Referencia: Ejemplo 01 Chapra Ejemplo 11.3  p311 pdf335

\begin{cases} 3 x_0 -0.1 x_1 -0.2 x_2 = 7.85 \\ 0.1 x_0 +7x_1 -0.3 x_2 = -19.3 \\ 0.3 x_0 -0.2 x_1 +10 x_2 = 71.4 \end{cases}

El ejemplo de referencia, ya presenta una matriz pivoteada por filas, por lo que no fué implementado el procedimiento.

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Planteamiento

Para el desarrollo con lápiz y papel, se despeja una variable de cada ecuación, se empieza con la primera expresión para obtener x₀

3 x_0 -0.1 x_1 -0.2 x_2 = 7.85 3 x_0 = 7.85 + 0.1 x_1 + 0.2 x_2 x_0 = \frac{7.85 + 0.1 x_1 + 0.2 x_2}{3}

con la segunda ecuación se obtiene x₁

0.1 x_0 +7x_1 -0.3 x_2 = -19.3 7x_1 = -19.3 - 0.1 x_0 +0.3 x_2 x_1 = \frac{ -19.3 - 0.1 x_0 +0.3 x_2}{7}

usando la tercera ecuación se obtiene x₂

0.3 x_0 - 0.2 x_1 + 10 x_2 = 71.4 10 x_2 = 71.4 - 0.3 x_0 + 0.2 x_1 x_2 = \frac{71.4 - 0.3 x_0 + 0.2 x_1}{10}

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Vector inicial

Como el vector inicial no se indica en el enunciado, se considera usar el vector de ceros para iniciar  las iteraciones.

X = [0,0,0]

con tolerancia de 0.00001

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Iteraciones

Con las ecuaciones obtenidas en el planteamiento, se desarrolla usando el vector inicial presentado, hasta que el |error|<tolera

itera = 0

x_0 = \frac{7.85 + 0.1 (0) + 0.2 (0)}{3} = 2.61 x_1 = \frac{ -19.3 - 0.1 (2.61) +0.3 (0)}{7} = -2.79 x_2 = \frac{71.4 - 0.3 (2.61) + 0.2 (-2.79)}{10} = 7.00

X = [2.61, -2.79, 7.00]

diferencias = [2.61, -2.79, 7.00] – [0,0,0]
diferencias = [2.61, -2.79, 7.00]
error = ||diferencias|| , se usa la norma de max(diferencias)
error = 7.00

itera = 1

X = [2.61, -2.79, 7.00]

x_0 = \frac{7.85 + 0.1 (-2.79) + 0.2 (7.00)}{3} = 2.99 x_1 = \frac{ -19.3 - 0.1 (2.99) +0.3 (7.00)}{7} = -2.49 x_2 = \frac{71.4 - 0.3 (2.99) + 0.2 (-2.49)}{10} = 7.00

X = [2.99, -2.49, 7.00]

diferencias = [2.99, -2.49, 7.00] – [2.61, -2.79, 7.00]

diferencias = [0.38, 0.3 , 0. ]

error = ||diferencias||, se usa la norma de max(diferencias)

error = 0.38

itera = 2

X = [2.99, -2.49, 7.00]

x_0 = \frac{7.85 + 0.1 (-2.49) + 0.2 (7.00)}{3} = 3.00 x_1 = \frac{ -19.3 - 0.1 (3.00) +0.3 (7.00)}{7} = -2.5 x_2 = \frac{71.4 - 0.3 (3.00) + 0.2 (-2.5)}{10} = 7.00

X = [3.00, -2.50, 7.00]

diferencias = [3.00, -2.50, 7.00] – [2.99, -2.49, 7.00]

diferencias = [ 0.01, -0.01, 0. ]

error = ||diferencias||, se usa la norma de max(diferencias)

error = 0.01

El error aún es mayor que tolera, por lo que es necesario continuar con las iteraciones.

Observaciones

El error disminuye en cada iteración, por lo que el método converge hacia la raiz.

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Algoritmo con Python

Con la descripción dada para el método de Gauss-Seidel, se muestra una forma básica de implementar el algoritmo.

Ejemplo 01 Chapra Ejemplo 11.3 p311 pdf335

\begin{cases} 3 x_0 -0.1 x_1 -0.2 x_2 = 7.85 \\ 0.1 x_0 +7x_1 -0.3 x_2 = -19.3 \\ 0.3 x_0 -0.2 x_1 +10 x_2 = 71.4 \end{cases}

El ejemplo de referencia, ya presenta una matriz pivoteada por filas, por lo que no fué implementado el procedimiento. Para generalizar el algoritmo, incluya como tarea aumentar el procedimiento de pivoteo por filas.

# Método de Gauss-Seidel
# solución de sistemas de ecuaciones
# por métodos iterativos

import numpy as np

# INGRESO
A = np.array([[3. , -0.1, -0.2],
              [0.1,  7  , -0.3],
              [0.3, -0.2, 10  ]])

B = np.array([7.85,-19.3,71.4])

X0  = np.array([0.,0.,0.])

tolera = 0.00001
iteramax = 100

# PROCEDIMIENTO

# Gauss-Seidel
tamano = np.shape(A)
n = tamano[0]
m = tamano[1]
#  valores iniciales
X = np.copy(X0)
diferencia = np.ones(n, dtype=float)
errado = 2*tolera

itera = 0
while not(errado<=tolera or itera>iteramax):
    # por fila
    for i in range(0,n,1):
        # por columna
        suma = 0 
        for j in range(0,m,1):
            # excepto diagonal de A
            if (i!=j): 
                suma = suma-A[i,j]*X[j]
        
        nuevo = (B[i]+suma)/A[i,i]
        diferencia[i] = np.abs(nuevo-X[i])
        X[i] = nuevo
    errado = np.max(diferencia)
    itera = itera + 1

# Respuesta X en columna
X = np.transpose([X])

# revisa si NO converge
if (itera>iteramax):
    X=0
# revisa respuesta
verifica = np.dot(A,X)

# SALIDA
print('respuesta X: ')
print(X)
print('verificar A.X=B: ')
print(verifica)

que da como resultado:

respuesta X: 
[[ 3. ]
 [-2.5]
 [ 7. ]]
verificar A.X=B: 
[[  7.84999999]
 [-19.3       ]
 [ 71.4       ]]
>>> 

que es la respuesta del problema obtenida durante el desarrollo del ejemplo con otros métodos.

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Tarea

Completar el algoritmo para usar una matriz diagonal dominante, usando al menos el pivoteo parcial por filas.

Referencia: Chapra 11.2 p310 pdf334, Burden 9Ed 7.3 p454, Rodriguez 5.2 p162

La analogía presentadas entre la «norma como distancia 3D» y el «error de acoplamiento de aeronaves», pertimite considerar desde un punto de partida o inicial las aproximaciones o iteraciones sucesivas hacia una solución del sistema de ecuaciones. Las iteraciones pueden ser convergentes o no.

Los métodos iterativos para sistemas de ecuaciones, son semejantes al método de punto fijo para búsqueda de raíces, requieren un punto inicial para la búsqueda de la raiz o solución que satisface el sistema.

Para describir el método iterativo de Gauss-Seidel, se usa un sistema de 3 incógnitas y 3 ecuaciones, diagonalmente dominante.

\begin{cases} a_{0,0} x_0+a_{0,1}x_1+a_{0,2} x_2 = b_{0} \\ a_{1,0} x_0+a_{1,1}x_1+a_{1,2} x_2 = b_{1} \\ a_{2,0} x_0+a_{2,1}x_1+a_{2,2} x_2 = b_{2} \end{cases}

Para facilitar la escritura del agoritmo, note el uso de índices ajustado a la descripción de arreglos en Python para la primera fila i=0 y primera columna j=0.

Semejante a despejar una variable de la ecuación para representar un plano, se plantea despejar una variable de cada ecuación. Se obtiene así los valores de cada x_i, por cada por cada fila i:

x_0 = \frac{b_{0} -a_{0,1}x_1 -a_{0,2} x_2 }{a_{0,0}} x_1 = \frac{b_{1} -a_{1,0} x_0 -a_{1,2} x_2}{a_{1,1}} x_2 = \frac{b_{2} -a_{2,0} x_0 - a_{2,1} x_1}{a_{2,2}}

Observe que el patrón de cada fórmula para determinar x[i], tiene la forma:

x_i = \bigg(b_i - \sum_{j=0, j\neq i}^n A_{i,j}X_j\bigg) \frac{1}{A_{ii}}

La parte de la sumatoria se realiza para cada término de A[i,j] en la fila i, excepto para el término de la diagonal A[i,i].

Si se tiene conocimiento del problema planteado y se puede «intuir o suponer» una solución para el vector X. Por ejemplo, iniciando con el vector cero, es posible calcular un nuevo vector X usando las ecuaciones para cada X[i] encontradas.

X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Con cada nuevo valor se calcula el vector diferencias entre el vector X y cada nuevo valor calculado X[i] .

El error que llama la atención es al mayor valor de las diferencias; se toma como condición para repetir la evaluación de cada vector.

     nuevo = [ 0, 0,  0]
         X = [x0, x1, x2]
diferencia = [|0 - x0|, |0 - x1|, |0 - x2|]
errado = max(diferencia)

Se observa los resultados de errado para cada iteración, relacionados con la convergencia. Si luego de «muchas» iteraciones se encuentra que (errado>tolera),  se detiene el proceso.

Referencia: Chapra 10.3.2 p300/pdf324, Burden 9Ed 7.5 p470, Rodriguez 4.4.3 p133

El número de condición de una  matriz se usa para cuantificar su nivel de mal condicionamiento.

Sea AX=B un sistema de ecuaciones lineales, entonces:

cond(A) = ||A|| ||A^-1||

es el número de condición de la matriz A

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Tarea

Usando como base los procedimientos desarrollados en Python, elabore un algoritmo para encontrar el número de condición de una matriz.

«el error relativo de la norma de la solución calculada puede ser tan grande como el error relativo de la norma de los coeficientes de [A], multiplicada por el número de condición.»

Por ejemplo,

• si los coeficientes de [A] se encuentran a t dígitos de precisión
  (esto es, los errores de redondeo son del orden de 10^–t) y
• Cond [A] = 10^c,
• la solución [X] puede ser válida sólo para t – c dígitos
  (errores de redondeo ~ 10^c–t).

verifique el resultado obtenido con el algoritmo, comparando con usar la instrucción

 np.linalg.cond(A)

Referencia: Chapra 10.3.1 p298 pdf322, Burden 9Ed Cap7.1 p432, Rodríguez 4.4.1 p132, MATG1049 – Norma, distancias y ángulos

Es una manera de expresar la magnitud de sus componentes:

Sea X un vector de n componentes:

||X|| = \sum_{i=1}^{n}|X_i| ||X|| = max|X_i| , i=1,2, ...,n ||X|| = \left( \sum_{i=1}^{n}X_i^2 \right) ^{1/2}

Sea una matriz A de nxn componentes:

||A|| = max(\sum_{j=1}^{n}|a_{i,j}|, i = 1,2,...,n) ||A|| = max(\sum_{i=1}^{n}|a_{i,j}|, j = 1,2,...,n) ||A|| = \left( \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{i,j}^2 \right) ^{1/2}

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Ejercicios

Ejercicio 1. Usando los conceptos de normas mostradas, para el siguiente vector:

 x= [5, -3, 2] 

a) calcule las normas mostradas (en papel),
b) Realice los respectivos algoritmos en python,
c) Determine los tiempos de ejecución de cada algoritmo. ¿Cúál es el más rápido?

Ejercicio 2. Usando los conceptos de normas mostradas, para la siguiente matriz:

A = [[5, -3, 2],
     [4,  8,-4],
     [2,  6, 1]] 

Repita los literales del ejercicio anterior.

Nota: para convertir una lista X en arreglo use: np.array(X)

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Normas con Python y Numpy

Algunas normas vectoriales y matriciales con Python. Cálculo del número de condición.

Se presenta un ejemplo usando la matriz A y el vector B en un programa de prueba.

A = np.array([[3,-0.1,-0.2],
              [0.1,7,-0.3],
              [0.3,-0.2,10]])

B = np.array([7.85,-19.3,71.4])

Instrucciones en Python:

# Normas vectoriales y matriciales
# Referencia: Chapra 10.3, p299, pdf323
import numpy as np

def norma_p(X,p):
    Xp = (np.abs(X))**p
    suma = np.sum(Xp)
    norma = suma**(1/p)
    return(norma)

def norma_euclidiana(X):
    norma = norma_p(X,2)
    return(norma)

def norma_filasum(X):
    sfila = np.sum(np.abs(X),axis=1)
    norma = np.max(sfila)
    return(norma)

def norma_frobenius(X):
    tamano = np.shape(X)
    n = tamano[0]
    m = tamano[1]
    norma = 0
    for i in range(0,n,1):
        for j in range(0,m,1):
            norma =  norma + np.abs(X[i,j])**2
    norma = np.sqrt(norma)
    return(norma)

def num_condicion(X):
    M = np.copy(X)
    Mi = np.linalg.inv(M)
    nM = norma_filasum(M)
    nMi= norma_filasum(Mi)
    ncondicion = nM*nMi
    return(ncondicion)

# Programa de prueba #######
# INGRESO
A = np.array([[3,-0.1,-0.2],
              [0.1,7,-0.3],
              [0.3,-0.2,10]])

B = np.array([7.85,-19.3,71.4])

p = 2

# PROCEDIMIENTO
normap    = norma_p(B, p)
normaeucl = norma_euclidiana(B)
normafilasuma   = norma_filasum(A)
numerocondicion = num_condicion(A)

# SALIDA
print('vector:',B)
print('norma p: ',2)
print(normap)

print('norma euclididana: ')
print(normaeucl)

print('******')
print('matriz: ')
print(A)
print('norma suma fila: ',normafilasuma)

print('número de condición:')
print(numerocondicion)

cuyos resultados del ejercicio serán:

vector: [  7.85 -19.3   71.4 ]
norma p:  2
74.3779033047
norma euclididana: 
74.3779033047
******
matriz: 
[[  3.   -0.1  -0.2]
 [  0.1   7.   -0.3]
 [  0.3  -0.2  10. ]]
norma suma fila:  10.5
número de condición:
3.61442432483
>>> 

compare sus resultados con las funciones numpy:

np.linalg.norm(A)
np.linalg.cond(A)

http://www.numpy.org/devdocs/reference/generated/numpy.linalg.norm.html

http://www.numpy.org/devdocs/reference/generated/numpy.linalg.cond.html

Referencia: Chapra 10.3.1 p298 pdf322, Burden 9Ed Cap7.1 p432, Rodriguez 4.4.1 p132

Normas de un vector en 3D

La norma de un vector se interpreta como una distancia entre la coordenada definida por el vector [x_i, y_i, z_i] y el origen [0,0,0]. También se puede realizar respecto a otro punto de referencia, se conoce como Norma Ecuclidiana o Norma p=2.

Previamente, en busqueda de raíces, el error de aproximación se considera como la diferencia entre dos iteraciones sucesivas:.

error = |x_{i+1} - x_{i}|

Si el concepto se extiende a vectores en tres dimensiones, se observa como el error entre vectores |X_i+1 – X_i| que se interpreta mejor como una distancia.

Por ejemplo, si se usan los puntos y se visualizan en un gráfico:

    X1 =  [ 1  2  3]
    X2 =  [ 2  4 -1]
errado = |[ 1  2 -4]|

La diferencia entre los vectores |[ 1, 2, -4]|  es más simple de observar como un número escalar. Una forma de convertir el punto a un escalar es usar la distancia al origen.

errado = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-4)^2} = 4.58

El resultado también se interpreta como la distancia entre los puntos X₁ y X₂

De ampliar el concepto a n dimensiones se conoce como norma de un vector o matriz.

||x|| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} ||x|| = \Big[ \sum_{i=0}^{n} x_i ^2 \Big] ^{1/2}

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Distancia entre dos puntos en el espacio, error y Norma

Observe los siguientes videos, sobre acople de aeronaves.

1. Acoplamiento de aviones para recarca de combustible . www.AiirSource.com. 30/diciembre/2015.
KC-135 Stratotanker in Action – Aircraft Air Refueling

2. Acoplamiento con estación espacial internacional ISS. RT en español . 2/Julio/2010.
El carguero ruso Progress M-06M pasó de largo la Estación Espacial Internacional fracasado en su intento de acoplarse

• ¿Considera importante que exista acoplamiento para iniciar la carga el combustible? o ¿para abrir la escotilla del transbordador?

Si el error de acoplamiento entre artefactos se calcula como la Norma entre los puntos de «contacto»,

• ¿es necesario calcular la raiz cuadrada de los cuadrados de las diferencias? o,
• ¿Solo toma en cuenta el mínimo o el máximo de las diferencias entre las coordenadas?,
• ¿cuál de las formas tiene menos operaciones, es más rápida de realizar?

considere sus respuestas para el siguiente concepto.

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Norma infinito

Se determina como el valor mas grande entre los elementos del vector o matriz.

||x|| = max\Big[ |x_i| \Big]

Es más sencilla de calcular que la Norma Ecuclidiana, Norma P=2, mostrada al principio.

Se interpreta como si alguna de las diferencia entre las coordenadas de los puntos de acople entre aeronaves es mayor que lo tolerado, no se debe permitir abrir la válvula de combustible o la escotilla del transbordador. No es prioritario calcular la suma de los cuadrados de las diferencias para saber que no existe acople aún.

Existen otras formas de calcular la Norma, que se presentan en la siguiente página web.

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Algoritmo en Python

Principalmente se usa para generar las gráficas 3D, que ayudan a la interpretación del concepto con los puntos de coordenadas:

X0 = np.array([0.0, 0, 0])
X1 = np.array([1.0, 2, 3])
X2 = np.array([2.0, 4,-1])

Las instrucciones gráficas principales son:

• Para puntos, gráficos de dispersión o scatter()
• Para las lineas, gráficos de línea o plot()

El resultado de la parte numérica se obtiene con pocas instrucciones en el bloque de procedimiento

X1 =  [1 2 3]
X2 =  [ 2  4 -1]
errado =  [-1 -2  4]
||errado|| =  4.58257569495584
Norma euclidiana :  4.58257569495584

las intrucciones en Python son:

# Norma como error
# o distancia entre dos puntos
# caso 3D
import numpy as np

# INGRESO
X0 = np.array([0.0, 0, 0])
X1 = np.array([1.0, 2, 3])
X2 = np.array([2.0, 4,-1])

# PROCEDIMIENTO
errado = X1 - X2
distancia = np.sqrt(np.sum(errado**2))
# funciones numpy
Nerrado = np.linalg.norm(errado)

# SALIDA
print('X1 = ', X1)
print('X2 = ', X2)
print('errado = ', errado)
print('||errado|| = ', distancia)
print('Norma euclidiana : ',Nerrado)


# Grafica
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
figura  = plt.figure()
grafica = figura.add_subplot(111,projection = '3d')

# puntos en el espacio
[x, y , z] = X0
grafica.scatter(x,y,z, c = 'blue',
                marker='o', label = 'X0')

[x, y , z] = X1
grafica.scatter(x,y,z, c = 'red',
                marker='o', label = 'X1')

[x, y , z] = X2
grafica.scatter(x,y,z, c = 'green',
                marker='o', label = 'X2')

# líneas entre puntos
linea = np.concatenate(([X0],[X1]),axis = 0)
x = linea[:,0]
y = linea[:,1]
z = linea[:,2]
grafica.plot(x,y,z, label = '||X1||')

linea = np.concatenate(([X0],[X2]),axis = 0)
x = linea[:,0]
y = linea[:,1]
z = linea[:,2]
grafica.plot(x,y,z, label = '||X2||')

linea = np.concatenate(([X1],[X2]),axis = 0)
x = linea[:,0]
y = linea[:,1]
z = linea[:,2]
grafica.plot(x,y,z, label = '||error||')

grafica.set_xlabel('eje x')
grafica.set_ylabel('eje y')
grafica.set_zlabel('eje z')
grafica.legend()

grafica.view_init(35, 25)
plt.show()

Referencia: Chapra 10.2 p292, pdf 316; Burden 9Ed 6.3 p386. Rodriguez Cap.4.2.5 Ejemplo 1 pdf.118

Ejemplo

Obtener la inversa de una matriz usando el método de Gauss-Jordan, a partir de la matriz:

\begin{pmatrix} 4 & 2 & 5 \\ 2 & 5 & 8 \\ 5 & 4 & 3 \end{pmatrix}

A = np.array([[4,2,5],
              [2,5,8],
              [5,4,3]])

---

Desarrollo analítico

Para el procedimiento, se crea la matriz aumentada de A con la identidad I.

AI = A|I

\begin{pmatrix} 4 & 2 & 5 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 5 & 8 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

[[  4.    2.    5.   1.    0.    0. ]
 [  2.    5.    8.   0.    1.    0. ]
 [  5.    4.    3.   0.    0.    1. ]]

Con la matriz aumentada AI  se repiten los procedimientos aplicados en el método de Gauss-Jordan:

• pivoteo parcial por filas
• eliminación hacia adelante
• eliminación hacia atras

De la matriz aumentada resultante, se obtiene la inversa A^-1 en la mitad derecha de AI, lugar que originalmente correspondía a la identidad.

el resultado buscado es:

la matriz inversa es:
[[ 0.2        -0.16470588  0.10588235]
 [-0.4         0.15294118  0.25882353]
 [ 0.2         0.07058824 -0.18823529]]

\begin{pmatrix} 0.2 & -0.16470588 & 0.10588235 \\ -0.4 & 0.15294118 & 0.25882353 \\ 0.2 & 0.07058824 & -0.18823529 \end{pmatrix}

---

Verifica resultado

El resultado se verifica realizando la operación producto punto entre A y la inversa, que debe resultar la matriz identidad.

A.A^-1 = I

El resultado de la operación es una matriz identidad. Observe que los valores del orden de 10^-15 o menores se consideran como casi cero o cero.

 A.inversa = identidad
[[ 1.00000000e+00 -1.38777878e-17 -1.38777878e-16]
 [ 2.22044605e-16  1.00000000e+00 -2.22044605e-16]
 [ 5.55111512e-17 -9.71445147e-17  1.00000000e+00]]

---

Algoritmo en Python

El algoritmo que describe el proceso en python:

# Matriz Inversa con Gauss-Jordan
# AI es la matriz aumentada A con Identidad
# Se aplica Gauss-Jordan(AI)

import numpy as np

# INGRESO
A = np.array([[4,2,5],
              [2,5,8],
              [5,4,3]], dtype=float)

# PROCEDIMIENTO
casicero = 1e-15 # Considerar como 0

# matriz identidad
tamano = np.shape(A)
n = tamano[0]
identidad = np.identity(n)

# Matriz aumentada

AB = np.concatenate((A,identidad),axis=1)
AB0 = np.copy(AB)

# Pivoteo parcial por filas
tamano = np.shape(AB)
n = tamano[0]
m = tamano[1]

# Para cada fila en AB
for i in range(0,n-1,1):
    # columna desde diagonal i en adelante
    columna = abs(AB[i:,i])
    dondemax = np.argmax(columna)
    
    # dondemax no está en diagonal
    if (dondemax !=0):
        # intercambia filas
        temporal = np.copy(AB[i,:])
        AB[i,:] = AB[dondemax+i,:]
        AB[dondemax+i,:] = temporal
AB1 = np.copy(AB)

# eliminacion hacia adelante
for i in range(0,n-1,1):
    pivote = AB[i,i]
    adelante = i+1
    for k in range(adelante,n,1):
        factor = AB[k,i]/pivote
        AB[k,:] = AB[k,:] - AB[i,:]*factor
AB2 = np.copy(AB)

# elimina hacia atras
ultfila = n-1
ultcolumna = m-1
for i in range(ultfila,0-1,-1):
    pivote = AB[i,i]
    atras = i-1 
    for k in range(atras,0-1,-1):
        factor = AB[k,i]/pivote
        AB[k,:] = AB[k,:] - AB[i,:]*factor
    # diagonal a unos
    AB[i,:] = AB[i,:]/AB[i,i]

inversa = np.copy(AB[:,n:])

# SALIDA
print('Matriz aumentada:')
print(AB0)
print('Pivoteo parcial por filas')
print(AB1)
print('eliminacion hacia adelante')
print(AB2)
print('eliminación hacia atrás')
print(AB)
print('Inversa de A: ')
print(inversa)

el resultado buscado es:

la matriz inversa es:
[[ 0.2        -0.16470588  0.10588235]
 [-0.4         0.15294118  0.25882353]
 [ 0.2         0.07058824 -0.18823529]]
verificando
A.inversa = identidad
[[ 1.00000000e+00 -1.38777878e-17 -1.38777878e-16]
 [ 2.22044605e-16  1.00000000e+00 -2.22044605e-16]
 [ 5.55111512e-17 -9.71445147e-17  1.00000000e+00]]

Observe que el algoritmo se pude reducir si usan los procesos de Gauss-Jordan como funciones.

Tarea: Realizar el algoritmo usando una función creada para Gauss-Jordan

Referencia: Chapra 9.7 p277 pdf301, Burden 9Ed Ex6.1.12 p370, Rodriguez 4.2 p106

El método de Gauss-Jordan es semejante al método de Gauss en los procedimientos para obtener:

• la matriz aumentada,
• pivoteada por filas
• eliminación hacia adelante

El cambio se presenta a partir de la matriz triangular superior, donde se aplica el procedimiento para obtener la solución:

• eliminación hacia atrás

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Método de Gauss – Jordan

El método de Gauss-Jordan presenta un procedimiento alterno al de «sustitución hacia atrás» realizado para el método de Gauss.

A partir de haber terminado el procedimiento de «eliminación hacia adelante» y haber obtenido la «matriz triangular superior» aumentada, se aplica el procedimiento de.  «eliminación hacia atrás».

Se continúa con el ejercicio desde la «matriz triangular superior» aumentada:

Elimina hacia adelante
[[ 5.    4.    3.   56.3 ]
 [ 0.    3.4   6.8  70.38]
 [ 0.    0.    5.   40.5 ]]

Eliminación hacia atras

El procedimiento es semejante al realizado para «eliminación hacia adelante», con la diferencia que se inicia en la última fila hacia la primera.

Las operaciones se realizan de abajo hacia arriba desde la última fila.
Para el ejercicio presentado se tiene que:

utlfila = n-1 = 3-1 = 2
ultcolumna = m-1 = 4-1 = 3

iteración 1, operación fila 3 y 2

de aplica desde la última fila i, para las otras filas k que se encuentran hacia atrás.

i = 2
pivote = AB[2,2] = 5
k = i-1 # hacia atrás

se realizan las operaciones entre las filas i y la fila k

         [0.  3.4  6.8    70.38]
-(6.8/5)*[0.  0.   5.     40.5 ]
_______________________________
       = [0.0 3.4  8.8e-16 15.3]

para reemplazar los valores de la segunda fila en la matriz aumentada

[[5.0    4.0    3.0      56.3]
 [0.0    3.4    8.8e-16  15.3]
 [0.0    0.0    5.0      40.5]]

Observe que hay un valor muy pequeño del orden de 10^-16, que para las otras magnitudes se puede considerar como casi cero.

iteración 2, operación fila 3 y 1

Se calculan los nuevos valores de indice K

k = k-1 = 2-1 = 1  # hacia atrás

se realizan las operaciones entre las filas i y la fila k

       [5.0    4.0    3.0    56.3]
-(3/5)*[0.0    0.0    5.0    40.5]
__________________________________
     = [5.0    4.0    0.0    32.0]

que al actualizar la matriz aumentada se tiene:

[[5.0    4.0    0.0      32.0]
 [0.0    3.4    8.8e-16  15.3]
 [0.0    0.0    5.0      40.5]]}

Al haber terminado las filas hacia arriba, se puede así determinar el valor de x₃ al dividir la fila 3 para el pivote

[[5.0    4.0    0.0      32.0]
 [0.0    3.4    8.8e-16  15.3]
 [0.0    0.0    1.0       8.1]]}

iteración 3, operación fila 2 y 1

se actualizan los valores de los índices:

i = i-1 = 2-1 = 1
k = i-1 = 1-1 = 0

se pueden realizar operaciones en una sola fila hacia atrás, por lo que el resultado hasta ahora es:

[[ 5.0    0.0   -1.04e-15  14.0]
 [ 0.0    3.4    8.8e-16   15.3]
 [ 0.0    0.0    1.0        8.1]]

Se obtiene el valor de x₂, dividiendo para el valor del pivote,

[[ 5.0    0.0   -1.04e-15  14.0]
 [ 0.0    1.0    2.6e-16    4.5]
 [ 0.0    0.0    1.0        8.1]]

iteracion 4, operacion fila 1

No hay otras filas con las que iterar, por lo que solo se obtiene el valor de x₁ al dividir para el pivote.

[[ 1.0    0.0   -2.08e-15  2.8]
 [ 0.0    1.0    2.6e-16   4.5]
 [ 0.0    0.0    1.0       8.1]]

La solución del sistema de ecuaciones se presenta como una matriz identidad concatenada a un vector columa de constantes.

solución X es:
[[2.8]
 [4.5]
 [8.1]]

X= \begin{pmatrix} 2.8\\ 4.5 \\ 8.1 \end{pmatrix}

Observación: en la matriz hay unos valores del orden de 10^-16, que corresponden a errores de operaciones en computadora (truncamiento y redondeo) que pueden ser descartados por ser casi cero. Hay que establecer entonces un parámetro para controlar los casos en que la diferencia entre los ordenes de magnitud son por ejemplo menores a 15 ordenes de magnitud 10^-15. e implementarlo en los algoritmos.

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Algoritmo en Python

Esta sección reutiliza el algoritmo desarrollado para el Método de Gauss, por lo que los bloques de procedimiento son semejantes hasta #eliminación hacia adelante». Se añade el procedimiento de eliminación hacia atras para completar la solución al sistema de ecuaciones.

El algoritmo desarrollado por partes:

# Método de Gauss-Jordan
# Solución a Sistemas de Ecuaciones
# de la forma A.X=B

import numpy as np

# INGRESO
A = np.array([[4,2,5],
              [2,5,8],
              [5,4,3]])

B = np.array([[60.70],
              [92.90],
              [56.30]])

# PROCEDIMIENTO
casicero = 1e-15 # Considerar como 0

# Evitar truncamiento en operaciones
A = np.array(A,dtype=float) 

# Matriz aumentada
AB = np.concatenate((A,B),axis=1)
AB0 = np.copy(AB)

# Pivoteo parcial por filas
tamano = np.shape(AB)
n = tamano[0]
m = tamano[1]

# Para cada fila en AB
for i in range(0,n-1,1):
    # columna desde diagonal i en adelante
    columna = abs(AB[i:,i])
    dondemax = np.argmax(columna)
    
    # dondemax no está en diagonal
    if (dondemax !=0):
        # intercambia filas
        temporal = np.copy(AB[i,:])
        AB[i,:] = AB[dondemax+i,:]
        AB[dondemax+i,:] = temporal
        
AB1 = np.copy(AB)

# eliminacion hacia adelante
for i in range(0,n-1,1):
    pivote = AB[i,i]
    adelante = i + 1
    for k in range(adelante,n,1):
        factor = AB[k,i]/pivote
        AB[k,:] = AB[k,:] - AB[i,:]*factor
AB2 = np.copy(AB)

# elimina hacia atras
ultfila = n-1
ultcolumna = m-1
for i in range(ultfila,0-1,-1):
    pivote = AB[i,i]
    atras = i-1 
    for k in range(atras,0-1,-1):
        factor = AB[k,i]/pivote
        AB[k,:] = AB[k,:] - AB[i,:]*factor
    # diagonal a unos
    AB[i,:] = AB[i,:]/AB[i,i]
X = np.copy(AB[:,ultcolumna])
X = np.transpose([X])


# SALIDA
print('Matriz aumentada:')
print(AB0)
print('Pivoteo parcial por filas')
print(AB1)
print('eliminacion hacia adelante')
print(AB2)
print('eliminación hacia atrás')
print(AB)
print('solución de X: ')
print(X)

Tarea: implementar caso cuando aparecen ceros en la diagonal para dar respuesta, convertir a funciones cada parte

Referencia: Chapra 10.2 p287, pdf312

Se plantea resolver el sistema de ecuaciones usando matrices triangulares

A = \begin{pmatrix} 3 & -0.1 & -0.2 \\ 0.1 & 7 & -0.3 \\0.3 & -0.2 & 10 \end{pmatrix} B = [7.85,-19.3,71.4]

Para encontrar la solución al sistema de ecuaciones, se plantea resolver:
– sustitución hacia adelante de LY=B
– sustitución hacia atras para UX=Y

Instrucciones en Python

Al algoritmo de la sección anterior se añade los procedimientos correspondientes con los que se obtiene la solución:

[[ 3. ]
 [-2.5]
 [ 7. ]]

# Solución usando Matrices L y U
# continuación de ejercicio anterior

import numpy as np

# INGRESO
A = np.array([[ 3. , -0.1, -0.2],
              [ 0.1,  7. , -0.3],
              [ 0.3, -0.2, 10. ]], dtype=float)

B = np.array([7.85,-19.3,71.4], dtype=float)

# PROCEDIMIENTO
B  = np.transpose([B])
AB = np.concatenate((A,B),axis=1)
AB = np.copy(AB)

# Pivoteo parcial por filas
tamano = np.shape(AB)
n = tamano[0]
m = tamano[1]

# Para cada fila en AB
for i in range(0,n-1,1):

    # columna desde diagonal i en adelante
    columna = abs(AB[i:,i])
    dondemax = np.argmax(columna)

    # dondemax no está en diagonal
    if (dondemax !=0):
        # intercambia filas
        temporal = np.copy(AB[i,:])
        AB[i,:] = AB[dondemax+i,:]
        AB[dondemax+i,:] = temporal

AB1 = np.copy(AB)
A1 = np.copy(AB[:,:m-1])
B1 = np.copy(AB[:,m-1])

# eliminacion hacia adelante
# se inicializa L
L = np.identity(n,dtype=float)
for i in range(0,n-1,1):
    pivote = AB[i,i]
    adelante = i+1
    for k in range(adelante,n,1):
        factor = AB[k,i]/pivote
        AB[k,:] = AB[k,:] - AB[i,:]*factor
        L[k,i] = factor

U = np.copy(AB[:,:m-1])

# Resolver LY = B
B1  = np.transpose([B1])
AB =np.concatenate((L,B1),axis=1)

# sustitución hacia adelante
Y = np.zeros(n,dtype=float)
Y[0] = AB[0,n]
for i in range(1,n,1):
    suma = 0
    for j in range(0,i,1):
        suma = suma + AB[i,j]*Y[j]
    b = AB[i,n]
    Y[i] = (b-suma)/AB[i,i]

Y = np.transpose([Y])

# Resolver UX = Y
AB =np.concatenate((U,Y),axis=1)

# sustitución hacia atrás
ultfila = n-1
ultcolumna = m-1
X = np.zeros(n,dtype=float)

for i in range(ultfila,0-1,-1):
    suma = 0
    for j in range(i+1,ultcolumna,1):
        suma = suma + AB[i,j]*X[j]
    b = AB[i,ultcolumna]
    X[i] = (b-suma)/AB[i,i]

X = np.transpose([X])

# SALIDA
print('Pivoteo parcial por filas: AB')
print(AB1)
print('eliminación hacia adelante')
print('Matriz U: ')
print(U)
print('matriz L: ')
print(L)
print('B1 :')
print(B1)
print('Y Sustitución hacia adelante')
print(Y)
print('X Sustitución hacia atras')
print(X)

Referencia: Chapra 10.1 p284, pdf306. Burden 9Ed p400

Una matriz A puede separarse en dos matrices triangulares:

• L de tipo triangular inferior
• U de tipo triangular superior

que entre ellas tienen la propiedad que:  A = L.U

La matriz U se obtiene después de aplicar el proceso de «eliminación hacia adelante» del método de Gauss.

La matriz L contiene los factores usados en el proceso de «eliminación hacia adelante» del método de Gauss, escritos sobre una matriz identidad en las posiciones donde se calcularon.

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Ejercicio

Ejemplo Chapra 10.1 p285, pdf309

Presente las matrices LU de la matriz A siguiente:

A= \begin{pmatrix} 3 & -0.1 & -0.2 \\ 0.1 & 7 & -0.3 \\0.3 & -0.2 & 10 \end{pmatrix}

A = np.array([[ 3. , -0.1, -0.2],
              [ 0.1,  7. , -0.3],
              [ 0.3, -0.2, 10. ]], dtype=float)
B = np.array([7.85,-19.3,71.4], dtype=float)

El resultado del «pivoteo por filas» y «eliminación hacia adelante» se tiene:

Pivoteo parcial por filas
[[  3.    -0.1   -0.2    7.85]
 [  0.1    7.    -0.3  -19.3 ]
 [  0.3   -0.2   10.    71.4 ]]

de donde la última columna es el nuevo vector B

eliminación hacia adelante
Matriz U: 
[[ 3.         -0.1        -0.2       ]
 [ 0.          7.00333333 -0.29333333]
 [ 0.          0.         10.01204188]]

y guardando los factores del procedimiento de «eliminación hacia adelante » en una matriz L que empieza con la matriz identidad se obtiene:

matriz L: 
[[ 1.          0.          0.        ]
 [ 0.03333333  1.          0.        ]
 [ 0.1        -0.02712994  1.        ]]

---

Algoritmo en Python

Realizado a partir del algoritmo de la sección «método de Gauss» y modificando las partes necesarias para el algoritmo.

Para éste algoritmo, se procede desde el bloque de «pivoteo por filas, continuando con el algoritmo de «eliminación hacia adelante» del método de Gauss.  Procedimientos que dan como resultado la matriz U.

La matriz L requiere iniciar con una matriz identidad,  y el procedimiento requiere que al ejecutar «eliminación hacia adelante» se almacene cada factor con el que se multiplica la fila para hacer cero. El factor se lo almacena en la matriz L, en la posición de dónde se determinó el factor.

# Matrices L y U
# Modificando el método de Gauss

import numpy as np

# INGRESO
A = np.array([[ 3. , -0.1, -0.2],
              [ 0.1,  7. , -0.3],
              [ 0.3, -0.2, 10. ]], dtype=float)

B = np.array([7.85,-19.3,71.4], dtype=float)

# PROCEDIMIENTO
B  = np.transpose([B])
AB = np.concatenate((A,B),axis=1)
AB = np.copy(AB)

# Pivoteo parcial por filas
tamano = np.shape(AB)
n = tamano[0]
m = tamano[1]

# Para cada fila en AB
for i in range(0,n-1,1):

    # columna desde diagonal i en adelante
    columna = abs(AB[i:,i])
    dondemax = np.argmax(columna)

    # dondemax no está en diagonal
    if (dondemax !=0):
        # intercambia filas
        temporal = np.copy(AB[i,:])
        AB[i,:] = AB[dondemax+i,:]
        AB[dondemax+i,:] = temporal

AB1 = np.copy(AB)
A1 = np.copy(AB[:,:m-1])
B1 = np.copy(AB[:,m-1])

# eliminacion hacia adelante
# se inicializa L
L = np.identity(n,dtype=float)
for i in range(0,n-1,1):
    pivote = AB[i,i]
    adelante = i+1
    for k in range(adelante,n,1):
        factor = AB[k,i]/pivote
        AB[k,:] = AB[k,:] - AB[i,:]*factor
        L[k,i] = factor

U = np.copy(AB[:,:m-1])

# SALIDA
print('Pivoteo parcial por filas')
print(AB1)
print('eliminación hacia adelante')
print('Matriz U: ')
print(U)
print('matriz L: ')
print(L)

Si se requiere una respuesta unificada en una variable, se puede convertir en una arreglo de matrices [L,U].
Las matrices L y U se pueden leer como L=LU[0] y U=LU[1]

LU = np.array([L,U])

# SALIDA
print('triangular inferior L')
print(LU[0])
print('triangular superior U')
print(LU[1])

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Tarea

Verificar los resultados, y considerar las divisiones para cero y «casicero».

Verificar resultados con la operación A=L.U

>>> np.dot(LU[0],LU[1])
array([[  3. ,  -0.1,  -0.2],
       [  0.1,   7. ,  -0.3],
       [  0.3,  -0.2,  10. ]])

Para encontrar la solución al sistema de ecuaciones, se plantea resolver:
– sustitución hacia adelante de LY=B1
– sustitución hacia atras para UX=Y

Referencia: Chapra 10.2 p287, pdf312.