Ejercicio: 2Eva2010TI_T3 LTI CT simplificar H(s) por Bloques
Se ubican algunos puntos de referencia sobre el diagrama de bloques para plantear las ecuaciones, dejando para el último el bloque en serie del exponencial e(-3s) o retraso en tiempo
W_1(s) = X(s)
W_2(s) = W_1(s)-\frac{6}{s+5} W_4(s)
W_2(s) = X(s)- -\frac{6}{s+5} W_4(s)
W_3(s) = \frac{1}{s} W_2(s) = \frac{1}{s} \Big[ X(s) -\frac{6}{s+5} W_4(s) \Big]
W_3(s) = \frac{1}{s} X(s) -\frac{6}{s(s+5)} W_4(s)
W_4(s) = W_3(s) +\frac{1}{s+4}X(s)
Se plantea la simplificación de H(s) =W4(s)/X(s), dejando el término exponencial o retraso de tiempo para el final. Por lo que se despeja W4(s)
W_4(s) = \frac{1}{s} X(s) -\frac{6}{s(s+5)} W_4(s) +\frac{1}{s+4}X(s)
W_4(s) +\frac{6}{s(s+5)} W_4(s) = \frac{1}{s} X(s) +\frac{1}{s+4}X(s)
\Big[1 +\frac{6}{s(s+5)}\Big] W_4(s) = \Big[ \frac{1}{s} +\frac{1}{s+4} \Big] X(s)
\frac{s(s+5)+6}{s(s+5)} W_4(s) = \frac{(s+4)+s}{s(s+4)} X(s)
\frac{s^2+5s+6}{s+5} W_4(s) = \frac{2(s+2)}{s+4} X(s)
\frac{(s+2)(s+3)}{s+5} W_4(s) = \frac{2(s+2)}{s+4} X(s)
\frac{s+3}{s+5} W_4(s) = \frac{2}{s+4} X(s)
\frac{W_4(s)}{X(s)} = \frac{2(s+5)}{(s+4)(s+3)}
La respuesta al impulso H1(s) tiene polos en s=-3 y s=-4, que se encuentran en el lado izquierdo del plano imaginario s. Por lo que sus componentes en el dominio del tiempo son exponenciales decrecientes, el sistema es asintóticamente estable.
El grado del polinomio P del numerador es menor al grado del polinomio Q del numerador.
Separando en fracciones parciales para H1(s) :
H_1(s) =\frac{2(s+5)}{(s+4)(s+3)}
H_1(s) = \frac{k_1}{s+4} +\frac{k_2}{s+3} =
k_1 =\frac{2(s+5)}{\cancel{(s+4)}(s+3)}\Bigg|_{s=-4} = \frac{2(-4+5)}{(-4+3)} = \frac{2(1)}{-1} = -2
k_2 =\frac{2(s+5)}{(s+4)\cancel{(s+3)}} \Bigg|_{s=-3} = \frac{2(-3+5)}{(-3+4)} = \frac{2(2)}{1} = 4
H_1(s) = -\frac{2}{s+4} +\frac{4}{s+3} =
Finalmente, añadiendo el término exponencial, que es el retraso en tiempo del sistema:
H(s) = \Big[-\frac{2}{s+4} +\frac{4}{s+3} \Big] e^{-3s}
se observa el comportamiento de H(s) junto a los polos en la parte real e imaginaria:
el resultado con el algoritmo para el literal a es:
H(s) = P(s)/Q(s):
/ 2 4 \ -3*s
|- ----- + -----|*e
\ s + 4 s + 3/
H(s) en factores:
-3*s
2*(s + 5)*e
---------------
(s + 3)*(s + 4)
h(t) :
/ 9 -3*t 12 -4*t\
\4*e *e - 2*e *e /*Heaviside(t - 3)
polosceros:
exp(-3*s) : {'Q_polos': {-3: 1, -4: 1}, 'P_ceros': {-5: 1}, 'Hs_k': 2*(s + 5)/((s + 3)*(s + 4))}
Q_polos : {-3: 1, -4: 1}
P_ceros : {-5: 1}
Estabilidad de H(s):
n_polos_real : 2
n_polos_imag : 0
enRHP : 0
unicos : 0
repetidos : 0
asintota : estable
literal b. mostrar h(t)
H(s) = \Big[-\frac{2}{s+4} +\frac{4}{s+3} \Big] e^{-3s}
Usando la tabla de transformadas de Laplace, para la línea 5 y la propiedad de desplazamiento en t, se obtiene:
h(t) = \Big[-2 e^{-4(t-3)} +4e^{-3(t-3)} \Big] \mu(t-3)
literal c. Y(s) con entrada exponencial decreciente
La señal de salida Y(s)=H(s)X(s) ante una entrada X(s)=1/(s+5) que es la transformada de Laplace de x(t)=e-5t μ(t)
Y(s) = H(s)x(s) = \Big[\frac{2(s+5)}{(s+4)(s+3)}\Big]\Big[\frac{1}{s+5}\Big] e^{-3s}
Y(s) = \frac{2}{(s+4)(s+3)}e^{-3s}
Tarea: Realizar el desarrollo analítico y revisar los resultados del algoritmo
al realizar las fracciones parciales, se obtiene:
Y(s) = \Big[-\frac{2}{s+4} +\frac{2}{s+3} \Big] e^{-3s}
Con transformada inversa de Laplace, usando nuevamete la tabla de transformadas de Laplace, para la línea 5 y la propiedad de desplazamiento en t, se obtiene:
y(t) = \Big(-2 e^{-4(t-3)} +2e^{-3(t-3)}\Big) \mu (t-3)
El resultado del algoritmo para el literal c del ejercicio es:
X(s):
1
-----
s + 5
Respuesta entrada cero ZIR H(s) y condiciones iniciales
term_cero : 0
ZIR :
0
yt_ZIR :
0
ZSR respuesta estado cero:
ZSR :
/ 2 2 \ -3*s
|- ----- + -----|*e
\ s + 4 s + 3/
yt_ZSR :
/ 9 -3*t 12 -4*t\
\2*e *e - 2*e *e /*Heaviside(t - 3)
Y(s)_total = ZIR + ZSR:
/ 2 2 \ -3*s
|- ----- + -----|*e
\ s + 4 s + 3/
y(t)_total = ZIR + ZSR:
/ 9 -3*t 12 -4*t\
\2*e *e - 2*e *e /*Heaviside(t - 3)
>>>
Instrucciones en Python
Usando los bloques desarrollados en la Unidad 4 Sistemas LTI – Laplace y las funciones resumidas como telg1001.py que pueden ser usados en cada pregunta.
# Y(s) Respuesta total con entada cero y estado cero
# Qs Y(s) = Ps X(s) ; H(s)=Ps/Qs
# http://blog.espol.edu.ec/telg1001/
import sympy as sym
import matplotlib.pyplot as plt
import telg1001 as fcnm
# INGRESO
s = sym.Symbol('s')
t = sym.Symbol('t', real=True)
d = sym.DiracDelta(t)
u = sym.Heaviside(t)
# Literal a. H(s) y estabilidad
Hs = 2*(s+5)/((s+4)*(s+3)) * sym.exp(-3*s)
#Hs = 1+0*s cuando es constante
# literal c. X(s) Señal de entrada
xt = sym.exp(-5*t)*u
# condiciones iniciales, [y'(0),y(0)] orden descendente
t0 = 0
cond_inicio = [0, 0] # estado cero no se usan
# Grafica, intervalo tiempo [t_a,t_b]
t_a = 0 ; t_b = 5
muestras = 101 # 51 resolucion grafica
# PROCEDIMIENTO
Hs = fcnm.apart_s(Hs) # fracciones parciales
Hs_fc = fcnm.factor_exp(Hs) # en factores
Hs_Qs2 = fcnm.Q_cuad_s_parametros(Hs_fc)
polosceros = fcnm.busca_polosceros(Hs)
Q_polos = polosceros['Q_polos']
P_ceros = polosceros['P_ceros']
estable = fcnm.estabilidad_asintotica_s(Q_polos)
# H(t) respuesta al impulso
ht = 0*s
term_suma = sym.Add.make_args(Hs)
for term_k in term_suma:
ht_k = sym.inverse_laplace_transform(term_k,s,t)
# simplifica log(exp()) ej: e**(-2s)/(s**2)
if ht_k.has(sym.log):
ht_k = sym.simplify(ht_k,inverse=True)
ht = ht + ht_k
lista_escalon = ht.atoms(sym.Heaviside)
ht = sym.expand(ht,t) # terminos suma
ht = sym.collect(ht,lista_escalon)
# PROCEDIMIENTO Respuesta ZIR, ZSR
Xs = fcnm.laplace_transform_suma(xt)
# ZIR_s respuesta entrada cero de s
sol_ZIR = fcnm.respuesta_ZIR_s(Hs,cond_inicio)
ZIR = sol_ZIR['ZIR']
yt_ZIR = sol_ZIR['yt_ZIR']
# ZSR respuesta estado cero, Y(s) a entrada X(s)
sol_ZSR = fcnm.respuesta_ZSR_s(Hs,Xs)
ZSR = sol_ZSR['ZSR']
yt_ZSR = sol_ZSR['yt_ZSR']
# Respuesta total Y(s) y y(t)
Ys = ZIR + ZSR
Ys = fcnm.apart_s(Ys)
yt = yt_ZIR + yt_ZSR
lista_escalon = yt.atoms(sym.Heaviside)
yt = sym.collect(yt,lista_escalon)
# SALIDA
print(' H(s) = P(s)/Q(s):')
sym.pprint(Hs)
print(' H(s) en factores:')
sym.pprint(Hs_fc)
if len(Hs_Qs2)>0:
print('\nH(s) parámetros cuadraticos:')
fcnm.print_resultado_dict(Hs_Qs2)
print('\n h(t) :')
sym.pprint(ht)
print('\npolosceros:')
fcnm.print_resultado_dict(polosceros)
print('\nEstabilidad de H(s):')
for k in estable:
print('',k,':',estable[k])
print('\n X(s): ')
sym.pprint(Xs)
print('\nRespuesta entrada cero ZIR H(s) y condiciones iniciales')
if not(sol_ZIR == sym.nan): # existe resultado
fcnm.print_resultado_dict(sol_ZIR)
else:
print(' insuficientes condiciones iniciales')
print(' revisar los valores de cond_inicio[]')
print('\n ZSR respuesta estado cero:')
fcnm.print_resultado_dict(sol_ZSR)
print('\n Y(s)_total = ZIR + ZSR:')
sym.pprint(Ys)
print('\n y(t)_total = ZIR + ZSR:')
sym.pprint(yt)
# Graficas polos, H(s), con polos h(t) --------
muestras_H = 201
figura_s = fcnm.graficar_Fs(Hs_fc,Q_polos,P_ceros,f_nombre='H',solopolos=True)
figura_Hs = fcnm.graficar_Fs(Hs_fc,Q_polos,P_ceros,muestras=muestras_H,f_nombre='H')
figura_ht = fcnm.graficar_ft(ht,t_a,t_b,muestras,f_nombre='h')
# GRAFICAS y(t),x(t),h(t) ---------------------
figura_ft = fcnm.graficar_xh_y(xt,ht,yt,t_a,t_b,muestras)
plt.show()
![2Eva2010TI_T1 h[n]](http://blog.espol.edu.ec/telg1001/files/2017/09/2Eva2010TI_T1_hn_01.png)
