3Eva_2020PAOI_T2 Modelo epidemiológico no letal

Tema 2. (35 puntos) En 1927, Kermack y McKendrick propusieron un modelo epidemiológico no letal simplificado que divide a la población total en estados de S=Susceptible, I=Infectado, R= Recuperado.

Las personas cambian de estado en un solo sentido S-I-R siguiendo la tasa de infección β y el periodo infeccioso promedio 1/γ; los recuperados adquieren inmunidad. Este modelo permite observar que pequeños aumentos de la tasa de contagio pueden dar lugar a grandes epidemias.

Susceptible Infectado Recuperado
Relación \frac{dS}{dt} = -\beta SI \frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I \frac{dR}{dt} = \gamma I
Población (t0=0) S(t0)= 1 I(t0) = 0,001 R(t0) = 0

Los valores de población se encuentran en miles, β = 1.4, γ = 4.
Suponga que el tiempo se mide en días, h = 1.

a. Plantear la solución del sistema de EDO usando Runge-Kutta de 2do Orden
b. Desarrolle el ejercicio con al menos 3 iteraciones en el tiempo
c. Estimar el error del método aplicado

Rúbrica: conoce la fórmula de RK2 (5 puntos), plantea la fórmula de RK2 al sistema (5 puntos) literal b (20 puntos), literal c (5 puntos).

Referencia: Modelo SIR https://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_SIR. Modelaje matemático de epidemias https://es.wikipedia.org/wiki/Modelaje_matem%C3%A1tico_de_epidemias

3Eva_2020PAOI_T1 Distancia mínima en trayectoria

Tema 1. (30 puntos) Calcule el punto de la curva en el plano x-y definida por la función

y = e^{-x} , x ∈ R

que se encuentra más cercano al punto(1, 1).

a. Encuentre un intervalo apropiado para aproximar este valor mediante el método de Newton.

b. Usando este método, elabore una tabla que contenga las columnas de la tabla mostrada:

i xi f(xi) Ei
0
1
2
3

donde f(x) = 0 define el problema a resolver y

Ei = |xi+1 − xi|, i≥0.

Use como criterio de parada Ei ≤ 10−7.
Para los cálculos utilice todos los decimales que muestra la calculadora.

Rúbrica: literal a (5 puntos), planteamiento del método (5 puntos). iteraciones (15 puntos), cálculo de errores (5 puntos)

Referencia: NASA: Cinco asteroides se aproximan a la Tierra; los dos primeros este fin de semana. 11 de Julio, 2020. https://www.eluniverso.com/noticias/2020/07/11/nota/7901811/nasa-asteroides-planeta-tierra

Un asteroide recién descubierto pasará este jueves muy cerca de la Tierra. 23 de septiembre, 2020. https://www.eluniverso.com/noticias/2020/09/23/nota/7987777/asteroide-recien-descubierto-pasara-este-jueves-muy-cerca-tierra

3Eva_2020PAOI_T3 EDP Parabólica

Tema 3. (35 puntos) Desarrolle con el método implícito para aproximar la solución de la EDP Parabólica

\frac{du}{dt} - c^2 \frac{d^2 u}{dx^2} = g(x)
u(x,0) = f(x) u(0,t) = 0 u(1,t) = 0
f(x) = \begin{cases} 5x , & 0 \le x \le 0.5 \\ 5(1-x) , & 0.5 \lt x \le 1\end{cases} g(x) = 2 , 0 \le x \le 1

Considere para h=0.25, k=0.05, c=1

a. Grafique la malla
b. Escriba las ecuaciones para las derivadas
c. Plantee las ecuaciones
d. Resuelva para tres pasos
e. Estime el error (solo plantear)

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5puntos), literal c (10 puntos), literal d (10 puntos), literal e (5 puntos)

3Eva_IIT2019_T4 completar polinomio de interpolación

3ra Evaluación II Término 2019-2020. 11/Febrero/2020. MATG1013

Tema 4. (25 puntos) Una función f(x) en el intervalo [0,1] está definida por el trazador cúbico natural S(x):

S_0(x) = 1 + 1.1186x + 0.6938 x^3

 0.0 ≤ x ≤ 0.4

S_1(x) = 1.4918 + 1.4516(x-0.4) + c(x-0.4)^2 +d(x-0.4)^3

0.4 ≤ x ≤ 0.6

S_2(x) = 1.8221 + 1.8848(x-0.6) + +1.3336(x-0.6)^2 - 1.1113(x-0.6)^3

0.6 ≤ x ≤ 1.0

Sin embargo, el papel donde se registraron los polinomios sufrió un percance que no permite leer algunos valores para S1(x).

a) Realice las operaciones necesarias para encontrar os valores: c, d
b) Use el método de Newton para resolver la ecuación S(x) = 1.6

Rúbrica: plantear las condiciones(10 puntos), resolver el sistema (5 puntos), literal b (10 puntos)

3Eva_IIT2019_T3 Preparación de terreno en refineria

3ra Evaluación II Término 2019-2020. 11/Febrero/2020. MATG1013

Tema 3. (25 puntos) Para valorar la preparación de terreno en una planta procesadora de Refinería, se requiere estimar el volumen de remoción.

Para una sección rectangular, se dispone de las alturas sobre el nivel del mar del terreno en una cuadrícula antes de los trabajos, siendo el nivel requerido de 220 m en toda el área.

Nivel inicio (m) 0 50 100 150 200
0 241 239 238 236 234
25 241 239 237 235 233
50 241 239 236 234 231
75 242 239 236 232 229
100 243 239 235 231 227

Usando los métodos de integración numérica determine el volumen de material para ésta actividad.

a) Determine el volumen de remoción

b) Exprese y determine el error de aproximación para el volumen

Rúbrica: literal a (15 puntos), literal b (10 puntos)

Referencias: Liquidar Refinería del Pacífico tardaría años. 27 de enero, 2020. www.eluniverso.com.
https://www.eluniverso.com/noticias/2020/01/27/nota/7710855/refineria-pacifico-liquidacion-rafael-correa-activos-ministerio
Inicia liquidación de la Refinería del Pacífico. 16-03-2019. vistazo.com.
https://www.vistazo.com/seccion/politica-nacional/inicia-liquidacion-de-la-refineria-del-pacifico

# INGRESO
nInicio = np.array([[241, 239, 238, 236, 234],
                    [241, 239, 237, 235, 233],
                    [241, 239, 236, 234, 231],
                    [242, 239, 236, 232, 229],
                    [243, 239, 235, 231, 227]])

nRequerido = 220

xi = np.array([0,50,100,150,200])
yi = np.array([0,25,50,75,100])

hx = 50
hy = 25

3Eva_IIT2019_T2 Diferenciación, valor en frontera

3ra Evaluación II Término 2019-2020. 11/Febrero/2020. MATG1013

Tema 2. (25 Puntos)) Aproxime la solución del problema de valor de frontera para la ecuación mostrada, usando diferenciación numérica con h = 1/4

y'' = -(x+1)y' + 2y + (1-x^2) e^{-x}

0 ≤ x ≤ 1
y(0) = -1
y(1) = 0

a) Plantee las derivadas en diferencias divididas
b) Formule y simplifique la ecuación de diferencias divididas para el problema para cada punto interno de la tabla
c) Presente la forma matricial del sistema de ecuaciones
d) Encuentre los valores intermedios de y(xi) en la tabla, i = 1, 2, 3
e) Estime el error

i 0 1 2 3 4
xi 0 1/4 1/2 3/4 1
yi -1 0

Rúbrica: Plantear las derivadas (5 puntos), plantear la ecuación en forma discreta (5 puntos), matriz del sistema de ecuaciones (5 puntos), estimar el error (5 puntos)

3Eva_IIT2019_T1 Lanzamiento de Cohete

3ra Evaluación II Término 2019-2020. 11/Febrero/2020. MATG1013

Tema 1. (25 Puntos)
En el lanzamiento de un cohete se midieron las alturas alcanzadas a intervalos regulares de tiempo, mostradas en la siguiente tabla:

t s 0 25 50 75 100 125
y(t) Km 0 32 58 78 92 100

Usando tres puntos, se requiere obtener el polinomio de grado 2 que describe la función de altura y(t) a partir de los datos obtenidos, usando interpolación

a) Realice la tabla de diferencias finitas
b) Plantee el polinomio de interpolación con diferencias finitas avanzadas
c) A partir del polinomio obtenido, escriba las funciones de velocidad y’(t)
y aceleración y’’(t) en cada punto de la tabla

Rúbrica: literal a (5 puntos) literal b (5 puntos), literal c (15 puntos)

Referencias: Batalla por la luna, el programa Apolo.History Latinoamérica

3Eva_IT2019_T3 Difusión en sólidos

3ra Evaluación I Término 2019-2020. 10/Septiembre/2019. MATG1013

Tema 3. (30 Puntos).  En el año 1855, los experimentos de Adolf Fick tratan sobre la medición de concentraciones y sus flujos, también ahora aplicados a la difusión en sólidos que en ese tiempo no se consideraba posible.

La gráfica muestra los cambios en el tiempo de concentración Φ de un gas en un sólido (estado no-estacionario) para un sólido semi infinito (eje y).

La segunda ley de Fick predice la forma en que la difusión causa que la concentración cambie con el tiempo. Se trata de una ecuación diferencial parcial que en una dimensión se escribe:

\frac{\partial \phi}{\partial t} = D\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^2}
Φ(0, t) = 5
Φ(L, t) = 0
Φ(x,0) = 0
D = 0.16
L =0.1

a. Plantee las ecuaciones, la malla, desarrolle y obtenga el modelo Φ(xi,tj)

b. Aproxime la solución con Δx = 0.02, Δt = Δx/100. Realice al menos tres iteraciones en el eje tiempo.

c. Estime el error de Φ(xi,tj)

Rúbrica: Construir la malla (5 puntos), plantear la ecuación en el nodo i,j (5 puntos), modelo de ecuación (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (5 puntos).

Referencia: https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Fick;
Difusión 2ª Ley de Fick|7/22|UPV (2011) https://www.youtube.com/watch?v=HHBvZDNvTic

3Eva_IT2019_T2 Integral con interpolación

3ra Evaluación I Término 2019-2020. 10/Septiembre/2019. MATG1013

Tema 2. (40 Puntos) Construya un polinomio que aproxime a

f(x) = sin(\pi x)

usando los puntos x=0, π/4, π/2 y aproxime la integral de 0 a π/2.

a. Realice la interpolación mediante el método de trazador cúbico fijo

b. Integre usando el método de cuadratura de Gauss

c. Estime el error para el ejercicio.

Rúbrica: Bosquejo de gráficas (5 puntos), literal a, planteo de fórmulas (5 puntos), calcula los parámetros (10 puntos), literal b (15 puntos), literal c (5 puntos).

3Eva_IT2019_T1 Ecuaciones simultáneas

3ra Evaluación I Término 2019-2020. 10/Septiembre/2019. MATG1013

Tema 1. (30 Puntos).  Deteremine las raíces de las ecuaciones simultáneas siguientes:

y = -x^2 +x + 0.75 y+5xy=x^3

a. Realice un bosquejo para cada ecuación
b. Use el método de Newton-Raphson con x0=1 , y0=0.75, realice 3 iteraciones
c. Estime el orden del error

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b planteo (5 puntos), iteraciones (15 puntos), literal c (5 puntos)