Autor: Edison Del Rosario

Referencia: Gubner 5.1 Table 5.1 p 189

Valores de la función de distribución acumulada normal estandar Φ(x) y su complementaria Q(x)= 1- Φ(x). Para evaluar Φ y Q para argumentos negativos, use el hecho que la densidad normal estándar es par, Φ(-x) = Q(x).

\Phi(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-t^2 /2} dt Q(x) = 1- \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{x}^{\infty} e^{-t^2 /2} dt

x	Φ(x)	Q(x)		x	Φ(x)	Q(x)
0.0	0.5000	0.5000		2.0	0.9772	0.0228
0.1	0.5398	0.4602		2.1	0.9821	0.0179
0.2	0.5793	0.4207		2.2	0.9861	0.0139
0.3	0.6179	0.3821		2.3	0.9893	0.0107
0.4	0.6554	0.3446		2.4	0.9918	0.0082
0.5	0.6915	0.3085		2.5	0.9938	0.0062
0.6	0.7257	0.2743		2.6	0.9953	0.0047
0.7	0.7580	0.2420		2.7	0.9965	0.0035
0.8	0.7881	0.2119		2.8	0.9974	0.0026
0.9	0.8159	0.1841		2.9	0.9981	0.0019
1.0	0.8413	0.1587		3.0	0.9987	0.0013
1.1	0.8643	0.1357		3.1	0.9990	0.0010
1.2	0.8849	0.1151		3.2	0.9993	0.0007
1.3	0.9032	0.0968		3.3	0.9995	0.0005
1.4	0.9192	0.0808		3.4	0.9997	0.0003
1.5	0.9332	0.0668		3.5	0.9998	0.0002
1.6	0.9452	0.0548		3.6	0.9998	0.0002
1.7	0.9554	0.0446		3.7	0.9999	0.0001
1.8	0.9641	0.0359		3.8	0.9999	0.0001
1.9	0.9713	0.0287		3.9	1.0000	0.0000

Referencia: León-García 445 Important Continuous Random Variables p164

[uniforme] [Exponencial] [Normal] [Gamma] [Erlang m-1] [Chi-cuadrado] [Lapacian] [Rayleigh] [Cauchy] [Pareto] [Beta]

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Uniforme

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S_X = [a,b] f_X(x) = \frac{1}{b-a} a\leq x \leq b E[X] = \frac{a+b}{2} VAR[X] = \frac{(b-a)^2}{12} \Phi_X(\omega) = \frac{e^{j\omega b}- e^{j\omega a}}{j\omega(b-a)}

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Exponencial

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S_X = [0, \infty) f_X(x) = \lambda e ^{-\lambda c} x \geq 0 \text{ , } \lambda > 0 E[X] = \frac{1}{\lambda} VAR[X] = \frac{1}{\lambda ^2} \Phi_X(\omega) = \frac{\lambda}{\lambda - j\omega}

Nota: La variable aleatoria exponencial es la única variable aleatoria contínua con propiedad «sin memoria»

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Normal o Gausiana

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S_X = (-\infty, +\infty) f_X(x) = \frac{e^{-(x-m)^2 /2 \sigma ^2}}{\sqrt{2 \pi}\sigma}

– ∞ < x < + ∞ , σ >0

E[X] = m VAR[X] = \sigma ^2 \Phi_X(\omega) = e^{jm\omega - \sigma ^2 \omega ^2 /2}

Nota: En un amplio rango de condiciones, X puede ser usada para aproximar la suma de un gran número de variables aleatorias independientes

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Gamma

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S_X = (0, \infty) f_X(x) = \frac{ \lambda (\lambda x)^{\alpha -1} e^{-\lambda x} } {\Gamma(\alpha)} x > 0, \alpha >0, \lambda > 0

donde  \Gamma(z)  es la función gamma:
 \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} x^{z-1}  e^{-x} dx , z>0
 \Gamma \left(\frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}
 \Gamma (z+1) = z \Gamma(z) , z>0 
 \Gamma (m+1) = m!  , m>0 \text{, y entero}

E[x] = \frac{\alpha}{\lambda} VAR[X] = \frac{\alpha}{\lambda^2} \Phi_X(\omega) =\frac{1}{(1-j\omega /\lambda)^{\alpha}}

Casos especiales de Gamma
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Erlang m-1

\alpha = m \text{, entero positivo}

f_X(x) = \frac{ \lambda e^{-\lambda x }(\lambda x)^{m - 2} } {(m-1)!} x>0

\Phi_X(\omega) = \left( \frac{1}{1-j\omega /\lambda} \right) ^{m}

Nota: Una variable aleatoria Erlang m-1 se obtiene al añadir m variables aleatorias exponenciales independientes con parámetro λ
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Chi-cuadrado
con k grados de libertad:

\alpha = k/2 \text{, k entero positivo y } \lambda =1/2 f_X(x) = \frac{ x^{(k - 2)/2} e^{-x/2} } {2^{k/2} \Gamma (k/2)} x>0 \Phi_X(\omega) = \left( \frac{1}{1-2j\omega} \right) ^{k/2}

Nota: la suma de k variables aleatorias Gausianas, mutuamente independientes, con varianza unitaria, media cuadrada 0, es una variable aleatoria Chi-cuadrada con k grados de libertad.

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Lapacian

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S_X = (-\infty, +\infty) f_X(x) = \frac{\alpha}{2} e^{-\alpha|x|}

– ∞ < x < + ∞ , α >0

E[x] =0 VAR[X] = \frac{2}{\alpha^2} \Phi_X(\omega) = \frac{\alpha^2}{\omega ^2 + \alpha ^2}

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Rayleigh

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S_X = [0, \infty) f_X(x) = \frac{x}{\alpha^2} e^{-x^2/2\alpha^2} x \geq 0 , \alpha>0 E[X] = \alpha \sqrt{\pi/2} VAR[X] =(2- \pi/2) \alpha^2

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Cauchy

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S_X = (-\infty, +\infty) f_X(x) = \frac{\alpha / \pi}{x ^2 + \alpha ^2}

– ∞ < x < + ∞ , α >0

NO existe la media o varianza

\Phi_X(\omega) = e^{-\alpha|\omega| }

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Pareto

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S_X = [X_m, +\infty) , X_m>0 f_X(x) = \begin{cases} 0 && x< x_m\\ \alpha \frac{x_m^{\alpha}}{x^{\alpha+1}} && x \geq x_m \end{cases} E[X] =\frac{\alpha x_m}{\alpha - 1}, \alpha >1 VAR[X] =\frac{\alpha x_m^2}{(\alpha - 2)(\alpha-1)^2}, \alpha >2

Nota: La variable aleatoria Pareto es el ejemplo mas destacado de variables aleatorias con colas largas y puede ser vista como una versión contínua de la variable aleatoria discreta Zipf

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Beta

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f_X(x) = \begin{cases} \frac{\Gamma (\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1} && ,\alpha>0 \\, && \beta>0 \\ , && 0 < x < 1 \\ 0 && \text{otro caso} \end{cases} E[X] = \frac{\alpha}{\alpha + \beta} VAR[X] = \frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2 (\alpha + \beta + 1)}

Nota: La variable aleatoria Beta es util para modelar una variedad de formas de funciones de densidad de probabilidad en intervalos finitos

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[uniforme] [Exponencial] [Normal] [Gamma] [Erlang m-1] [Chi-cuadrado] [Lapacian] [Rayleigh] [Cauchy] [Pareto] [Beta]

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Referencia: León-García 3.5 Important Discrete Random Variables p115

[Bernoulli] [Binomial] [Geométrica] [Binomial Negativa] [Poisson] [Uniforme] [Zipf]

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Bernoulli

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S_X=\{0, 1 \} p_0 = q = 1-p p_1=p, 0 \leq p \leq 1 E[X] = p VAR[x] = p(1-p) G_X(z)=(q+pz)

Nota: La variable aleatoria Bernoulli es es valor de la función indicador I_A para algún evento; X=1 si ocurre A, y 0 en otro caso

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Binomial

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S_X=\{0, 1, ... , n \} p_k={n \choose k} p^{k} (1-p)^{n-k} k = 0, 1, ... , n E[X]= np VAR[X] = np(1-p) G_X(z)= (q + pz)^{n}

Nota: X es el numero de éxtidos en n intentos Bernoulli y por consiguiente la suma de n iid variables aleatorias Bernoulli.

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Geométrica

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Versión 1:

S_X=\{0, 1, 2, ... \} p_k = p(1-p)^{k} k= 0, 1, , ... E[X] =\frac{1-p}{p} VAR[X] = \frac{1-p}{p^2} G_X(z) = \frac{p}{1-qz}

Nota: X es el número de fallas antes del primer éxito en una secuencia de intentos Bernoulli independientes. La variable aleatoria geométrica es la única una variable aleatoria con propiedad «sin memoria».

Versión 2:

S_X'=\{ 1, 2, ... \} p_k = p(1-p)^{k-1} k= 1, 2, ... E[X'] =\frac{1}{p} VAR[X'] = \frac{1-p}{p^2} G_{X'}(z) = \frac{pz}{1-qz}

Nota: X’= X+1 es el número de intentos hasta primer éxito en una secuencia de intentos Bernoulli independientes.

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Binomial Negativa

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S_X=\{ r, r+1, ... \}

, donde r es un entero positivo

p_k = {{k-1} \choose {r-1}} p^{r}(1-p)^{k-r} k = r, r+1, ... E[x] = \frac{r}{p} VAR[X] = \frac{r(1-p)}{p^2} G_X(z) = \left( \frac{pz}{1-qz}\right)^{r}

Nota: X es el número de intentos hasta el r-ésimo éxito en una secuencia de intentos Bernoulli independientes

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Poisson

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S_X=\{0, 1, 2, ... \} p_k = \frac{\alpha ^{k}}{k!} e^{-\alpha} k = 0, 1, ... \text{ y } \alpha>0 E[X] = \alpha VAR[X] = \alpha G_X(z) = e^{\alpha(z-1)}

Nota: X es el número de eventos que ocurren en una unidad de tiempo cuando el tiempo entre eventos es distribuido exponencialmente con media 1/α.

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Uniforme

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S_X=\{1, 2, ..., L \} p_k = \frac{1}{L} k = 1, 2, ... , L E[X] = \frac{L+1}{2} VAR[X] = \frac{L^2 -1}{12} G_X(z) = \frac{z}{L} \frac{1- z^L}{1-z}

Nota: La variable aleatoria uniforme sus resultados son igualmente probables. Juega un rol importante en la generación de números aleatorios

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Zipf

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S_X=\{1, 2, ..., L \}

, donde L es un entero positivo

p_k = \frac{1}{c_L} \frac{1}{k} k = 1, 2, ... , L

donde c_L esta dado por:

c_L = \sum_{j=1}^{L} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{L} E[X] =\frac{L}{c_L} VAR[X] = \frac{L(L+1)}{2C_L} - \frac{L^2}{c_L ^2}

Nota: La variable aleatoria Zipf tiene la propiedad que algunos resultados ocurren frecuentemente, pero muchos resultados suceden muy poco

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[Bernoulli] [Binomial] [Geométrica] [Binomial Negativa] [Poisson] [Uniforme] [Zipf]

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