Sea T:\mathbb{R}^3 \longrightarrow P_2(\mathbb{R}) una transformación lineal cuya regla de correspondencia es T(a,b,c)=(a+b+kc)x^2+(a-b)x+a-c. Determine, de ser posible, los valores de k tal que T sea un isomorfismo.
Sea V un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K} con producto interno \langle \cdot|\cdot \rangle. Si \mathcal{A}=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es un conjunto de vectores en V, la matriz de Gram de \mathcal{A} es la matriz de todos los productos internos de los vectores de esta lista. Esto es M_{\mathcal{A}}=(a_{ij})^n_{i,j=1} tal que a_{ij}=\langle v_i|v_j \rangle.
| a. | Si V es el espacio vectorial \mathbb{C}^2, con las operaciones usuales y el producto interno \langle (x_1,y_1)|(x_2,y_2) \rangle = x_1 \bar{x}_2 + y_2 \bar{y}_2, determine la matriz de Gram de \mathcal{A}=\{ (1,i),(i,1) \}. | ||||
| b. | Indique si son verdaderas o falsas cada una de las siguientes afirmaciones, justificando brevemente su respuesta:
|
A continuación encontrará cinco afirmaciones. Indique, rellenando el círculo correspondiente, si la proposición es verdadera o falsa y en cada caso demuestre si la proposición es verdadera o construya un contraejemplo si la proposición es falsa.
| a. | Si A y B son matrices con los mismos valores propios y las mismas multiplicidades, entonces A y B son semejantes. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
| b. | Sea V un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K}, con producto interno \langle \cdot|\cdot \rangle. Si S=\{ v_1,v_2,v_3 \} es un conjunto ortogonal, formado por vectores no nulos, entonces S es un conjunto linealmente independiente. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
| c. | Si T:V \longrightarrow W es una transformación lineal, U un subespacio de W, entonces H=\{ v\in V : T(v) \in U \} es un subespacio de V. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
| d. | Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces A es diagonalizable si y sólo si es simétrica. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
| e. | Haciendo uso de formas cuadráticas, se puede verificar que x^2+4xy+y^2=9 corresponde a la ecuación de una elipse en el plano. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
A continuación se presenta un enunciado y tres razonamientos que conducen a la demostración de un teorema. Usted deberá escribir la conclusión de cada razonamiento; y el texto del teorema que con estos razonamientos se ha demostrado.
Enunciado. Sea (V,+,\cdot,\mathbb{K}) un espacio vectorial definido en el campo \mathbb{K}. Considere v_1,v_2,...,v_n vectores en V. Si S es el subconjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores v_1,v_2,...,v_n, se tiene lo siguiente:
Es verdadero que, si \alpha_1=\alpha_2=...=\alpha_n=0, entonces \alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + ...+\alpha_n \cdot v_n=\textbf{0}_{V}.
Si v,u \in S y existen escalares \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n,\beta_1,\beta_2,...,\beta_n tales que\begin{aligned}v&=\alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + ...+\alpha_n \cdot v_n \\ u&=\beta_1 \cdot v_1 + \beta_2 \cdot v_2 + ...+\beta_n \cdot v_n \end{aligned}Haciendo uso de las propiedades conmutativa y asociativa de las operaciones adición y multiplicación por escalar, se obtiene quev+u=(\alpha_1 +\beta_1) \cdot v_1 + (\alpha_2 +\beta_2) \cdot v_2 + ...+(\alpha_n +\beta_n) \cdot v_n
Por otra parte, Si \delta \in \mathbb{K} y v \in S se tiene nuevamente que existen escalares \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n tales quev=\alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + ...+\alpha_n \cdot v_nComo consecuencia de esto\delta \cdot v=(\delta\alpha_1) \cdot v_1 + (\delta\alpha_2) \cdot v_2 + ...+(\delta\alpha_n) \cdot v_n
Se sabe que W=(\mathbb{R}^2,+,\cdot) y V=(\mathbb{R}^2,\oplus,\odot) son espacios vectoriales reales siendo + y \cdot las operaciones usuales en \mathbb{R}^2; además, \oplus y \odot las operaciones definidas por\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+c+1\\b+d \end{pmatrix}\qquad \alpha\odot \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha a + \alpha -1\\\alpha b \end{pmatrix}Bajo estas condiciones, se define la función T:V\longrightarrow W, definida por T\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}.
| a. | Determine T\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} -1\\-1 \end{pmatrix} \end{pmatrix}, T\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}+T\begin{pmatrix} -1\\-1 \end{pmatrix}. |
| b. | Determine T\begin{pmatrix} \alpha \odot \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \end{pmatrix} y \alpha \cdot T\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}, si \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \in V y \alpha \in \mathbb{R}. |
| c. | ¿Cuál es el elemento neutro de la adición en V? |
| d. | Si \textbf{0}_{V} es el elemento neutro de V. ¿T(\textbf{0}_{V}) es igual al elemento neutro de W? |
| e. | ¿T es una transformación lineal? |
Sea (P_2,+,\cdot) el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a dos con las operacione usuales entre polinomios. Dadas las bases B_1=\{ 1,1+x,(1+x)^2 \}\quad y \quad B_2=\{ 2-x,3,1+x^2 \}
| a. | Determine la matriz de cambio de base de B_2 a B_1. |
| b. | Si [p]_{B_{2}}=\begin{pmatrix} 10\\20\\30 \end{pmatrix}, determine p y [p]_{B_{1}}. |
| c. | Determinar, de ser posible, \beta\in \mathbb{R} tal que el vectorq(x)=1+\beta(1+x)+(1+2x+x^2)satisfaga [q]_{B_{2}}=\begin{pmatrix}\begin{array}{r} 2\\-7\\1 \end{array} \end{pmatrix}. |
Si (\mathbb{R}^3,+,\cdot,\mathbb{R}) es el espacio vectorial real con las operaciones usuales en \mathbb{R}^3, considere el subconjunto W formada por todos los vectores en \mathbb{R}^3 tal que la suma de sus componentes es igual a cero. Además, si U es el subconjunto de \mathbb{R}^3 generado por el vector (1,-1,0).
| a. | Verifique que el subconjunto W es un subespacio de \mathbb{R}^3. |
| b. | Determine el subespacio U\cap W. |
| c. | ¿Es U\cup W un subespacio? |
| d. | Determine la dimensión del subespacio vectorial U+W. |
A continuación encontrará cuatro afirmaciones. Indique, rellenando correspondientemente, si la afirmación es verdadera o falsa; en cada caso, justifique brevemente su respuesta.
| a. | El vector (x,y,z) pertenece al espacio columna de la matrizA=\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrr} 2&-4&0&0\\-1&2&0&0\\0&0&1&2 \end{array} \end{pmatrix}sí, y solo sí, x+2y=0. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
| b. | En el conjunto de los números complejos es cierto que 3i-8=i(3+i8). Esto significa que 3i-8 pertenece al subespacio de (\mathbb{C},+,\cdot,\mathbb{R}) que es generado por el vector 3i+8. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
| c. | Dado un espacio vectorial (V,+,\cdot,\mathbb{K}), siempre podrán hallarse bases B_1 y B_2 de V tales que la matriz de cambio de base tenga nulidad diferente de cero. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
| d. | Se conoce que las ternas (1,1,1) y (-9,3,-1) pertenecen al conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales:\left\{\begin{array}{c} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1 \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2 \\a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3\\a_{41}x+a_{42}y+a_{43}z=b_4 \end{array}\right.Entonces la terna (-4,2,0) también es una solución del sistema. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
| e. | Si (V,+,\cdot,\mathbb{K}) es un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K}, sean U y W dos subespacios de V. Si \{ u_1,u_2,...,u_n \} y \{ w_1,w_2,...,w_m \} son bases de U y W respectivamente, entonces el conjunto \{ u_1,u_2,...,u_n,w_1,w_2,...,w_m \} es generador para el subespacio U+W. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
