Referencia: Problema 9.13 Leon-García p.558 pdf 55
El proceso aleatorio Z(t) definido por:
Z(t) = 2Xt –Y
donde X y Y son variables aleatorias con medias mX, mY , varianzas σ2X y σ2Y y coeficientes de correlación ρXY.
Encuentre la media y autocovarianza de Z(t)
Solución propuesta:
E[Z(t)] = E[ 2Xt - Y ]
= 2E[X]t - E[Y]
= 2tmX - mY = mZ
CZ(t1, t2) = E[(2Xt1 - Y)(2Xt2 - Y)] - mZ(t1) mZ(t2)
= E[ 4X2 t1t2 - 2XYt1 - 2XYt2 + Y2]
- (2t1mX - mY)(2t2mX - mY)
= 4t1t2 E[X2] - 2t1 E[XY] - 2t2 E[XY] + E[Y2]
- (4t1t2m2X -2t1mXmY -2t2mXmY + m2Y)
= 4t1t2 E[X2] - 2(t1 +t2)E[XY] + E[Y2]
-4t1t2m2X + 2(t1+2)mXmY - m2Y
= 4t1t2 (E[X2] - m2X ) - 2(t1 +t2)(E[XY] - mXmY) + (E[Y2] - m2Y)
= 4t1t2 σ2X - 2(t1 +t2)σXY + σ2Y
dado ρXY = σXY/σXσY
ρXYσXσY = σXY
= 4t1t2 σ2X - 2(t1 +t2) ρXYσXσY + σ2Y
σ2Z(t) = CZ(t, t) = 4t2σ2X - 4t ρXYσXσY + σ2Y
Para X y Y solo se da la media y varianza, la función final debe tener la misma forma:
f_{Z(t)} = \frac{e^{ -(z - m_Z)^2 /(2 \sigma_Z^2)}}{ \sqrt{2 \pi }\sigma_Z}