6.1. Sistema LTI DT – Diagrama de Bloques

Aunque los primeros ejemplos dados son de claramente señales discretas en tiempo, las señales contínuas en tiempo pueden también ser procesadas por sistemas discretos usando muestreo. Los diagramas de bloques se elaboran usando Xcos de Scilab que es software abierto.

Ejemplo 1 – Cuenta de ahorros

Referencia: Lathi ejemplo 3.6 p253, Oppenheim ejemplo 1.10 p40. Acumuladores en Fundamentos de programación

Una persona ahorradora realiza depósitos regularmente en el banco a un intervalo T mensual.  El banco paga intereses registrados en el estado de cuenta en el periodo T y lo envía al depositante.
Siendo:

x[n] depósito realizado en el instante n-ésimo
y[n] saldo de la cuenta al n-ésimo instante inmediato luego de recibir el n-ésimo depósito x[n]
r tasa de interés del periodo T

El saldo y[n] es la suma [i] del saldo anterior y[n-1], los intereses r sobre y[n-1] durante el periodo T y el depósito x[n]. El evento se puede registrar mediante la ecuación:

y[n] = y[n-1] + r y[n-1] + x[n]

reordenando la ecuación:

y[n] = (1+ r) y[n-1] + x[n] y[n] - (1+ r) y[n-1] = x[n]

por facilidad se simplifica, a = 1+r

la ecuación general se escribe como:

y[n] - a y[n-1] = x[n]

Para el caso presentado, la expresión podría escribirse también para manejar retiros de la cuenta si se cambia de signo al valor de x[n]. También debe considerar condiciones iniciales, por ejemplo al abrir la cuenta y[0] = M si es un depósito, o en otro caso Y[0] = -M por si lo que representa es un préstamo.

El índice de tiempo n es una variable arbitraria, se puede sustituir en la referencia por n+1

y[n+1] - a y[n] = x[n+1]

La expresión con n-1 usa un operación de retardo o retraso, mientras que n+1 usa una operación de avance o adelanto.

El operador de retraso n-1 es más natural, pues la operación es causal, realizable en el tiempo. La operación de adelanto n+1 es no causal, no realizable en tiempo. Por facilidad de operación matemática se usa el operador de adelanto.

Diagrama de bloques

Referencia: Oppenheim 2.4.3 p124.

Semejante a lo presentado en sistemas contínuos se tiene,

y[n] = a y[n-1] + x[n]


Ejemplo 2 – Estimación de ventas

Referencia: Lathi ejercicio 3.7 p255, Hsu 2.39 p100

Un vendedor de una editora de libros en un n-ésimo semestre con x[n] estudiantes registrados en un curso vende y[n] copias de un libro.

En promedio, la cuarta parte de los estudiantes al final del semestre revende el libro usado, el libro se mantiene en buenas condiciones por tres semestres.

Escriba la ecuación que relaciona los libros vendidos por la editora y[n], considerando el número de estudiantes registrados x[n] en el n-ésimo semestre, bajo el supuesto que todos los estudiantes compran el libro.

Durante el n-ésimo semestre, los x[n] estudiantes tienen libros compuestos por libros nuevos vendidos y[n] mas los libros de segunda mano de los dos semestres anteriores.

  • Del semestre inmediato anterior, la cuarta parte de los libros nuevos se revendieron, (1/4) y[n-1].
  • Lo mismo sucedió hace dos semestres (1/4) y[n-2] que se vendieron en el semestre anterior (n-1).
  • También 1/4 de los revendidos el semestre anterior, se vuelven a vender, llegando al ciclo final de vida del libro, es decir (1/4)(1/4 y[n-2]) = (1/16) y[n-2].

Siendo así, los x[n] estudiantes tienen libros provenientes de los libros nuevos y revendidos, expresados mediante:

y[n] + \frac{1}{4} y[n-1] + \frac{1}{16} y[n-2] = x[n]

por facilidad de operaciones matemáticas, se desplaza los índices a positivos,

y[n+2] + \frac{1}{4} y[n+1] + \frac{1}{16} y[n] = x[n+2] .

Para diagramar el sistema, se reordena la ecuación original como entrada-salida:

y[n]= -\frac{1}{4} y[n-1] -\frac{1}{16} y[n-2] + x[n]