El ejercicio planteado en Sistema Discreto – Solución iterativa, se desarrolla con un algoritmo en Python.
Ejercicio 1
Referencia: Lathi ejemplo 3.11 p266
Un sistema LTID tiene la siguiente expresión:
y[n] - 0.5 y[n-1] = x[n]con condiciones iniciales y[-1]=16 y entrada causal x[n] = n2 ,para n≥0.
El algoritmo tiene el siguiente resultado:
muestras: 10 [[ n, xi, yi]] [[ -1. 0. 16. ] [ 0. 0. 8. ] [ 1. 1. 5. ] [ 2. 4. 6.5 ] [ 3. 9. 12.25] [ 4. 16. 22.12] [ 5. 25. 36.06] [ 6. 36. 54.03] [ 7. 49. 76.02] [ 8. 64. 102.01] [ 9. 81. 132. ]] >>>
Algoritmo en Python
Las condiciones iniciales se ingresan como un vector con valores de posición ascendente. También es necesario indicar el número de muestras a observar. esto permite construir el vector de salida yi.
Las fórmulas de entrada y salida se muestran en la sección «calcula los siguientes valores»
# Sistema LTID. Solución iterativa # Ejercicio Lathi ejemplo 3.11 p266 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # INGRESO muestras = 10 # condiciones iniciales ascendente ...,y[-2],y[-1] y0 = [16.] # PROCEDIMIENTO m0 = len(y0) m = muestras + m0 # vectores n = np.arange(-m0,muestras,1) xi = np.zeros(m, dtype=float) yi = np.zeros(m, dtype=float) # añade condiciones iniciales xi[0:m0] = 0 yi[0:m0] = y0 # calcula los siguientes valores for k in range(m0,m,1): xi[k] = n[k]**2 yi[k] = 0.5*yi[k-1]+xi[k] # tabla de valores tabla = np.concatenate([[n],[xi],[yi]], axis=0) tabla = np.transpose(tabla) # SALIDA np.set_printoptions(precision=2) print('muestras: ', muestras) print('[[ n, xi, yi]]') print(tabla) # Gráfica plt.subplot(211) plt.stem(n,xi,label='x[n]=n**2') plt.xlabel('n') plt.ylabel('x[n]') plt.axvline(0,color='gray') plt.legend() plt.grid() plt.subplot(212) plt.stem(n,yi,label='y[n]=0.5y[n-1]+x[n]', markerfmt='go', linefmt='green') plt.xlabel('n') plt.ylabel('y[n]') plt.axvline(0,color='gray') plt.legend() plt.grid() plt.show()
Ejercicio 2
Se aplica el mismo algoritmo a otro ejercicio para comparar resultados con lo realizado en forma analítica.
Referencia: Lathi ejemplo 3.12 p267
Resolver de forma iterativa,
y[n+2] - y[n+1] +0.24y[n] = x[n+2] - 2x[n+1]con las condiciones iniciales de y[-1] = 2, y[-2] =1 y entrada causal x[n]=n que inicia en n=0
Para usar la ecuación en el algoritmo, se desplaza dos posiciones en ambos lados de la ecuacion para despejar y[n]
y[n] - y[n-1] +0.24y[n-2] = x[n0] - 2x[n-1] y[n] = y[n-1] -0.24y[n-2] + x[n0] - 2x[n-1]
muestras: 10 [[ n, xi, yi]] [[ -2. 0. 1. ] [ -1. 0. 2. ] [ 0. 0. 1.76] [ 1. 1. 2.28] [ 2. 2. 1.86] [ 3. 3. 0.31] [ 4. 4. -2.14] [ 5. 5. -5.21] [ 6. 6. -8.7 ] [ 7. 7. -12.45] [ 8. 8. -16.36] [ 9. 9. -20.37]] >>>
Algoritmo en Python
# Sistema LTID. Solución iterativa # Ejercicio Lathi ejemplo 3.12 p267 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # INGRESO muestras = 10 # condiciones iniciales ascendente ...,y[-2],y[-1] y0 = [1,2] # PROCEDIMIENTO m0 = len(y0) m = muestras + m0 # vectores n = np.arange(-m0,muestras,1) xi = np.zeros(m, dtype=float) yi = np.zeros(m, dtype=float) # añade condiciones iniciales xi[0:m0] = 0 yi[0:m0] = y0 # calcula los siguientes valores for k in range(m0,m,1): xi[k] = n[k] yi[k] = yi[k-1]-0.24*yi[k-2]+xi[k]-2*xi[k-1] # tabla de valores tabla = np.concatenate([[n],[xi],[yi]], axis=0) tabla = np.transpose(tabla) # SALIDA np.set_printoptions(precision=2) print('muestras: ', muestras) print('[[ n, xi, yi]]') print(tabla) # Gráfica plt.subplot(211) plt.stem(n,xi,label='x[n]=n') plt.xlabel('n') plt.ylabel('x[n]') plt.axvline(0,color='gray') plt.legend() plt.grid() plt.subplot(212) plt.stem(n,yi,label='y[n]=yi[k-1]-0.24*yi[k-2]+xi[k]-2*xi[k-1]', markerfmt='go', linefmt='green') plt.xlabel('n') plt.ylabel('y[n]') plt.axvline(0,color='gray') plt.legend() plt.grid() plt.show()