Etiqueta: raíces de ecuaciones

1ra Evaluación I Término 2015-2016. 7/julio/2015. ICM00158

Tema 1. (25 puntos)
a) Sea:

f ∈ C∞[a, b] ,
∃p ∈ [a, b] ,
tal que f(p)=0 y 
f'(p) ≠ 0,

demuestre que existe un intervalo que contiene a p, tal que el método de Newton-Raphson converge para cualquier p₀ que pertenece a dicho intervalo.

b) El precio de demanda de un producto está modelado mediante la ecuación:

y = 10 e^{-x} + 4

y el precio de la oferta está modelado mediante la ecuación :

y = 10 x^{2} + 2

utilizando el método de Newton, plantee la ecuación y encuentre un intervalo de convergencia.

c) Encuentre el precio y demanda donde las curvas se interceptan (equilibrio).

Rúbrica: literal a 7 puntos, literal b (8 puntos), literal c (10 puntos)

 

1ra Evaluación II Término 2014-2015. 9/Diciembre/2013. ICM00158

Tema 1. Usted tiene que diseñar un canal triangular abierto para transportar una corriente de deshechos desde una planta química hasta un depósito de estabilización de desechos. 

La velocidad media aumenta con el radio hidráulico,

R_h = \frac{A}{P},

donde A es el área y P es el perímetro mojado de la sección transversal.

El perímetro mojado es la longitud
de los lados y fondo del canal que están bajo el agua

Como la razón del flujo máximo corresponde a la velocidad máxima, el diseño óptimo corresponde a un valor θ que maximice R_h. Considere d=1 unidad.

a) Encuentre un modelo para calcular R_h en función de θ.

b) Obtenga la ecuación para encontrar el máximo.

c) Encuentre un intervalo de existencia y un intervalo de convergencia tal que el método de Newton, y

d) Aproxime θ con una precisión de 0.0001.

Nota: Si no logra encontrar el modelo en el literal a) utilice la siguiente ecuación
R_h= \frac{d \cos(\theta)}{2(1 + \cos (\theta))}

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Referencia: Chapra Problemas 16.11 p442 pdf466.

Siendo c la hipotenusa de un triángulo del canal, la formula queda en función de la profundidad del canal d.

p = w + 2c \frac{w}{2} = c \cos (\theta) d = c \sin (\theta) c = \frac{d}{sin(\theta)} \frac{w}{2} = \frac{d}{sin(\theta)} \cos(\theta) w = 2d\frac{ \cos(\theta)}{sin(\theta)}

perimetro p  es entonces:

p = 2d\frac{ \cos(\theta)}{sin(\theta)} + 2\frac{d}{sin(\theta)} p = 2d\frac{ \cos(\theta)+1}{sin(\theta)}

continue calculando el área y encuentre la fórmula para el problema …

1ra Evaluación I Término 2012-2013. 3/Julio/2012. ICM00158

Tema 1. (30 puntos). Determine de ser posible, los puntos de la curva

y=ln(x)

para x>0, más cercanos al origen de coordenadas.

a) Plantee la ecuación que permita resolver matemáticamente el problema.

b) Determine de ser posible un intervalo de la solución a la ecuación planteada en el literal anterior.

c) Aproxime la solución numérica de la ecuación planteada, empleando el método de Newton-Raphson con tolerancia de 10⁻⁶. Mostrar la tabla de resultados respectiva.

d) Escriba las coordenadas del punto encontrado: (x,y)

1ra Evaluación II Término 2011-2012. 29/Noviembre/2011. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 1. Para que f(x) sea una función de probabilidad, se tiene que cumplir que su integral en el dominio de x debe tener un valor igual a 1.

Encuentre el valor de b para que la función

f(x) = 2 x^2+x

sea una función de probabilidad en el dominio [0,b].

Use la fórmula de Newton en la ecuación no lineal resultante. error tolerado=0.0001

1ra Evaluación II Término 2011-2012. 29/Noviembre/2011. ICM00158

Tema 1. Se requiere aproximar el punto de la curva dada por

y=2x^{5}-3xe^{-x}-10

ubicado en el tercer cuadrante, donde su recta tangente sea paralela al eje X.
Determine:

a) La ecuación que corresponda a la solución del problema.

b) Un intervalo donde exista la solución requerida. Justifique su respuesta.

c) La aproximación de la solución, usando el método de Newton, con una tolerancia de 10^-6.

1ra Evaluación I Término 2011-2012. 5/Julio/2011. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 1. Los ingresos netos de un fondo de inversiones se puede modelar mediante:

C(t)=Ate^{-t/3}

Unidades en millones de dólares después de inyectarle A millones de dólares, t es tiempo en años.

a) Encuentre el tiempo t en el que el fondo de inversiones C(t) alcanza el máximo y determine el monto de la inversión inicial A necesaria para que el máximo sea igual a un millón de dólares.

b) Encuentre el tiempo t en el que el nivel del fondo de inversiones disminuye a un cuarto de millón de dólares. Use el método de Newton con una aproximación de 0.0001

1ra Evaluación I Término 2011-2012. 5/Julio/2011. ICM00158

Tema 1. Determine de ser posible, el valor del parámetro α > 0 , tal que

\int_{\alpha}^{2\alpha} x e^{x}dx = 10

a) Justifique la existencia del parámetro α.

b) En caso de existir el parámetro α , aplicar el método de Newton para aproximar el valor de α , con una tolerancia de 10⁻⁴ .

1ra Evaluación I Término 2010-2011. 6/Julio/2010. ICM02188. Métodos Numéricos

Tema 2. La curva de encendido de televisores en la ciudad de Guayaquil está en función de la hora del dia y del día de la semana.

Suponga que en un intervalo de 4 horas, un determinado día , el porcentaje de televisores encendidos está dado por la función:

p(x) =\frac{1}{2.5} \Big(-10 \sin \Big(\frac{12x}{7} \Big) e^{-\frac{24x}{7}} + \frac{48x}{7}e^{-\frac{8x}{7}} + 0.8 \Big)

0≤x≤4

x: Tiempo en horas
p: porcentaje en horas de televisores encendidos

a. Encuentre un intervalo en que se encuentre el máximo de la función p

b. Utilice el método de Newton para encontrar el máximo de la función p. Calcule la respuesta con un error máximo de 0.0001

c. Encuentre el mínimo de la función p en el mismo intervalo de cuatro horas con el mismo método y con la misma precisión anteriores.

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Gráfica de referencia