Primera Evaluación |

Tema 4

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 4

Se define la función $T:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^2$ por $T(a)=(a-2,a)$ , entre los espacios vectoriales reales $(\mathbb{R},\oplus,\odot)$ y $(\mathbb{R}^2,\boxplus,\boxdot)$ , cuyas operaciones están definida por: $\begin{aligned} a\oplus b &= a+b-1 , \forall a,b\in \mathbb{R}\\ k\odot a &= ka-k+1 , \forall k\in \mathbb{K}\enspace \forall a\in \mathbb{R} \\ (a_1,b_1)\boxplus (a_2,b_2) &= (a_1+a_2+1,b_1+b_2-1), \forall (a_1,b_1),(a_2,b_2)\in \mathbb{R}^2 \\ k\boxdot(a,b) &= (ka+k-1,kb-k+1), \forall k\in \mathbb{K}\enspace \forall (a,b)\in \mathbb{R}^2 \end{aligned}$ Determine, de ser posible:

a)	Si $T(a\oplus b)=T(a)\boxplus T(b), \forall a,b\in \mathbb{R}$ .
b)	Si $T(\lambda \odot a)=\lambda \boxdot T(a), \forall \lambda, a\in \mathbb{R}$ .
c)	El elemento neutro de la adición en $\mathbb{R}$ .
d)	El elemento neutro de la adición en $\mathbb{R}^2$ .
e)	La imagen del elemento neutro de la adición en $\mathbb{R}$ .
f)	Si $T$ es una transformación lineal.

Tema 3

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 3

Sea $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ el espacio vectorial real de todos los polinomios de grado menor o igual a $2$ , con entradas reales y las operaciones usuales. Sean $a$ un número real fijo, $B_1=\{1,x,x^2 \}$ la base canónica y $B_2=\{ 1,x+a,(x+a)^2 \}$ .

a)	Verifique que $B_2$ es una base para $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ .
b)	Determine la matriz de cambio de base de $B_1$ a $B_2$ .

Tema 2

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 2

Sea $V=M_2(\mathbb{R})$ el espacio vectorial real, de todas las matrices cuadradas de orden $2$ , con entradas reales y las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar para matrices. Sean $\small{H=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} : a-b-c-d=0 \end{Bmatrix}}$ y $\small{W=gen\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&0\\1&1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix}}$ dos subespacios de $M_2(\mathbb{R})$ . Determine, de ser posible:

a)	Si $\begin{pmatrix} 0&0\\0&1 \end{pmatrix} \in H+W$ .
b)	Bases $B_{H\cap W}$ , $B_{H+W}$ y $B_V$ para los subespacios $H\cap W$ , $H+W$ y $V$ , respectivamente; de tal forma que $B_{H\cap W}\subseteq B_{B+W} \subseteq B_V$ .

Tema 1

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 1

A continuación encontrará cuatro afirmaciones. Indique, rellenando el círculo correspondientemente, cual de ellas es verdadera o falsa. En cada caso, justifique su respuesta bien sea presentando alguna demostración, contraejemplo o cálculo.

Dado el sistema de ecuaciones lineales

\scriptsize{\begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 0&a-2&0 \\ 0&0&a-2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ b+1 \\ 0 \end{pmatrix}}

. Si

a=2

entonces el sistema siempre tendrá infinitas soluciones.

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(V,+,\cdot)

(W,\oplus,\bigodot)

son dos espacios vectoriales definidos sobre un mismo campo

\mathbb{K}

T:V\longrightarrow W

es una transformación lineal y

U

es un subespacio vectorial de

W

entonces

H=\{ v\in V : T(v)\in U \}

es un subespacio de

V

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Sea

V

un espacio vectorial de dimensión finita y

B

una base de

V

. Entonces las coordenadas de un vector

v\in V

en un espacio vectorial respecto a la base

B

son únicas.

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El espacio nulo de la matriz

\scriptsize{A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 2&4&6 \\ 0&-2&2 \\ 3&3&12 \end{array} \end{pmatrix} }

\{ (-5t,t,t) : t\in \mathbb{R} \}

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El vector

\scriptsize{A=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \end{pmatrix} }

pertenece al espacio columna de la matriz

\scriptsize{A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 2&-4&0&0 \\ -1&2&0&0 \\ 0&0&1&2 \end{array} \end{pmatrix} }

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