Referencia: Lathi 3.8-3 p297
La respuesta total de un sistema LTID se puede expresar como la suma respuesta a entrada cero y respuesta a estado cero.
\text{respuesta total} = \sum_{j=1}^{N} c_j \gamma_j^{n} + x[n] \circledast h[n]respuesta total = componente entrada cero + componente estado cero
Es el concepto aplicado al modelo de sistemas contínuos, cambiando a x[n], h[n] y y[n]
Para el sistema LTID desarrollado en las secciones anteriores y descrito por la ecuación,
y[n+2] - 0.6 y[n+1] - 0.16 y[n] = 5x[n+2]
dadas las condiciones inciales y[-1]=0, y[-2]=25/4, ante una entrada
x[n]=4-nμ[n], se han determinado los dos componentes, ambos para n≥0:
al simplificar las expresiones se tiene la respuesta expresada como
y [n] = \Big(\frac{1}{5}+ 0.444 \Big) (-0.2)^n + \Big(\frac{4}{5} +5.81 \Big) (0.8)^n -1.26 (0.25)^{n} y [n] = 0.644 (-0.2)^n + 6.61 (0.8)^n -1.26 (0.25)^{n} ; n \geq 0Para el resultado se ha asumido que es un sistema invariante en el tiempo LTI, entonces la respuesta a δ[n-m] se puede expresar como h[n-m].
Solución clásica a ecuaciones lineales de diferencias
considera la respuesta total como la suma de una respuesta natural y una respuesta a componente forzados o de entrada.
\text{respuesta total} = y_c[n] +y_0[n]se expresa como,
Q[E](y_c[n] + y_{\phi}[n]) = P[E] x[n]dado que yc[n] es el resultado de los modos característicos,
Q[E]y_c[n] = 0 Q[E] y_{\phi}[n] = P[E] x[n]La respuesta natural es una combinación lineal de los modos característicos. Las constantes arbitraras se determinan de las condiciones auxiliares dadas como y[0], y[1], … y[n-1], o por condiciones iniciales y[-1], y[-2],…, y[-N].
Las respuesta forzadas yΦ[n] satisface la ecuación anterior y por definición contiene solamente los términos que «nomodos»