a*B
        rD = gamma2 - a**2
        r = np.sqrt(rN/rD)
        beta = np.arccos(-a/gamma)
        thetaN = A*a-B
        thetaD = A*np.sqrt(gamma2-a**2)
        theta = np.arctan(thetaN/thetaD)
        unparametro = {'r':r,
                       'gamma':gamma,
                       'beta':beta,
                       'theta':theta}
    return (unparametro)

# Terminos cuadraticos
parametros = [] # denominador cuadratico
if (rcompleja>0 and len(Q_raizRe)>0):
    # fracciones parciales modificadas
    Xzz = (P/Q)/z
    Xzm = Xzz.apart()
    # fracciones parciales restaurada
    terminos = Xzm.args
    Xzp = 0*z
    for untermino in terminos:
        Xzp = Xzp + untermino*z
        unparam = parametro_cuadratico(untermino*z)
        if len(unparam)>0:
            parametros.append(unparam)
if (rcompleja>0 and len(Q_raizRe)==0):
    Xzp = P/Q
    parametros.append(parametro_cuadratico(P/Q))

# SALIDA
print('\n Xz:')
sym.pprint(Xz)
if (len(Q_raizRe)>0):
    print('\n Xz/z:')
    sym.pprint(Xzz)
    print('\n Xz/z.apart:')
    sym.pprint(Xzm)
    print('\n Xz = (Xz/z)*z')
    sym.pprint(Xzp)
    print('\n {polos:veces}: ', Q_raiz)
print('\n polos Re: ', Q_raizRe)
if len(parametros)>0:
    for unparam in parametros:
        print('parametros cuadraticos: ')
        for cadauno in unparam.keys():
            print(cadauno,'\t',unparam[cadauno])

7.1.2 LTI DT – H[z] Diagrama de bloques con «1/z»

Referencia: Lathi 5.4 p519. Oppenheim 10.8 p783, Hsu Ejercicio 4.34 p201

Dada la similitud entre sistemas LTIC y LTID, las convenciones para diagramas de bloques  y las reglas de interconexión son idénticas a los sistemas contínuos. Los diagramas mostrados se realizan con el programa Xcos de SciLab.

Una función de transferencia general se expresa como:

H(z) = \frac{b_0 z^N +b_1 z^{N-1} + \text{ ... } + b_{N-1} z + b_N}{z^N + a_1 z^{N-1} +\text{ ... } + a_{N-1}z +a_N}

Ejemplo 1. H(z)

Referencia : Lathi 5.8a p522

H(z) =\frac{2}{z+5}

La función de transferencia es de primer orden (N=1), por lo que solo se usará un retraso para el diagrama. Los coeficientes de retroalimentación de retraso y adelanto son:

a1= 5 y b0 = 0, b1=2

La imagen presenta dos formas de realizar los diagramas

Ejemplo 2. H(z)

Referencia : Lathi 5.8b p522

H(z) =\frac{4z+28}{z+1}

la función de transferencia también es de primer orden (N=1), los coeficientes de retraso y adelanto son:

a1= 1 y b0 = 4, b1=28

La imagen presenta dos formas de realizar el diagrama de bloques

Ejemplo 3. H(z)

Referencia : Lathi 5.8c p522

H(z) =\frac{z}{z+7}

la función de transferencia también es de primer orden (N=1), los coeficientes de retraso y adelanto son:

a1= 7 y b0 = 1, b1=0

Ejemplo 4. H(z)

Referencia : Lathi 5.8d p522

H(z) =\frac{4z+28}{z^2+6z+5}

la función de transferencia también es de segundo orden (N=2), los coeficientes de retraso y adelanto son:

a1= 6, a2= 5 y b0 = 0, b1=4, b2=28

Ejemplo 5. Sistema LTI D

Referencia: Ejemplo Openheim 10.28 p784

Considere el sistema LTI causal descrito mediante:

y[n] - \frac{1}{4} y[n-1] = x[n]

con función del sistema:

H(z) =\frac{1}{1- \frac{1}{4} z^{-1} }

Aqui z-1 es la función del sistema con retraso unitario. El diagrama de bloques en la figura contiene un lazo de retroalimentación.

y[n] -\frac{1}{4} z^{-1} y[n] = x[n] y[n] = x[n] + \frac{1}{4} z^{-1} y[n]


Ejemplo 6. Función H(z)

Referencia: Ejemplo Openheim 10.29 p785

Considere un sistema LTI causal con función del sistema:

H(z) = \frac{ 1 - 2 z^{-1} }{ 1 - \frac{1}{4} z^{-1} }

La función se puede separar en bloque de denominador y numerador, semejante a los polinomios Q(E)  y P(E).

= \Bigg[\frac{1}{1 - \frac{1}{4}z^{-1}} \Bigg] \Bigg[ 1 - 2z^{-1} \Bigg]

Se observa en el diagrama (a) que z-1 se encuentra duplicado pues ambos bloques toman la misma señal para aplicarle un atraso, cada uno le da a una ganancia diferente. Por lo que un solo bloque z-1 puede realizar la misma operación.

En el mundo de los circuito digitales y componentes, la situación se interpreta como un componente duplicado, lo que tiene implicaciones de costos de implementación, recuerde el tema cuando construye un circuito digital usando puertas lógicas y registros.

7.1.1 Transformada z Inversa con Sympy-Python

Referencia: Lathi 5.1-1 p495 Oppenheim 10.3 p757

Muchas de las transformadas X[z] de interés práctico son fracciones de polinomios en z, que pueden ser expresadas como una suma de fracciones parciales cuya inversa puede ser revisada en una tabla de transformadas z.

El método de fracciones parciales funciona dado que para cada x[n] transformable con n≥0 le corresponde una X[z] única definida para |z|>a y viceversa. Para lo mostrado, se supone que se usa la fracción parcial mas simple.

Ejemplo 1a.  Transformada z inversa de una fracción dada con 1/z

Referencia: Oppenheim Ejemplo 10.13 p761, Lathi Ejemplo 5.1 p490

Continuando con el ejercicio presentado para convertir x[n] a X[z], se tiene que:

X[z] = \frac{1}{1-a z^{-1}}\text{ , } |z|>|a|

la expresión se puede expandir en series se potencias y obtener los primeros términos de la secuencia de x[n]. Los términos son útiles si se se requieren los m primeros términos de la secuencia, es decir n se encuentra en [0,m-1]

X[z]: 
   1   
-------
  a    
- - + 1
  z    

 F[z]:
         2    3    4    5    6                 
    a   a    a    a    a    a     /1          \
1 + - + -- + -- + -- + -- + -- + O|--; z -> oo|
    z    2    3    4    5    6    | 7         |
        z    z    z    z    z     \z          /

Términos x[n] entre[0,7]
[1, a, a**2, a**3, a**4, a**5, a**6]
>>> 

Al final de la serie F[z] se muestra un término con el orden del error.

De los términos mostrados, se observa que X[n] = an

Usando por ejemplo a=1/2, se obtiene como resultado de x[n],

>>> xnk
[1.0, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125, 0.015625]

Ejemplo 1a. Instrucciones Python

# transformada z inversa de X[z]
import numpy as np
import sympy as sym
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
z = sym.symbols('z')
n = sym.symbols('n', positive=True)
a = sym.symbols('a')

Xz = 1/(1-a*z**(-1))

# Region de convergencia
a1 = 0.5 # valor a
m = 7    # Términos a graficar

# PROCEDIMIENTO
# Series de potencia z**(-1)
Fz = sym.series(Xz,z**(-1), n=m)

# Terminos de X[n]
xn = []
termino = Fz.args
termino_n = len(termino)-1
for i in range(0,termino_n,1):
    xn.append(termino[i]*(z**i))
 
# SALIDA
print('X[z]: ')
sym.pprint(Xz)
print('\n F[z]:')
sym.pprint(Fz)
print('\n Términos x[n] entre[0,'+str(termino_n)+']')
print(xn)

# GRAFICA valores ---------------
# Terminos de X[n]
xnk = [];ki=[]
for k in range(0,termino_n,1):
    valor = xn[k].subs({z:1,a:a1})
    xnk.append(float(valor))
    ki.append(k)

# grafica entrada x[n]
plt.stem(ki,xnk)

plt.xlabel('ki')
plt.ylabel('x[n]')
plt.title('x[n]= '+str(xn)+' ; a='+str(a1))
plt.show()

Ejemplo 1b.  Transformada z inversa de una fracción dada con z

Referencia: Oppenheim Ejemplo 10.13 p761, Lathi Ejemplo 5.1 p490

Si la expresión se usa de la forma simplificada, que es la más común para tratar las expresiones con Sympy, el algoritmo anterior para las series no realiza la misma respuesta.

X[z] = \frac{z}{z-a}\text{ , } \Big|z|>|a| X[z] = \frac{1}{1-a z^{-1}}\text{ , } \Big|z|>|a|

Para este caso se multiplica el numerador y denominador por 1/z, obteniendo la expresión del ejemplo anterior. Para generar la serie se realiza el, cambio de variable Z=1/z para generar la serie sobre Z. Luego se restablece en la expresión antes de mostrar los términos, y se obtiene el mismo resultado.

De los términos mostrados, se observa que X[n] = an

Ejemplo 1b. Instrucciones Python

# transformada z inversa de X[z]
# supone que la expresión son fracciones parciales
import numpy as np
import sympy as sym
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
z = sym.symbols('z')
n = sym.symbols('n', integer=True, positive=True)
a = sym.symbols('a')

Xz = z/(z-a)

# Region de convergencia
a1 = 0.5 # valor a
m = 7    # Términos a graficar

# PROCEDIMIENTO
# expresión Xz con z para aplicar serie
# separa numerador y denominador
[Pz,Qz] = Xz.as_numer_denom()
Pz = (Pz*(1/z)).expand(1/z)
Qz = (Qz*(1/z)).expand(1/z)

# cambia Z por 1/z
Z = sym.symbols('Z')
PZ = Pz.subs(1/z,Z)
QZ = Qz.subs(1/z,Z)
XZ = PZ/QZ

# Series de potencia de Z
FZ = sym.series(XZ,Z, n=m)
Fz = FZ.subs(Z,1/z) # restituye 1/z

# Terminos de X[n]
xn = []
termino = Fz.args
termino_n = len(termino)-1
for i in range(0,termino_n,1):
    xn.append(termino[i]*(z**i))

# SALIDA
print('X[z]: ')
sym.pprint(Xz)
print('\n F[z]:')
sym.pprint(Fz)
print('Términos x[n] entre[0,'+str(termino_n)+']')
print(xn)

# GRAFICA valores ---------------
# Terminos de X[n]
xnk = [];ki=[]
for k in range(0,termino_n,1):
    valor = xn[k].subs({z:1,a:a1})
    xnk.append(float(valor))
    ki.append(k)

# grafica entrada x[n]
plt.stem(ki,xnk)

plt.xlabel('ki')
plt.ylabel('x[n]')
plt.title('x[n]= '+str(xn)+' ; a='+str(a1))
plt.show()

El algoritmo presentado puede ser tomado como punto de partida para los siguientes ejercicios. Realizado para explicación conceptual.

7.1 Transformada z con Sympy-Python

Referencia: Lathi 5.1 p488 Oppenheim 10.1 p741

Se define como X[z] a la transformada z de una señal x[n] como

X[z] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}

Por razones semejantes a las descritas en la unidad 4 para transformadas de Laplace, es conveniente considerar la transformada z unilateral. Dado que muchos de los sistemas y señales son causales, en la práctica se considera que las señales inician en n=0 (señal causal), la definición de la transformada z unilateral es la misma que la bilateral. excepto por los limites de la sumatoria que son [0,∞]

X[z] = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}

Ejemplo 1. Transformada z de exponencial causal

Referencia: Lathi ejemplo 5.1 p490, Oppenheim ejemplo 10.1 p743

Encuentre la Transformada z y la correspondiente ROC para la señal x[n]

x[n] = a ^{n} \mu[n]

1.1 Desarrollo analítico

por definición

X[z] = \sum_{n=0}^{\infty} a ^{n} \mu[n] z^{-n}

dado que μ[n]=1 para todo n≥0,

X[z] = \sum_{n=0}^{\infty} \Big(\frac{a}{z} \Big)^{n} =1 + \Big(\frac{a}{z} \Big)^{1}+\Big(\frac{a}{z} \Big)^{2}+\Big(\frac{a}{z} \Big)^{3}+\text{...}

revisando la progresión geométrica,

1+x+x^2+x^3+\text{...} = \frac{1}{1+x} \text{ , }|x|<1

y aplicando en la expresión del problema, se tiene:

X[z] = \frac{1}{1-\frac{a}{z}}\text{ , } \Big|\frac{a}{z}\Big| <1 X[z] = \frac{z}{z-a}\text{ , } \Big|z|>|a|

observe que X[z] existe solo si |z|>|a|. Para |z|<|a| la sumatoria no converge y tiende al infinito. Por lo que, la Región de Convergencia ROC de X[z] es la región sombreada de un círculo de radio |a| centrado en el origen en el plano z.


Luego se puede mostrar que la transformada z de la señal -an u[-(n+1)] también es z/(z-a). Sin embargo la región de convergencia en éste caso es |z|<|a|. Se observa que la transformada z inversa no es única, sin embargo,al restringir la transformada inversa a causal, entonces la transformada inversa es única como la mostrada.

1.2Transformada z con Sympy-Python

En Sympy de Python existe la función sym.summation(), que se usa para generar la expresión del resultado para la transformada z.

x[n]: 
 n
a 

 Transformada z desde sumatoria:
    1     |a|     
(-------, |-| < 1)
   a      |z|     
 - - + 1          
   z              

 Transformada z simplificada
  z   
------
-a + z

 ROC: 
|a|    
|-| < 1 
|z| 

 {polos:veces}:  {a: 1}
>>> 

Instrucciones en Python

# transformada z de x[n]u[n]
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sym

# INGRESO
z = sym.symbols('z')
n = sym.symbols('n',positive=True)
a = sym.symbols('a')

u = sym.Heaviside(n)
xn = (a**n)*u

# ROC Region de convergencia
a1 = 0.5  # valor a
m  = 7    # Términos a graficar
muestras = 101 # dominio z

# PROCEDIMIENTO
fnz = xn*(z**(-n))
# sumatoria en intervalo
Fz_n = sym.summation(fnz,(n,0,sym.oo))
Fz = Fz_n.args[0]     # primer intervalo
Xz = Fz[0].simplify() # expresion buscada

ROC = Fz[1]

# polos
[P,Q] = Xz.as_numer_denom()
Q = Q.as_poly(z)
Q_raiz = sym.roots(Q)

# SALIDA
print('x[n]: ')
sym.pprint(xn)
print('\n Transformada z desde sumatoria:')
sym.pprint(Fz)
print('\n Transformada z simplificada')
sym.pprint(Xz)
print('\n ROC: ')
sym.pprint(ROC)
print('\n {polos:veces}: ',Q_raiz)

# GRAFICA valores
Qa = Q.subs(a,a1) # sustituye a con a1
Qa = Qa.as_poly(z)
Qa_raiz = sym.roots(Qa)
# para graficar x[n]
fn = sym.lambdify([n,a],xn)
ki = np.arange(0,m,1)
xnk = fn(ki,a1)

# estima intervalo para z
z_limite = np.abs(list(Qa_raiz.keys()))
z_limite = np.concatenate((z_limite,[1])
                          ,axis=0)
z_limite = 2*int(np.max([z_limite]))

# X[z]
zi  = np.linspace(-z_limite,z_limite,
                  muestras)
fz = sym.lambdify([z,a],Xz)
Xzi = fz(np.abs(zi),a1) # usa |z|
# Revisar cuando z es complejo

# grafica plano z imaginario
figura, grafROC = plt.subplots()
# limite
radio1 = plt.Circle((0,0),1,
                    color='lightsalmon',
                    fill=True)
radio2 = plt.Circle((0,0),1,
                    linestyle='dashed',
                    color='red',fill=False)
grafROC.add_patch(radio1)
for raiz in Qa_raiz.keys():
    [r_real,r_imag] = raiz.as_real_imag()
    radio_raiz = np.abs(raiz)
    nROC = plt.Circle((0,0),radio_raiz,
                      color='lightgreen',
                      fill=True)
    grafROC.add_patch(nROC)
grafROC.add_patch(radio2) # borde r=1
grafROC.axis('equal')
# marcas de r=1 y valor a
for raiz in Qa_raiz.keys():
    x_polo = sym.re(raiz)
    y_polo = sym.im(raiz)
    etiqueta = 'polo: '+str(float(np.abs(raiz)))
    grafROC.scatter(x_polo,y_polo,marker='o',
                    color='green',label = etiqueta)
    etiqueta = "("+str(float(x_polo)) + ','
    etiqueta = etiqueta + str(float(y_polo))+")"
    plt.annotate(etiqueta,(x_polo,y_polo))
grafROC.plot(1,0,'o',color='red',
             label ='radio:'+str(1))

plt.axhline(0,color='grey')
plt.axvline(0,color='grey')
plt.grid()
plt.legend()
plt.xlabel('Re[z]')
plt.ylabel('Imag[z]')
untitulo = 'ROC X[z]='+str(Xz)
untitulo = untitulo+ ' ; a='+str(a1)
plt.title(untitulo)

# entrada x[n]
figura, grafxn = plt.subplots()
plt.stem(ki,xnk)

plt.xlabel('ki')
plt.ylabel('x[n]')
plt.title('x[n]= '+str(xn)+' ; a='+str(a1))

# dominio z
figura, grafXz = plt.subplots()
plt.plot(zi,Xzi,label='X[z]')
for raiz in Qa_raiz.keys():
    x_polo = sym.re(raiz)
    y_polo = sym.im(raiz)
    radio_raiz = np.abs(raiz)
    plt.axvline(radio_raiz,color='red')
    plt.axvline(-radio_raiz,color='red')
    plt.scatter(x_polo,y_polo,
                label='polo:'+str(radio_raiz),
                marker='x',color='red')
    plt.scatter(-x_polo,y_polo,
                label='polo:'+str(radio_raiz),
                marker='x',color='red')
plt.grid()
untitulo ='X[z]= '+str(Xz)
untitulo = untitulo+ ' ; a='+str(a1)
plt.title(untitulo)
plt.xlabel('zi')
plt.ylabel('X[zi]')

plt.show()

Referencia: The z-transform.dynamics-and-control. https://dynamics-and-control.readthedocs.io/en/latest/1_Dynamics/9_Sampled_systems/The%20z%20transform.html