Sea r(t) una curva regular, parametrizada en la variable t, se define el vector tangente unitario como:
T(t)=\frac{{r}'(t)}{\left \| {r}'(t) \right \|}
En cada punto de la curva apunta en la dirección tangente, ver Figura 4.3.1.
Sea r(t) un curva regular dos veces diferenciable, parametrizada en la variable t, se define el vector normal unitario como:
N(t)=\frac{{T}'(t)}{\left \| {T}'(t) \right \|}
En cada punto de la curva va en dirección perpendicular a la linea tangente tangente, ver Figura 4.3.2
Sea r(t) un curva regular dos veces diferenciable, parametrizada en la variable t, se define el vector binormal unitario como:
B(t)=T(t) \times N(t)
En cada punto de la curva apunta en dirección normal al plano formado por la tangente y la perpendicular, ver Figura 4.3.3, si el vector Binormal es nulo, se dice que la curva esta contenida en un plano.
- Más formulas para conseguir los vectores \mathbf{T, \; N \; y \; B}.
Sea r(t) un curva regular parametrizada en la variable t, se puede conseguir los vectores antes definidos mediante:
T(t)=N(t) \times B(t)
N(t)=B(t) \times T(t)
B(t)=\frac{{r}'(t) \times {r}''(t)}{\left \| {r}'(t) \times {r}''(t) \right \|}
N(t)=\frac{ \left ( {r}'(t) \times {r}''(t) ) \times {r}'(t) \; \right )}{\left \| ( {r}'(t) \times {r}''(t) ) \times {r}'(t) \right \|}
Los vectores T, \; N \; y \; B son mutuamente ortogonales, y forman una base ortonormal para cada punto de la curva, ver Figura 4.3.4.
Sea r(t) una curva regular, parametrizada en la variable t, el plano normal en el punto r(t_{0}) tiene como vector normal al vector Tangente unitario T, su ecuación es:
\pi _N:\left ( \bar{x}-r \left ( t_{0} \right ) \right ) \cdot T=0
Aqui \bar{x}=(x,y,z) es un punto desconocido en el espacio.
Sea r(t) una curva regular dos veces diferenciable, parametrizada en la variable t, el plano rectificante en el punto r(t_{0}) tiene como vector normal al vector Normal unitario N, su ecuación es:
\pi _R:\left ( \bar{x}-r \left ( t_{0} \right ) \right ) \cdot N=0
Aqui \bar{x}=(x,y,z) es un punto desconocido en el espacio, el plano rectificante contiene al vector T y B.
Sea r(t) una curva regular dos veces diferenciable, parametrizada en la variable t, el plano osculador en el punto r(t_{0}) tiene como vector normal al vector Binormal unitario B, su ecuación es:
\pi _B:\left ( \bar{x}-r \left ( t_{0} \right ) \right ) \cdot B=0
Aqui \bar{x}=(x,y,z) es un punto desconocido en el espacio, el plano osculador contiene al vector T y N.
Los tres planos anteriores se conocen como los planos principales de la curva en cada punto, forman un sistema de referencia local, ver Figura 4.3.8.
Los vectores T,N,B forman un sistema de referencia respecto al cual se puede descomponer algún otro vector, por ejemplo el vector aceleración {r}''(t).
Debido a que los vectores T,N,B forman una base ortonormal, al expresar un vector como combinación lineal de esta base, los coeficientes que multiplican a cada vector de la base para poder formar la combinación son el producto punto con cada uno respectivamente.
Sea r(t) un curva regular dos veces diferenciable, parametrizada en la variable t, el vector aceleración puede expresarse como una combinación lineal de T,N,B donde que cada vector son la componente Tangencial, Normal y Binormal de la aceleración respectivamente:
{r}''(t)= \overrightarrow{a}(t)= \overrightarrow{a_{T}}(t) + \overrightarrow{a_{N}}(t) +\overrightarrow{a_{B}}(t)
Donde se cumple que:
Aceleración tangencial: \overrightarrow{a_{T}}(t) = \left (\overrightarrow{a}(t) \cdot T\right )T
Aceleración normal: \overrightarrow{a_{N}}(t) = \left (\overrightarrow{a}(t) \cdot N\right )N
Aceleración binormal: \overrightarrow{a_{B}}(t) = \left (\overrightarrow{a}(t) \cdot B\right )B
Como se conoce que \left \| T \right \|=\left \| N \right \|=\left \| B \right \|=1, entonces las magnitudes de las componentes de la aceleración, para curvas en el plano y en el espacio, pueden ser expresadas como:
- Para curvas en el plano
Magnitud de la aceleración tangencial:
a_{T}(t) = \overrightarrow{a}(t) \cdot T =\frac{ {r}''(t) \cdot {r}'(t) }{ \left \| {r}' \right \| }
Magnitud de la aceleración normal:
a_{N}(t) = \overrightarrow{a}(t) \cdot N = \frac{ \left \| {r}'(t) \times {r}''(t) \right \| }{ \left \| {r}'(t) \right \|}
Magnitud de la aceleración binormal:
a_{B}(t) = \overrightarrow{a}(t) \cdot B = 0
Ademas como la aceleración total es el vector resultante, su magnitud es:
a(t)^{2} = a_{T}(t)^{2}+a_{N}(t)^{2}
En la Figura 4.3.9 se muestra la aceleración junto a sus componentes para una curva en el plano.
- Para curvas en el espacio
Magnitud de la aceleración tangencial:
a_{T}(t) = \overrightarrow{a}(t) \cdot T =\frac{ {r}''(t) \cdot {r}'(t) }{ \left \| {r}' \right \| }
Magnitud de la aceleración normal:
a_{N}(t) = \overrightarrow{a}(t) \cdot N = \frac{ \left \| {r}'(t) \times {r}''(t) \right \| ^{2} }{ \left \| ({r}'(t) \times {r}''(t)) \times {r}'(t) \right \|}
Magnitud de la aceleración binormal:
a_{B}(t)= \overrightarrow{a}(t) \cdot B = \frac{ {r}''(t) \cdot ({r}'(t) \times {r}''(t))}{\left \| {r}'(t) \times {r}''(t) \right \|}
Ademas como la aceleración total es el vector resultante, su magnitud es:
a(t)^{2} = a_{T}(t)^{2}+a_{N}(t)^{2}+a_{B}(t)^{2}
En la Figura 4.3.10 se muestra la aceleración junto a sus componentes para una curva en el espacio.