Transformada Laplace

Para una señal X(t), Su transformada de Laplace esta definida como:

X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} \delta t

la señal x(t) es la inversa de la transformada X(s), que se obtiene como:

x(t) = \frac{1}{2πj} \int_{c-j\infty}^{c+j\infty} x(t) e^{st} \delta t

donde c es una constante seleccionada para asegurar la convergencia de la integral.

Los pares de ecuaciones conocidos como «Pares de la transformada de Laplace» se escriben simbólicamente como:

X(s) = L[x(t)] x(t) = L^{-1}[X(s)]

y propiedades como

L[a_1 x_1(t) + a_2 x_2 (t)] = a_1 X_1(s) + a_2 X_2 (s)

que muestra la linealidad de la transformada

Región de convergencia (ROC)

También conocida como región de existencia, es el grupo de valores de s, en la region del plano complejo, para los cuales la integral de la transformada converge.

Ejemplo

referencia: Lathi ejemplo 4.1. pdf231

Para una señal x(t) = e-atu(t), encuentre la transformada X(s) y su región de convergencia (ROC)

X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-at} \mu (t) e^{-st} \delta t

pero tomando en cuenta que u(t)=0 para t<0 y u(t)=1 para t≥0:

X(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-at} \mu(t) e^{-st} \delta t X(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-at} e^{-st} \delta t = \int_{0}^{\infty} e^{-(s+a)t} \delta t = \frac{1}{s+a} \Big|_{0}^{\infty}

Si s es un número complejo y t →∞, el término exponencial no necesariamente desaparece.

El número complejo se puede expresar como:

z = α + jβ
e-zt = e-(α + jβ)t = e-αte-jβt.

El valor |e-jβt| = 1 sin importar el valor de βt.
Entonces si t→∞, e-zt →0 solo si α>0
y e-zt →∞ en el caso que α<0.

La región de convergencia (ROC) de X(s) es que la parte real s>-a.

Tabla de transformadas de Laplace (wikipedia)

Tabla de transformadas y propiedades de Laplace (Universidad de Córdova)

Propiedad de diferenciación

\frac{\delta x}{\delta t} \Leftrightarrow sX(s) - x(0^{-}) \frac{d^2x}{dt^2} \Leftrightarrow s^2X(s) - sx(0^{-}) - x'(0^{-}) \frac{\delta^3x}{\delta t^3} \Leftrightarrow s^3 X(s) - s^2 x(0^{-}) - sx'(0^{-}) - x''(0^{-})

Publicado por

Edison Del Rosario

edelros@espol.edu.ec / Profesor del FIEC/FCNM-ESPOL