Referencia: Oppenheim 3.2 p182, 4.4 p314, Lathi p714 Hsu 5.5.A p223
Las transformadas de Fourier presentan una facilidad con la propiedad de la convolución expresada como:
y(t)= h(t) \circledast x(t) \leftrightarrow Y(\omega) = H(\omega) X(\omega)Lo que para señales y sistemas representa un componente importante en el análisis de sistemas LTI, al poder representar los sistemas por bloques en serie y paralelo semejante a lo realizado con la transformada de Laplace:
La convergencia de la transformada de Fourier se garantiza bajo ciertas condiciones. El análisis de Fourier para el estudio de sistemas LTI se restringe a los que sus respuestas al impulso tienen transformada de Fourier. Los detalles se mostrarán en cada ejercicio presentado.
Ejemplo 1. H(ω) desde una ecuación diferencial
Referencia: Oppenheim Ej 4.25 p331
Considere un sistema LTI estable que se caracteriza por la ecuación diferencial,
\frac{\delta^2}{\delta t^2}y(t) + 4\frac{\delta}{\delta t} y(t) + 3 y(t) = \frac{\delta}{\delta t}x(t)+2x(t)usando la propiedad de la diferenciación en el dominio ω, se tiene que:
(j\omega)^2 Y(\omega) + 4(j\omega) Y(\omega) + 3 Y(\omega) = (j\omega)X(\omega)+2X(\omega) \Big((j\omega)^2 + 4(j\omega) + 3\Big) Y(\omega) = \Big((j\omega)+2\Big) X(\omega)la función de transferencia se obtiene como,
H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} H(\omega) = \frac{(j\omega)+2}{(j\omega)^2 + 4(j\omega) + 3}Para facilitar encontrar h(t) se usan fracciones parciales respecto a jω, de forma semejante a lo realizado para el dominio s con instrucciones de Sympy-Python, Las instrucciones las puede recordar observando el ejercicio 2, donde se adjunta el algoritmo.
Hw:
(jw+2)/(jw**2+4*jw+3)
Hw en fracciones parciales:
1 1
---------- + ----------
2*(jw + 3) 2*(jw + 1)
con la tabla de transformadas de Fourier se obtiene que,
h(t) = \frac{1}{2} e^{-t} \mu(t) + \frac{1}{2} e^{-3t} \mu(t)Ejemplo 2. respuesta total Y(ω)=X(ω)H(ω)
Referencia: Oppenheim Ej 4.27 p332
Considere el sistema del ejemplo anterior y suponga una entrada x(t) dada por
x(t) = e^{-t} \mu(t) X(\omega) = \frac{1}{j\omega +1}la salida del sistema usando los componentes en el dominio de la frecuencia
Y(\omega) = H(\omega)X(\omega) = \Big[ \frac{j\omega+2}{(j\omega+1)(j\omega + 3)} \Big]\Big[\frac{1}{j\omega +1}\Big] = \frac{j\omega+2}{(j\omega+1)^2 (j\omega + 3)}separando en fracciones parciales
Hw:
jw + 2
-------------------------
/ 2 \
(jw + 1)*\jw + 4*jw + 3/
Hw fracciones parciales jw:
1 1 1
- ---------- + ---------- + -----------
4*(jw + 3) 4*(jw + 1) 2
2*(jw + 1)
>>>
con la tabla de transformadas de Fourier se obtiene que,
y(t) = \Big[ \frac{1}{4} e^{-t} +\frac{1}{2}te^{-t} - \frac{1}{4} e^{-3t} \Big] \mu (t)Instrucciones en Python
# H(w) Funciones de transferencia # blog.espol.edu.ec/telg1001/ import sympy as sym # INGRESO w = sym.Symbol('w', real=True) j = sym.I jw = sym.Symbol('jw',real=True) Xw = 1/(jw+1) Hw = (jw+2)/(jw**2+4*jw+3) # PROCEDIMIENTO Yw = Hw*Xw Ywp = sym.apart(Yw,jw) print('Hw:') sym.pprint(Yw) print('\nHw fracciones parciales jw:') sym.pprint(Ywp)
Ejemplo 3. y(t) con h(t) y x(t) en dominio de frecuencia
Referencia: Oppenheim Ej 4.19 p320, Hsu 5.4.I p220
Considere la respuesta al impulso de un sistema LTI como:
h(t) = e^{-at} \mu (t) \text{ , } a>0y una señal de entrada:
x(t) = e^{-bt} \mu (t) \text{ , } b>0En lugar de calcular la convolución se resolverá el problema en el dominio de la frecuencia.
Para observar una gráfica, se supondrán valores de a=3 y b=2
Para hacer la transformada inversa de Fourier, se usa fracciones parciales, semejante a lo realizado en la unidad 4
Y(\omega) = \frac{k_1}{a+ j \omega} + \frac{k_2}{b+ j \omega} k_1 = \frac{1}{\cancel{(a+ j \omega)} (b+ j \omega)} \Big|_{j\omega=-a} = \frac{1}{b-a} k_2 = \frac{1}{(a+ j \omega) \cancel{(b+ j \omega)}} \Big|_{j\omega=-b} = \frac{1}{a-b}con lo que k1= -k2
Y(\omega) = \frac{1}{b-a} \Big[\frac{1}{a+ j \omega} - \frac{1}{b+ j \omega} \Big]la transformada inversa se obtiene para cada término de la suma como:
y(t) = \frac{1}{b-a} \Big [ e^{-at} \mu(t) - e^{-bt} \mu(t) \Big]Resultado usando el algoritmo del ejercicio 3
Y(w) = H(w)*X(w)
1
-------------------
(a + I*w)*(b + I*w)
Y(w) en fracciones parciales:
1 1
----------------- - -----------------
(a - b)*(b + I*w) (a - b)*(a + I*w)
Ejemplo 4. h(t) como respuesta a un impulso desplazado
Referencia: Oppenheim Ej 4.16 p317, Lathi 7.14 708. Hsu 5.4.B p219
Considere un sistema LTI CT (continuo en el tiempo) con respuesta a impulso dado por:
h(t) = \delta (t-t_0)La respuesta a este sistema esta dada por la respuesta desplazada del impulso.
H(\omega) = 1 e^{-j \omega t_0} = e^{-j \omega t_0}El sistema ante una entrada x(t) con transformada de Fourier X(ω) tendrá la salida:
Y(\omega) =H(\omega)X(\omega) = e^{-j \omega t_0} X( \omega)resultado con algoritmo Python
h(t): DiracDelta(-a + t) H(w): -I*a*w e >>>
Instrucciones en Python
# H(w) Funciones de transferencia # blog.espol.edu.ec/telg1001/ import sympy as sym # INGRESO t = sym.Symbol('t', real=True,) w = sym.Symbol('w', real=True) j = sym.I a = sym.Symbol('a', real=True,positive=True) u = sym.Heaviside(t) d = sym.DiracDelta(t) #ht = d ht = d.subs(t,t-a) #ht = sym.exp(-a*sym.Abs(t)) #ht = u.subs(t,t+a)-u.subs(t,t-a) #ht = sym.exp(-a*t)*u # PROCEDIMIENTO ht = sym.expand(ht) # expresion de sumas Hw = sym.fourier_transform(ht,t,w/(2*sym.pi)) # SALIDA print('\n h(t):') sym.pprint(ht) print('\n H(w):') sym.pprint(Hw)
Ejemplo 5. h(t) de un exponencial decreciente
Referencia: Oppenheim Ejercicio 4.1. p290, Lathi ejemplo 7.1 p685, Hsu Ejemplo 5.2 p218
x(t) =e^{-at} \mu (t) \text{ ; } a \gt 0
realizado con el algoritmo anterior, se puede comprobar el resultado con la tabla de transformadas de Fourier
h(t):
-t
---
2
e *Heaviside(t)
H(w):
2
---------
2*I*w + 1
>>>
Ejemplo 6. h(t) como un diferenciador
Referencia: Oppenheim Ej 4.16 p317, Lathi 7.14 716. Hsu 5.4.G p220
El bloque de respuesta a impulso es un diferenciador, por lo que las funciones de entrada y salida se relacionan por
y(t) = \frac{\delta}{\delta t}x(t)
usando la diferenciación de las propiedades de la transformada de Fourier
Y(\omega) = j \omega X( \omega )en consecuencia:
H(\omega) = j \omegaEjemplo 7. h(t) como un integrador
Referencia: Oppenheim Ej 4.17 p318, Hsu 5.4.I p220
El bloque de respuesta a impulso es una integración, por lo que las funciones de entrada y salida se relacionan por
y(t) = \int_{-\infty}^{t}x(\tau) \delta \tau
usando la propiedad de Integración:
H(\omega) = \frac{1}{j \omega} +\pi \delta(\omega) Y(\omega) = \Big[\frac{1}{j \omega} +\pi \delta(\omega) \Big]X( \omega) Y(\omega) = \frac{1}{j \omega}X(\omega) +\pi \delta(\omega) X(0)