correlacion multiplicación de procesos

Referencia: Problema León García 10.10 p.636

Sean X(t) y Y(t) procesos independientes estacionarios en el sentido amplio.

Defina Z(t) = X(t) Y(t)

a) Muestre que Z(t) es estacionario en el sentido amplio (WSS).

b) Encuentre R_Z(τ) y S_Z(f)

Solución propuesta:

E[Z(t)] = E[X(t) Y(t)]

que por ser independientes,

= E[ X(t) ] E[ Y(t) ] = m_X m_Y

R_Z(τ) = E[ Z(t) Z(t+τ) ]
= E[ X(t)Y(t) X(t+τ)Y(t+τ) ]
= E[ X(t)X(t+τ) Y(t)Y(t+τ) ]
= E[ X(t)X(t+τ)] E[ Y(t)Y(t+τ) ]
= R_X(τ) R_Y(τ)

que tambien dependen solo de τ, por lo que Z(t) es WSS

S_Z(f) = F[R_Z(τ)]
= F[R_X(τ) R_Y(τ)]
= S_X(f) * S_Y(f) (convolución)