Autocorrelación, Autocovarianza con variable tiempo

Referencia: León-García 9.2.2 p493

Se puede usar los momentos de muestras en el tiempo para parcialmente especificar un proceso aleatorio al resumir la información contenida en las cdf conjuntas.


Procesos aleatorios Contínuos en tiempo

Media:

m_X(t) = E[X(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_{X(t)}(x) dx

Varianza:

VAR[X(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} ( x - m_X(t))^2 f_{X(t)}(x) dx

donde f_{X(t)}(x) es la pdf de X(t). Note que ambas son funciones determinísticas de tiempo.

Autocorrelación

R_X(t_1,t_2) = E[X(t_1,t_2)] = = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} xy f_{X(t_1),X(t_2)}(x,y) dx dy

Autocovarianza:

C_X(t_1,t_2) = E[\{X(t_1) - m_X(t_1) \} \{ X(t_2) - m_X(t_2)\} C_X(t_1,t_2) = R_X(t_1,t_2) - m_X(t_1) m_X(t_2)

coeficiente de correlación

\rho (t_1, t_2) = \frac{C_x(t_1,t_2)}{\sqrt{C_x(t_1,t_1)}\sqrt{C_x(t_2,t_2)}}

El coeficiente de correlación es la medida en la cual una variable aleatoria puede predecirse como una función lineal de otra.


Procesos aleatorios Discretos en tiempo

Media:

m_X(n) = E[X(n)]

Varianza:

VAR[X(n)] = E[(X(n) - m_X(n))^2]

Autocorrelación

R_X(n_1,n_2) = E[X(n_1,n_2)]

Autocovarianza:

C_X(n_1,n_2) = E[\{X(n_1) - m_X(n_1) \} \{ X(n_2) - m_X(n_2)\} C_X(n_1,n_2) = R_X(n_1,n_2) - m_X(n_1) m_X(n_2)