Referencia: Lathi 3.5 p265, Lathi 3.5 p269
Los sistemas discretos LTID (linear time-invariant, discrete time systems) se analizan de forma semejante a los de tipo continuo, con algunas variantes.
Ecuaciones de Diferencias
Las ecuaciones de diferencia se pueden escribir de dos formas:
- La primera usa términos con atrasos como y[n-1], y[n-2], x[n-1]…
- La segunda con terminos de avance como son y[n+1], y[n+2], x[n+1]…
La forma con atrasos es mas natural, mientras que ser prefieren las forma de avances por motivos de uniformidad con las operaciones de ecuaciones de diferencias.
Una ecuación de diferencias con operador de avances tiene la forma:
y[n+N] + a_1 y[n+N-1] + \text{...} + a_{N-1} y[n+1] + a_N y[n] = = b_{n-M} x[n+M] + b_{N-M+1} x[n+M-1] + \text{...} + + b_{N-1} x[n+1] + b_N x[n]que es una ecuación de diferencias con orden de magnitud max(N,M). Se asume que el coeficiente de y[n+N] es 1, es decir a0=1, sin perder la generalidad, caso contrario se normaliza.
Notación de operadores E
Para simplificar la escritura en sistemas discretos, las ecuaciones de diferencias usan la notación E para mostrar una operación de avance de una unidad. La notación de operadores es semejante a la usada en ecuaciones diferenciales que era D.
E x[n] = x[n+1] E^2 x[n] = x[n+2] E^N x[n] = x[n+N]por lo que una ecuación de diferencias de primer orden se puede escribir como:
y[n+1] - a y[n] = x[n+1] E y[n] - a y[n] = E x[n] (E-a) y[n] = E x[n]lo que refleja lo antes usado para el manejo de operadores:
Q(E) y[n] = P(E) x[n]