s1Eva_2023PAOI_T3 Recoger los restos de sumergible

ejercicio: 1Eva_2023PAOI_T3 Recoger los restos de sumergible

literal a

Para realizar el planteamiento del ejercicio, se realiza la gráfica para observar mejor los puntos.

recorrido de polinomio

Se podría observar los puntos y plantear un primer recorrido como el siguiente

Rov Sumergible Polinomio01a

los puntos corresponden a los índices j = [0 ,2, 5, 6, 11]:

# INGRESO
xj = np.array([0.2478, 0.6316, 1.3802, 2.4744, 2.7351, 2.8008,
               3.5830, 3.6627, 3.7213, 4.2796, 4.3757, 4.6794])
fj = np.array([1.8108, 0.1993, 4.7199, 2.4529, 2.3644, 3.5955,
               2.6558, 4.3657, 4.1932, 4.6998, 4.7536, 1.5673])

# selecionando puntos
j = [0, 2, 5, 6, 11]
xi = xj[j]
fi = fj[j]

literal b

Partiendo del algoritmo de Diferencias divididas de Newton, y añadiendo vectores xj y fj para todos los puntos dados en el ejercicio.

Tabla Diferencia Dividida
[['i   ', 'xi  ', 'fi  ', 'F[1]', 'F[2]', 'F[3]', 'F[4]', 'F[5]']]
[[ 0.      0.2478  1.8108  2.569  -1.3163  0.3389 -0.0561  0.    ]
 [ 1.      1.3802  4.7199 -0.7915 -0.1861  0.09    0.      0.    ]
 [ 2.      2.8008  3.5955 -1.2014  0.111   0.      0.      0.    ]
 [ 3.      3.583   2.6558 -0.9928  0.      0.      0.      0.    ]
 [ 4.      4.6794  1.5673  0.      0.      0.      0.      0.    ]]
dDividida: 
[ 2.569  -1.3163  0.3389 -0.0561  0.    ]
polinomio: 
2.56896856234546*x - 0.0561488275125463*(x - 3.583)*(x - 2.8008)*(x - 1.3802)*(x - 0.2478) 
+ 0.338875729488637*(x - 2.8008)*(x - 1.3802)*(x - 0.2478) 
- 1.31628089036375*(x - 1.3802)*(x - 0.2478) + 1.17420959025079
polinomio simplificado: 
-0.0561488275125463*x**4 + 0.788728905753656*x**3 
- 3.98331084054791*x**2 + 7.41286537452727*x 
+ 0.206696844067185
>>>

usando la tabla de diferencias divididas se plantea la expresión para el polinomio:

p(x) = 1.8108 + 2.569 (x-0.2478) + + (-1.3163)(x-0.2478)(x-1.3802) + + 0.3389 (x-0.2478)(x-1.3802)(x-2.8008) + + (-0.0561)(x-0.2478)(x-1.3802)(x-2.8008)(x-3.583)

el algoritmo simplifica la expresión al siguiente polinomio,

p(x) = -0.0561 x^4 + 0.7887 x^3 - 3.9833 x^2 + 7.4128 x + 0.2066

literal c

Se usa el algoritmo Interpolación polinómica de Lagrange con Python para desarrollar el polinomio a partir de los puntos no usados en el literal anterior.

j = [3,4,7,8,9,10]

Para evitar oscilaciones grandes, se excluye el punto con índice 1, y se obtiene una opción mostrada:

Rov Sumergible Polinomio 02a

con el siguiente resultado:

    valores de fi:  [2.4529 2.3644 4.3657 4.1932 4.6998 4.7536]
divisores en L(i):  [-1.32578996  0.60430667 -0.02841115  0.02632723 -0.09228243  0.13986517]

Polinomio de Lagrange, expresiones
-1.85014223337671*(x - 4.3757)*(x - 4.2796)*(x - 3.7213)*(x - 3.6627)*(x - 2.7351) 
+ 3.9125829809921*(x - 4.3757)*(x - 4.2796)*(x - 3.7213)*(x - 3.6627)*(x - 2.4744) 
- 153.661523787291*(x - 4.3757)*(x - 4.2796)*(x - 3.7213)*(x - 2.7351)*(x - 2.4744) 
+ 159.272361555669*(x - 4.3757)*(x - 4.2796)*(x - 3.6627)*(x - 2.7351)*(x - 2.4744) 
- 50.928437685792*(x - 4.3757)*(x - 3.7213)*(x - 3.6627)*(x - 2.7351)*(x - 2.4744) 
+ 33.9870187307222*(x - 4.2796)*(x - 3.7213)*(x - 3.6627)*(x - 2.7351)*(x - 2.4744)

Polinomio de Lagrange: 
-9.26814043907703*x**5 + 163.708008152209*x**4 
- 1143.16428460497*x**3 + 3941.13583467614*x**2 
- 6701.74628786718*x + 4496.64364271972
>>> 

Para presentar la parte analítica puede seleccionar menos puntos, se busca mostrar la aplicación del algoritmo, no necesariamente cuan largo puede ser.

p(x) = + 2.4529\frac{(x - 4.3757)(x - 4.2796)(x - 3.7213)(x - 3.6627)(x - 2.7351) }{(2.4744 - 4.3757)(2.4744 - 4.2796)(2.4744 - 3.7213)(2.4744 - 3.6627)(2.4744 - 2.7351)} + 2.3644\frac{ (x - 4.3757)(x - 4.2796)(x - 3.7213)(x - 3.6627)(x - 2.4744) }{(2.7351 - 4.3757)(2.7351 - 4.2796)(2.7351 - 3.7213)(2.7351 - 3.6627)(2.7351 - 2.4744)} +4.3657\frac{(x - 4.3757)(x - 4.2796)(x - 3.7213)(x - 2.7351)(x - 2.4744) }{(3.6627 - 4.3757)(3.6627 - 4.2796)(3.6627 - 3.7213)(3.6627 - 2.7351)(3.6627 - 2.4744)} + 4.1932 \frac{(x - 4.3757)(x - 4.2796)(x - 3.6627)(x - 2.7351)(x - 2.4744) }{(3.7213 - 4.3757)(3.7213 - 4.2796)(3.7213 - 3.6627)(3.7213 - 2.7351)(3.7213 - 2.4744)} +4.6998\frac{(x - 4.3757)(x - 3.7213)(x - 3.6627)(x - 2.7351)(x - 2.4744) }{(4.2796 - 4.3757)(4.2796 - 3.7213)(4.2796 - 3.6627)(4.2796 - 2.7351)(4.2796 - 2.4744)} + 4.7536 \frac{(x - 4.2796)(x - 3.7213)(x - 3.6627)(x - 2.7351)(x - 2.4744)}{(4.3757 - 4.2796)(4.3757 - 3.7213)(4.3757 - 3.6627)(4.3757 - 2.7351)(4.3757 - 2.4744)}

literal d

las gráficas se han presentado en el planteamiento para justificar los criterios usados.

literal e

Los errores de encuentran como la diferencia de los puntos no usados en el polinomio, y evaluando el polinomio en cada coordenada x.

Como las propuestas de polinomio pueden ser variadas se obtendrán diferentes respuestas para cada literal.

Se revisa la aplicación de conceptos en las propuestas.

 

Algoritmos usados

literal b. Diferencias divididas de Newton

# 1Eva_2023PAOI_T3 Recoger los restos de sumergible
# Polinomio interpolación
# Diferencias Divididas de Newton
# Tarea: Verificar tamaño de vectores,
#        verificar puntos equidistantes en x
import numpy as np
import sympy as sym
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
xj = np.array([0.2478, 0.6316, 1.3802, 2.4744, 2.7351, 2.8008,
               3.5830, 3.6627, 3.7213, 4.2796, 4.3757, 4.6794])
fj = np.array([1.8108, 0.1993, 4.7199, 2.4529, 2.3644, 3.5955,
               2.6558, 4.3657, 4.1932, 4.6998, 4.7536, 1.5673])

# selecionando puntos
j = [0, 2, 5, 6, 11]
xi = xj[j]
fi = fj[j]


# PROCEDIMIENTO

# Tabla de Diferencias Divididas Avanzadas
titulo = ['i   ','xi  ','fi  ']
n = len(xi)
ki = np.arange(0,n,1)
tabla = np.concatenate(([ki],[xi],[fi]),axis=0)
tabla = np.transpose(tabla)

# diferencias divididas vacia
dfinita = np.zeros(shape=(n,n),dtype=float)
tabla = np.concatenate((tabla,dfinita), axis=1)

# Calcula tabla, inicia en columna 3
[n,m] = np.shape(tabla)
diagonal = n-1
j = 3
while (j < m):
    # Añade título para cada columna
    titulo.append('F['+str(j-2)+']')

    # cada fila de columna
    i = 0
    paso = j-2 # inicia en 1
    while (i < diagonal):
        denominador = (xi[i+paso]-xi[i])
        numerador = tabla[i+1,j-1]-tabla[i,j-1]
        tabla[i,j] = numerador/denominador
        i = i+1
    diagonal = diagonal - 1
    j = j+1

# POLINOMIO con diferencias Divididas
# caso: puntos equidistantes en eje x
dDividida = tabla[0,3:]
n = len(dfinita)

# expresión del polinomio con Sympy
x = sym.Symbol('x')
polinomio = fi[0]
for j in range(1,n,1):
    factor = dDividida[j-1]
    termino = 1
    for k in range(0,j,1):
        termino = termino*(x-xi[k])
    polinomio = polinomio + termino*factor

# simplifica multiplicando entre (x-xi)
polisimple = polinomio.expand()

# polinomio para evaluacion numérica
px = sym.lambdify(x,polisimple)

# Puntos para la gráfica
muestras = 101
a = np.min(xi)
b = np.max(xi)
pxi = np.linspace(a,b,muestras)
pfi = px(pxi)

# SALIDA
np.set_printoptions(precision = 4)
print('Tabla Diferencia Dividida')
print([titulo])
print(tabla)
print('dDividida: ')
print(dDividida)
print('polinomio: ')
print(polinomio)
print('polinomio simplificado: ' )
print(polisimple)

# Gráfica
plt.plot(xj,fj,'o',color='red')
plt.plot(xi,fi,'o', label = 'Puntos')
##for i in range(0,n,1):
##    plt.axvline(xi[i],ls='--', color='yellow')

plt.plot(pxi,pfi, label = 'Polinomio')
plt.legend()
plt.grid()
plt.xlabel('xi')
plt.ylabel('fi')
plt.title('Diferencias Divididas - Newton')
plt.show()

literal c. Polinomio de Lagrange

# 1Eva_2023PAOI_T3 Recoger los restos de sumergible
# Interpolacion de Lagrange
# divisoresL solo para mostrar valores
import numpy as np
import sympy as sym
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO , Datos de prueba
xj = np.array([0.2478, 0.6316, 1.3802, 2.4744, 2.7351, 2.8008,
               3.5830, 3.6627, 3.7213, 4.2796, 4.3757, 4.6794])
fj = np.array([1.8108, 0.1993, 4.7199, 2.4529, 2.3644, 3.5955,
               2.6558, 4.3657, 4.1932, 4.6998, 4.7536, 1.5673])

# selecionando puntos
#j = [0, 2, 5, 6, 11]
j = [3,4,7,8,9,10]
xi = xj[j]
fi = fj[j]

# PROCEDIMIENTO
# Polinomio de Lagrange
n = len(xi)
x = sym.Symbol('x')
polinomio = 0
divisorL = np.zeros(n, dtype = float)
for i in range(0,n,1):
    
    # Termino de Lagrange
    numerador = 1
    denominador = 1
    for j  in range(0,n,1):
        if (j!=i):
            numerador = numerador*(x-xi[j])
            denominador = denominador*(xi[i]-xi[j])
    terminoLi = numerador/denominador

    polinomio = polinomio + terminoLi*fi[i]
    divisorL[i] = denominador

# simplifica el polinomio
polisimple = polinomio.expand()

# para evaluación numérica
px = sym.lambdify(x,polisimple)

# Puntos para la gráfica
muestras = 101
a = np.min(xi)
b = np.max(xi)
pxi = np.linspace(a,b,muestras)
pfi = px(pxi)

# SALIDA
print('    valores de fi: ',fi)
print('divisores en L(i): ',divisorL)
print()
print('Polinomio de Lagrange, expresiones')
print(polinomio)
print()
print('Polinomio de Lagrange: ')
print(polisimple)

# Gráfica
plt.plot(xj,fj,'o',color='red')
plt.plot(xi,fi,'o', label = 'Puntos')
plt.plot(pxi,pfi, label = 'Polinomio')
plt.legend()
plt.grid()
plt.xlabel('xi')
plt.ylabel('fi')
plt.title('Interpolación Lagrange')
plt.show()

 

s1Eva_2023PAOI_T2 Productos en combo por subida de precio

Ejercicio: 1Eva_2023PAOI_T2 Productos en combo por subida de precio

literal a

Para el ejercicio solo es posible plantear tres ecuaciones, se muestran datos solo para tres semanas. Se tienen 4 incógnitas, por lo que tendría infinitas soluciones y no se podría resolver.

500 a + 600 b + 400 c + 90 d = 1660 800 a + 450 b + 300 c + 100 d = 1825 400 a + 300 b + 600 c + 80 d = 1430

Sin embargo desde el punto de vista práctico se puede usar una variable libre, considerando algunos criterios como:

– que en la nota se da el precio para la docena de huevos a 2.5 USD
– que la variable para huevos es la de menor cantidad se puede incurrir en un menor error si el precio ha variado en los últimos días respecto a lo que se podría haber tenido como referencia.

500 a + 600 b + 400 c = 1660 - 90 d 800 a + 450 b + 300 c = 1825 - 100 d 400 a + 300 b + 600 c = 1430 - 80 d

que al sustituir con d = 2.5

500 a + 600 b + 400 c = 1660 - 90 (2.5) =1435 800 a + 450 b + 300 c = 1825 - 100 (2.5) = 1575 400 a + 300 b + 600 c = 1430 - 80 (2.5) = 1230

Nota: el estudiante puede realizar una justificación diferente para el uso de otra variable libre.

literal b

La forma matricial del sistema de ecuaciones se convierte a:

\begin{pmatrix} 500 & 600 & 400 & \Big| & 1435 \\ 800 & 450 & 300 & \Big| & 1575 \\ 400 & 300 & 600 &\Big| & 1230 \end{pmatrix}

literal c

pivoteando la matriz aumentada, se encuentra que para la primera columna se pivotean la fila 1 y 2, por ser 800 el valor de mayor magnitud:

\begin{pmatrix} 800 & 450 & 300 & \Big| & 1575 \\ 500 & 600 & 400 & \Big| & 1435 \\ 400 & 300 & 600 &\Big| & 1230 \end{pmatrix}

luego, observando la segunda columna desde el elemento de la diagonal hacia abajo, se observa que el mayor valor en magnitud ya se encuentra en la diagonal. No se requieren intercambios de fila para la tercera columna.

literal d

Para el método iterativo de Gauss-Seidel se requiere el vector inicial, tomando las observaciones de la nota. Se da un precio de 50 USD por un quintal métrico de 100Kg, por lo que se estima que el precio por kilogramo ronda 50/100= 0.5 USD. Se indica además que los demás valores se encuentran en el mismo orden de magnitud, por lo que se tiene como vector inicial

X0 = [0.5, 0.5, 0.5]

Para un método iterativo se despejan las ecuaciones como:

a = \frac {1575 - 450 b - 300 c}{800} b = \frac {1435 -500 a - 400 c}{600} c = \frac {1230 - 400 a - 300 b}{600}

Para el cálculo del error se considera que se busca un precio, lo regular es considerar el centavo, es decir una tolerancia 10-2. Para el desarrollo se considera usar cuatro decimales por si se considera truncar o redondear.

itera = 0

a = \frac {1575 - 450 (0.5) - 300 (0.5)}{800} = 1.5 b = \frac {1435 -500(1.5) - 400 (0.5)}{600} = 0.8083 c = \frac {1230 - 400(1.5) - 300 (0.8083)}{600} =0.6458

errado = max|[1.5-0.5, 0.8083-0.5, 0.6458-0.5]|
errado = max|[1, 0.3083, 0.1458]| = 1

itera = 1

X1 = [1.5, 0.8083, 0.6458]

a = \frac {1575 - 450 (0.8083) - 300 (0.6458)}{800} = 1.2719 b = \frac {1435 -500(1.2719) - 400 (0.6458)}{600} = 0.9012 c = \frac {1230 - 400 (1.2719) - 300 (0.9012)}{600} = 0.7514

errado = max|[1.2719-1.5, 0.9012-0.8083, 0.7514-0.6458]|
errado = max|[-0.2281, 0.0929, 0.1056]| = 0.2281

el error disminuye entre iteraciones.

itera = 2

X2 = [1.2719 , 0.9012, 0.7514]

a = \frac {1575 - 450 (0.9012) - 300 (0.7514)}{800} = 1.1805 b = \frac {1435 -500 (1.1805) - 400 (0.7514)}{600} = 0.9069 c = \frac {1230 - 400 (1.1805) - 300 (0.9069)}{600} = 0.8095

errado = max|[ 1.1805-1.2719 , 0.9069-0.9012, 0.8095-0.7514]|
errado = max|[-0.0914, 0.0057, 0.1056]| = 0.1056

el error disminuye entre iteraciones.

literal e

Si el error entre iteraciones disminuye, se considera que el método converge.

usando el algoritmo Método de Gauss-Seidel con Python, se tiene como resultado en 13 iteraciones:

[1.5        0.80833333 0.64583333] 1.0
[1.271875   0.90121528 0.75147569] 0.2281249999999999
[1.18001302 0.90733869 0.80965531] 0.09186197916666661
[1.15475125 0.88960375 0.83536396] 0.025708648304880177
[1.1550864  0.87218536 0.84384972] 0.01741839593330019
[1.16170209 0.86101511 0.84502438] 0.011170246538965367
[1.16754486 0.85536303 0.84395525] 0.005842764350612484
[1.17112508 0.85309227 0.84270381] 0.0035802211655899807
[1.17287167 0.85247107 0.84185002] 0.0017465903731879173
[1.17354127 0.85248226 0.84139802] 0.0006695985845832642
[1.17370447 0.85264759 0.84120656] 0.00019146597344232852
[1.17368327 0.8527929  0.84114804] 0.00014530950399282982
[1.17362348 0.85288174 0.84114348] 8.884049018109685e-05
respuesta X: 
[[1.17362348]
 [0.85288174]
 [0.84114348]]
verificar A.X=B: 
[[1575.03861029]
 [1434.99817609]
 [1230.        ]]
iteraciones 13
>>> 

instrucciones en Python

Se debe recordar que las matrices y vectores deben ser tipo real (float) .

# Método de Gauss-Seidel
# solución de sistemas de ecuaciones
# por métodos iterativos

import numpy as np

# INGRESO
A = np.array([[800, 450, 300],
              [500, 600, 400],
              [400, 300, 600]], dtype=float)

B = np.array([1575, 1435,1230], dtype=float)

X0  = np.array([0.5,0.5,0.5])

tolera = 0.0001
iteramax = 100

# PROCEDIMIENTO

# Gauss-Seidel
tamano = np.shape(A)
n = tamano[0]
m = tamano[1]
#  valores iniciales
X = np.copy(X0)
diferencia = np.ones(n, dtype=float)
errado = 2*tolera

itera = 0
while not(errado<=tolera or itera>iteramax):
    # por fila
    for i in range(0,n,1):
        # por columna
        suma = 0 
        for j in range(0,m,1):
            # excepto diagonal de A
            if (i!=j): 
                suma = suma-A[i,j]*X[j]
        
        nuevo = (B[i]+suma)/A[i,i]
        diferencia[i] = np.abs(nuevo-X[i])
        X[i] = nuevo
    errado = np.max(diferencia)
    print(X,errado)
    itera = itera + 1

# Respuesta X en columna
X = np.transpose([X])

# revisa si NO converge
if (itera>iteramax):
    X=0
# revisa respuesta
verifica = np.dot(A,X)

# SALIDA
print('respuesta X: ')
print(X)
print('verificar A.X=B: ')
print(verifica)
print('iteraciones',itera)

s1Eva_2022PAOII_T3 Trayectoria de dron con polinomios

Ejercicio: 1Eva_2022PAOII_T3 Trayectoria de dron con polinomios

La variable independiente para la trayectoria es tiempo, con datos en el vector de ti.

ti  = [0, 1, 2, 3, 4]
xti = [2, 1, 3, 4, 2]
yti = [0, 1, 5, 1, 0]

Considerando que los puntos marcan posiciones por donde debe pasar el dron y se define la trayectoria, se usarán todos los puntos. Cada polinomio será de grado 4 al incluir los 5 puntos disponibles para cada eje.

Nota: podría usar polinomios de menor grado, siempre que considere que se debe completar la trayectoria y regresar al punto de salida.

px(t) = 2\frac{(t-1)(t-2)(t-3)(t-4)}{(0-1)(0-2)(0-3)(0-4)} + 1 \frac{(t-0)(t-2)(t-3)(t-4)}{(1-0)(1-2)(1-3)(1-4)} + 3 \frac{(t-0)(t-1)(t-3)(t-4)}{(2-0)(2-1)(2-3)(2-4)} + 4 \frac{(t-0)(t-1)(t-2)(t-4)}{(3-0)(3-1)(3-2)(3-4)} + 2 \frac{(t-0)(t-1)(t-2)(t-3)}{(4-0)(4-1)(4-2)(4-3)}

simplificando con el algoritmo:

px(t) = \frac{1}{12}t^4 - \frac{7}{6}t^3 + \frac{53}{12}t^2 - \frac{13}{3}t + 2

Realizando lo mismo con el algoritmo para polinomio de Lagrange se obtiene:

py(t) = \frac{11}{12}t^4 - \frac{22}{3}t^3 + \frac{205}{12}t^2 - \frac{29}{3}t

se muestra la gráfica de trayectorias por cada eje vs tiempo

Observaciones: La trayectoria usada tiene el mismo punto de salida como de retorno. La trayectoria presenta lóbulos que podrían ser reducidos y minimizar uso de recursos como bateria. Considere usar trazadores cúbicos y observe la misma gráfica de trayectorias x(t) vs y(t).

Resultado con el algoritmo:

Polinomio de Lagrange x: 
x**4/12 - 7*x**3/6 + 53*x**2/12 - 13*x/3 + 2
Polinomio de Lagrange y: 
11*x**4/12 - 22*x**3/3 + 205*x**2/12 - 29*x/3

Algoritmo en Python

# Interpolacion de Lagrange
# divisoresL solo para mostrar valores
import numpy as np
import sympy as sym
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO , Datos de prueba
ti  = [0,1,2,3,4]
xti = [2,1,3,4,2]
yti = [0,1,5,1,0]

# PROCEDIMIENTO
x = sym.Symbol('x')

def interpola_lagrange(xi,yi):
    '''
    Interpolación con método de Lagrange
    resultado: polinomio en forma simbólica
    '''
    # PROCEDIMIENTO
    n = len(xi)
    x = sym.Symbol('x')
    # Polinomio
    polinomio = 0
    for i in range(0,n,1):
        # Termino de Lagrange
        termino = 1
        for j  in range(0,n,1):
            if (j!=i):
                termino = termino*(x-xi[j])/(xi[i]-xi[j])
        polinomio = polinomio + termino*yi[i]
    # Expande el polinomio
    polinomio = polinomio.expand()
    return(polinomio)

# para ejex
polinomiox = interpola_lagrange(ti,xti)
polisimplex = polinomiox.expand()
px = sym.lambdify(x,polisimplex)

# para ejey
polinomioy = interpola_lagrange(ti,yti)
polisimpley = polinomioy.expand()
py = sym.lambdify(x,polisimpley)

# Puntos para la gráfica
muestras = 101
a = np.min(ti)
b = np.max(ti)
ti = np.linspace(a,b,muestras)
pxi = px(ti)
pyi = py(ti)

# SALIDA
print('Polinomio de Lagrange x: ')
print(polisimplex)
print('Polinomio de Lagrange y: ')
print(polisimpley)

# Gráfica
figura, enplano = plt.subplots()
plt.scatter(xti,yti, color='red')
plt.plot(pxi,pyi)
plt.ylabel('y(t)')
plt.xlabel('x(t)')
plt.title('trayectoria 2D')
plt.grid()

figura, entiempo = plt.subplots()
plt.plot(ti,pxi, label = 'px')
plt.plot(ti,pyi, label = 'py')
plt.legend()
plt.title('posicion en tiempo')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('p(t)')
plt.grid()

plt.show()

s1Eva_2022PAOII_T2 Admisión universitaria – cupos por recursos

Ejercicios: 1Eva_2022PAOII_T2 Admisión universitaria – cupos por recursos

Se requiere determinar la distribución de cupos en base a los costos relativos al promedio por estudiante para docencia, infraestructura y servicios mostrados en la tabla.

Costo referencial /carrera Mecatrónica Computación Civil Matemáticas
Docencia 1.5 0.9 0.6 0.7
Infraestructura 0.8 1.4 0.4 0.5
Servicios 0.45 0.55 1.1 0.5

Con los datos del total de recursos relativos al promedio por estudiante disponibles son docencia 271, infraestructura 250 y servicios 230.

1.5 a + 0.9 b + 0.6 c + 0.7 d = 271 0.8 a + 1.4 b + 0.4 c + 0.5 d = 250 0.45 a + 0.55 b + 1.1 c + 0.5 d = 230

se indica que en carreras como matemáticas de baja demanda, se establece el cupo de 10,

1.5 a + 0.9 b + 0.6 c + 0.7 (10) = 271 0.8 a + 1.4 b + 0.4 c + 0.5(10) = 250 0.45 a + 0.55 b + 1.1 c + 0.5(10) = 230

el sistema se convierte en:

1.5 a + 0.9 b + 0.6 c = 271 - 0.7 (10) 0.8 a + 1.4 b + 0.4 c = 250 - 0.5(10) 0.45 a + 0.55 b + 1.1 c = 230 - 0.5(10)

Para usar un método iterativo se convierte a matriz aumentada:

\begin{pmatrix} 1.5 & 0.9 & 0.6 & \Big| & 264 \\ 0.8 & 1.4 & 0.4 & \Big| & 245 \\ 0.45 & 0.55 & 1.1 &\Big| & 225 \end{pmatrix}

con pivoteo parcial por filas, la matriz aumentada se mantiene igual, pues los valores de la diagonal ya son los mayores posibles según el algoritmo.

Para un método iterativo se despeja una ecuación por cada incógnita.

a = \frac{1}{1.5}(264 - 0.9 b - 0.6 c) b = \frac{1}{1.4}(245 - 0.8 a - 0.4 c) c = \frac{}{1.1}(225 -0.45 a - 0.55 b)

Para los valores iniciales se consideran números mayores que cero, pues existen recursos para los cupos. No se admiten cupos negativos.

X_0 = [50,50,50]

Las iteraciones para el método iterativo de Gauss-Seidel

itera = 0

a = \frac{1}{1.5}(264 - 0.9 (50) - 0.6 (50)) = 126 b = \frac{1}{1.4}(245 - 0.8 (126) - 0.4 (50)) = 88.714 c = \frac{}{1.1}(225 -0.45 (126) - 0.55 (88.714)) =108.642 diferencia = [126-50, 88.714-50, 108.42-50] diferencia = [76, 38.714, 58.642] errado = max|[76, 38.714, 58.642]| =76 X = [126, 88.714, 108.42]

itera = 1

a = \frac{1}{1.5}(264 - 0.9 (88.714) - 0.6 (108.42)) = 79.314 b = \frac{1}{1.4}(245 - 0.8 (79.314) - 0.4 (108.42)) = 98.637 c = \frac{}{1.1}(225 -0.45 (79.314) - 0.55 (98.637)) =122.780 diferencia = [79.314-126, 88, 98.637-88.714, 122.780-108.42] diferencia = [46.685,9.922, 14.137] errado = max| [46.685,9.922, 14.137] | = 46.685

el error disminuye en la iteración

X = [79.314 , 98.637, 122.780]

itera = 2

a = \frac{1}{1.5}(264 - 0.9 (79.314) - 0.6 (122.780)) = 67.705 b = \frac{1}{1.4}(245 - 0.8 (67.705) - 0.4 (122.780)) = 101.230 c = \frac{}{1.1}(225 -0.45 (67.705) - 0.55 (101.230)) =126.232 diferencia = [67.705-79.314, 101.230-98.637, 126.232-122.780] diferencia = [-11.608, 2.594, 3.451] errado = max| [-11.608, 2.594, 3.451] | = 11.608

el error disminuye en la iteración, se considera que el método converge

X = [67.705 , 101.230, 126.232]

con el algoritmo se tiene como resultado:

[126.          88.71428571 108.64285714]
[76.         38.71428571 58.64285714]

[ 79.31428571  98.63673469 122.78033395]
[46.68571429  9.92244898 14.13747681]

[ 67.7058256  101.23086138 126.23218611]
[11.60846011  2.59412669  3.45185216]

[ 64.76860873 101.92302755 127.08769174]
[2.93721688 0.69216617 0.85550564]

[ 64.01110677 102.11145563 127.30336487]
[0.75750196 0.18842808 0.21567312]

[ 63.81178067 102.16373537 127.3587675 ]
[0.1993261  0.05227973 0.05540263]

[ 63.75825178 102.17849398 127.37328637]
[0.05352889 0.01475862 0.01451887]

[ 63.74358906 102.18272443 127.37716953]
[0.01466272 0.00423045 0.00388316]

[ 63.73949753 102.18395297 127.37822907]
[0.00409153 0.00122854 0.00105954]

[ 63.73833659 102.18431364 127.37852366]
[0.00116094 0.00036067 0.0002946 ]

[ 63.73800235 102.18442047 127.37860699]
[3.34240232e-04 1.06824300e-04 8.33224905e-05]

respuesta X: 
[[ 63.73800235]
 [102.18442047]
 [127.37860699]]
verificar A.X=B: 
[[264.00014614]
 [245.00003333]
 [225.        ]]
>>>

se interpreta la respuesta como la parte entera de la solución:

cupos = [ 63, 102 , 127]

s1Eva_2022PAOI_T3 Interpolar crecimiento de contagios

Ejercicio: 1Eva_2022PAOI_T3 Interpolar crecimiento de contagios

Día del mes 1 8 15 22
Contagios 1 5.6 27 43.5

a) Realice el planteamiento del sistema de ecuaciones que se usaría usando el método de interpolación polinómica.

El modelo de polinomio de grado máximo que se puede obtener es grado 3:

p_3(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3

por lo que usando los valores de los puntos dados en la tabla:

p_3(1) = a_0 + a_1 (1) + a_2 (1)^2 + a_3 (1)^3 = 1 p_3(8) = a_0 + a_1 (8) + a_2 (8)^2 + a_3 (8)^3 = 5.6 p_3(15) = a_0 + a_1 (15) + a_2 (15)^2 + a_3 (15)^3 = 27 p_3(22) = a_0 + a_1 (22) + a_2 (22)^2 + a_3 (22)^3 = 43.5

b) Realice el planteamiento del sistema de ecuaciones en su forma matricial y muestre la matriz aumentada.

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1^2 & 1^2\\ 1 & 8 & 8^2 & 8^3 \\ 1 & 15 & 15^2 & 15^3 \\ 1 & 22 & 22^2 & 22^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 56 \\ 27 \\43.5 \end{pmatrix}

matriz aumentada,

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1^2 & 1^2 & 1 \\ 1 & 8 & 8^2 & 8^3 & 56 \\ 1 & 15 & 15^2 & 15^3 & 27\\ 1 & 22 & 22^2 & 22^3 & 43.5\end{pmatrix}

c) Desarrolle el pivoteo parcial por filas, indicando las operaciones realizadas en éste proceso

pivoteo parcial por filas

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1^2 & 1^2 & 1 \\ 1 & 22 & 22^2 & 22^3 & 43.5 \\ 1 & 15 & 15^2 & 15^3 & 27 \\ 1 & 8 & 8^2 & 8^3 & 56\end{pmatrix}

d) Usando el método directo de Gauss-Jordan, muestre las expresiones necesarias para el algoritmo.

eliminación hacia adelante

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1^2 & 1^2 & 1 \\ 1-1 & 22-1 & 22^2-1^2 & 22^3 -1^3& 43.5 - 1\\ 1-1 & 15-1 & 15^2 -1^2& 15^3 -1^3& 27 -1\\ 1-1 & 8-1 & 8^2 -1^2& 8^3 -1^3& 56-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 21 & 483 & 10647& 42.5 \\ 0 & 14 & 224 & 3376& 26\\ 0 & 7 & 63& 511 & 55\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 21 & 483 & 10647& 42.5 \\ 0 & 14-\frac{14}{21} 21 & 224-\frac{14}{21}483& 3376 -\frac{14}{21}10647& 26-\frac{14}{21}42.5\\ 0 & 7-\frac{7}{21}21 & 63-\frac{7}{21}483& 511-\frac{7}{21}10647 & 55-\frac{7}{21}42.5\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 21 & 483 & 10647& 42.5 \\ 0 & 0 &-98 & -3722& -2.33 \\ 0 & 0 & -98 & -3038 & 40.83 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 21 & 483 & 10647& 42.5 \\ 0 & 0 &-98 & -3722& -2.33 \\ 0 & 0 & -98-\frac{98}{-98}98 & -3038 -\frac{98}{-98}3722& 40.83 -\frac{98}{-98}(-2.33)\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 21 & 483 & 10647& 42.5 \\ 0 & 0 &-98 & -3722& -2.33 \\ 0 & 0 & 0 & 686 & -7.23\end{pmatrix}

realizando el proceso de eliminación hacia atrás, semejante al método anterior se obtiene

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 2.98\\ 0 & 1 & 0 & 0& -2.39 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0.424 \\ 0 & 0 & 0 &1 & -0.0105\end{pmatrix}

con lo que el vector resultado es:

X= [2.98, -2.39, 0.42, -0.0105]

El polinomio de interpolación resultante es:

p(t)= 2.98 -2.39 t + 0.42 t^2 -0.0105 t^3

e) Para el día 19 se encuentra que el valor correspondiente a contagios es de 37%. Estime el error presentado del modelo para ese día.

p(19)= 2.98 -2.39 (19) + 0.42 (19)^2 -0.0105 (19)^3 = 38.42 error = |38.42-37| = 1.42

f) Desarrolle el ejercicio usando otro método para encontrar el polinomio de interpolación.

usando diferencias finitas

Tabla Diferencia Finita
[['i', 'xi', 'fi', 'df1', 'df2', 'df3', 'df4']]
[[  0.    1.    1.    4.6  16.8 -21.7   0. ]
 [  1.    8.    5.6  21.4  -4.9   0.    0. ]
 [  2.   15.   27.   16.5   0.    0.    0. ]
 [  3.   22.   43.5   0.    0.    0.    0. ]]

polinomio:

p(t) = 1+\frac{4.6}{1! (7)}(t-1) + + \frac{16.8}{2!(7^2)}(t-1)(t-8) + +\frac{-21.7}{3!(7^3}(t-1)(t-8)(t-15)

Algoritmo en Python

Para literal f

# Polinomio interpolación
# Diferencias finitas avanzadas
# Tarea: Verificar tamaño de vectores,
#        verificar puntos equidistantes en x

import numpy as np
import sympy as sym
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO , Datos de prueba
xi = np.array([1,8,15,22],dtype=float)
fi = np.array([1,5.6,27,43.5],dtype=float)

# PROCEDIMIENTO

# Tabla de Diferencias Finitas
titulo = ['i','xi','fi']
n = len(xi)
ki = np.arange(0,n,1)
tabla = np.concatenate(([ki],[xi],[fi]),axis=0)
tabla = np.transpose(tabla)

# diferencias finitas vacia
dfinita = np.zeros(shape=(n,n),dtype=float)
tabla = np.concatenate((tabla,dfinita), axis=1)

# Calcula tabla, inicia en columna 3
[n,m] = np.shape(tabla)
diagonal = n-1
j = 3
while (j < m):
    # Añade título para cada columna
    titulo.append('df'+str(j-2))
    # cada fila de columna
    i = 0
    while (i < diagonal):
        tabla[i,j] = tabla[i+1,j-1]-tabla[i,j-1]
        i = i+1
    diagonal = diagonal - 1
    j = j+1

# POLINOMIO con diferencias Finitas avanzadas
# caso: puntos equidistantes en eje x
h = xi[1] - xi[0]
dfinita = tabla[0,3:]
n = len(dfinita)

# expresión del polinomio con Sympy
x = sym.Symbol('x')
polinomio = fi[0]
for j in range(1,n,1):
    denominador = np.math.factorial(j)*(h**j)
    factor = dfinita[j-1]/denominador
    termino = 1
    for k in range(0,j,1):
        termino = termino*(x-xi[k])
    polinomio = polinomio + termino*factor

# simplifica multiplicando entre (x-xi)
polisimple = polinomio.expand()

# polinomio para evaluacion numérica
px = sym.lambdify(x,polisimple)

# Puntos para la gráfica
muestras = 101
a = np.min(xi)
b = np.max(xi)
pxi = np.linspace(a,b,muestras)
pfi = px(pxi)

# SALIDA
print('Tabla Diferencia Finita')
print([titulo])
print(tabla)
print('dfinita: ')
print(dfinita)
print('polinomio: ')
print(polinomio)
print('polinomio simplificado: ' )
print(polisimple)

# Gráfica
plt.plot(xi,fi,'o', label = 'Puntos')
##for i in range(0,n,1):
##    plt.axvline(xi[i],ls='--', color='yellow')
plt.plot(pxi,pfi, label = 'Polinomio')

plt.legend()
plt.xlabel('xi')
plt.ylabel('fi')
plt.title('Interpolación polinómica')
plt.show()

s1Eva_2022PAOI_T2 Capacidad de alimentos para pacientes internos

Ejercicio: 1Eva_2022PAOI_T2 Capacidad de alimentos para pacientes internos

a) Realice el planteamiento del sistema de ecuaciones que permita determinar la cantidad máxima de pacientes de cada grupo que podrían ser atendidos usando todos los productos disponibles. Una vez planteadas las ecuaciones, se le indica que la capacidad de atención para emergencia sea fija en K = 10 pacientes (variable libre).

Producto\ Paciente Maternidad Pos – operatorio Covid_19 emergencia Suministro diario
Producto A 0.2 0.1 1.7 0.25 135
Producto B 0.5 2 0.05 0.4 320
Producto C 1.5 0.2 0.75 1.4 410

Sistema de ecuaciones usando la columna de emergencias como variable libre y valor constante para la variable igual a K=10

0.2 x_1 + 0.1 x_2 +1.7 x_3 = 135-0.25 K 0.5 x_1 + 2 x_2 +0.05 x_3 = 320-0.4 K 1.5 x_1 + 0.2 x_2 +0.75 x_3 = 410-1.4 K

b) Muestre los pasos detallados para la matriz aumentada y pivoteo parcial por filas.

matriz aumentada

\begin{pmatrix} 0.2 & 0.1 & 1.7 & 135-0.25*10 \\ 0.5 & 2 &0.05 & 320-0.4*10 \\ 1.5 & 0.2 & 0.75 &410-1.4*10 \end{pmatrix}

pivoteo parcial por filas

\begin{pmatrix} 1.5 & 0.2 & 0.75 & 396 \\ 0.5 & 2 &0.05 & 316 \\ 0.2 & 0.1 & 1.7 & 132.5 \end{pmatrix}

c) Desarrolle al menos 3 iteraciones para el método requerido, con expresiones completas.
1.5 x_1 + 0.2 x_2 +0.75 x_3 = 396

0.5 x_1 + 2 x_2 +0.05 x_3 = 316 0.2 x_1 + 0.1 x_2 +1.7 x_3 = 132.5

ecuaciones a usar

x_1 = \frac{1}{1.5}(396 - 0.2 x_2 - 0.75 x_3) x_2 = \frac{1}{2}(316 - 0.5 x_1 - 0.05 x_3) x_3 = \frac{1}{1.7}(132.5 - 0.2 x_1 - 0.1 x_2)

Dado que el valor de la variable libre se establecía con K=10, el vector inicial podría ser el doble de este valor

X_0 = [20,20,20]

itera=1

X_0 = [20,20,20] x_1 = \frac{1}{1.5}(396 - 0.2(20) - 0.75(20)) =251.33 x_2 = \frac{1}{2}(316 - 0.5(20) - 0.05 (20)) = 152.5 x_3 = \frac{1}{1.7}(132.5 - 0.2 (20) - 0.1 (20)) =74.41 diferencia = [231.33, 132.5, 54.41] errado = max |[231.33, 132.5, 54.41]| = 231.33

itera=2

X_1 = [251.33, 152.5, 74.41] x_1 = \frac{1}{1.5}(396 - 0.2(152.5) - 0.75(74.41)) =206.46 x_2 = \frac{1}{2}(316 - 0.5(251.33) - 0.05 (74.41)) = 96.30 x_3 = \frac{1}{1.7}(132.5 - 0.2 (251.33) - 0.1 (152.5)) =39.40 diferencia = [-44.86, -59.27, -211.92] errado = max |[-44.86, -59.27, -211.92]| = 211.92

itera=3

X_2 = [231.85, 105.39, 48.16] x_1 = \frac{1}{1.5}(396 - 0.2(105.39) - 0.75(48.16)) =231.85 x_2 = \frac{1}{2}(316 - 0.5(231.85) - 0.05 (48.16)) = 105.39 x_3 = \frac{1}{1.7}(132.5 - 0.2 ( 231.85) - 0.1 (105.39)) =48.16 diferencia = [25.39, 121.09, -158.29] errado = max |[25.39, 121.09, -158.29]| = 158.29 X_3 = [231.85, 105.39, 48.16]

d) Realice las observaciones necesarias sobre los errores entre iteraciones y la convergencia.

El error entre iteraciones disminuye, el método converge a:

respuesta X: 
[[228.22]
 [ 99.81]
 [ 44.92]]

e) Si se decide no atender a los pacientes del grupo emergencias, ¿Qué aumento individual de cada una de otros grupos de pacientes podría soportarse con la cantidad diaria de alimento disponible? (use el algoritmo.py).

Se interpreta como K=0 y usando el algoritmo se obtiene:

respuesta X: 
[[237.23]
 [ 99.54]
 [ 45.64]]

el aumento de pacientes entre grupos es

diferencia = [9.01, -0.27, 0.72]

en términos de pacientes, como número entero, solo se gana 9 pacientes para el primer grupo. Se descarta la parte decimal si los pacientes no se cuentan en miles, por lo que las otras variaciones se interpretan como cero.

Algoritmo en Python

Datos tomados luego de pivoteo parcial por filas

Resultados:

0 [20. 20. 20.]
0 [251.33333333 152.5         74.11764706]
1 [206.60784314  93.31372549  39.10784314]
2 [232.00424837 105.37034314  47.85121107]
3 [226.02501538  98.80265763  44.15418589]
4 [228.74921937 100.38989151  45.24395951]
5 [227.99270138  99.68159617  44.83009822]
6 [228.2940714   99.8810722   44.96076477]
7 [228.20214132  99.80246303  44.91357559]
8 [228.23621714  99.82662528  44.92901496]
9 [228.22527582  99.81772034  44.92358473]
10 [228.22917825  99.82059143  44.92539577]
11 [228.22788993  99.81957054  44.92476777]
12 [228.22834004  99.81990832  44.92497939]
13 [228.2281892   99.8197905   44.92490656]
14 [228.22824132  99.81983004  44.92493124]
numero de condicion: 2.166985328561448
respuesta con Jacobi
[[228.22824132]
 [ 99.81983004]
 [ 44.92493124]]
verificando:
[[396.00002641]
 [316.00002729]
 [132.00001438]]

Algoritmo en Python

# 1Eva_2022PAOI_T2 Capacidad de alimentos para pacientes internos
import numpy as np

def jacobi(A,B,tolera,X,iteramax=100):
    tamano = np.shape(A)
    n = tamano[0]
    m = tamano[1]
    diferencia = np.ones(n, dtype=float)
    errado = np.max(diferencia)
    xnuevo = np.copy(X)

    itera = 0
    print(itera, X)
    while not(errado<=tolera or itera>iteramax):
        
        for i in range(0,n,1):
            nuevo = B[i]
            for j in range(0,m,1):
                if (i!=j): # excepto diagonal de A
                    nuevo = nuevo-A[i,j]*X[j]
            nuevo = nuevo/A[i,i]
            xnuevo[i] = nuevo
        diferencia = np.abs(xnuevo-X)
        errado = np.max(diferencia)
        print(itera, xnuevo)
        X = np.copy(xnuevo)
        itera = itera + 1
    # Vector en columna
    X = np.transpose([X])
    # No converge
    if (itera>iteramax):
        X=itera
    return(X)


# INGRESO
A = np.array([[1.5, 0.2, 0.75],
              [0.5, 2.0, 0.05],
              [0.2, 0.1, 1.7 ]],
             dtype=float)

B = np.array([396.,316.,132.],
             dtype=float)
tolera = 1e-4

X = np.array([20.,20.,20.],
             dtype=float)

# PROCEDIMIENTO

# numero de condicion
ncond = np.linalg.cond(A)

respuesta = jacobi(A,B,tolera,X)

verifica = np.dot(A,respuesta)

# SALIDA
print('numero de condicion:', ncond)
print('respuesta con Jacobi')
print(respuesta)
print('verificando:')
print(verifica)

s1Eva_2022PAOI_T1 Impacto en trayectoria del drone

Ejercicio: 1Eva_2022PAOI_T1 Impacto en trayectoria del drone

Desarrollo analítico

a) Realice el planteamiento del problema usando inicialmente las trayectorias en el eje x, donde para el intervalo de operación del misil antidrone, se observa más de un impacto.

x1(t) = x2(t)

f(t) = cos(t) –  sin(0.75 t) =0

y1(t) = y2(t)

sin(2 t) =kt

k = \frac{sin(2 t)}{t}

b) Usando el método de Newton-Raphson encuentre el valor de t en el cual se pretende realizar el impacto al drone. Realice al menos 3 iteraciones de forma analítica, use tolerancia de 10-4,

f(t) = cos(t) - sin(0.75 t) f'(t) = - sin(t) - 0.75 cos(0.75 t)

Como punto inicial para encontrar la raíz de f(t) podría ser t0=4 para el punto marcado en rojo. Para el método de Newton-Raphson se tiene que

t_{i+1} = t_i - \frac{f(t_i)}{f'(t_i)} error = |t_{i+1} - t_i|

iteración 1 t0=4

t_1 = 4 - \frac{cos(4) - sin(0.75*4)}{- sin(4) - 0.75 cos(0.75*4)} t_1 = 4 - \frac{-0.7947}{1.4992} = 4.5300 tramo = |4.5300-4| = 0.53

iteración 2 t1=4.53

t_{2} = 4.53 - \frac{cos(4.53) - sin(0.75*4.53)}{- sin(4.53) - 0.75 cos(0.75*4.53)} t_2 = 4.53 - \frac{-0.0717}{1.7089} = 4.4880 tramo= |4.4880-4.53| = 0.042

iteración 3 t2=4.4880

t_{3} = 4.4880 - \frac{cos(4.4880) - sin(0.75*4.4880)}{ - sin(4.4880) - 0.75 cos(0.75*4.4880)} t_3 = 4.4880 - \frac{-0.0000179}{1.7061} = 4.4879 tramo= |4.4879-4.4880| = 0.0001

c) Realice el análisis de la convergencia del método.

El error disminuye, el método converge. La raiz se encuentra en t=4.487989505154422

d) Con el resultado de t anterior, determine el valor de la constante k para la expresión de y2(t) que asegura el impacto contra el drone.

y_1(t) = y_2(t) sin(2 t) =kt k = \frac{sin(2 t)}{t} = \frac{sin(2*4.487989505154422)}{4.487989505154422} = 0.096714

Desarrollo con Algoritmo

Resultados

['xi', 'xnuevo', 'tramo']
[[4.0000e+00 4.5301e+00 5.3009e-01]
 [4.5301e+00 4.4880e+00 4.2071e-02]
 [4.4880e+00 4.4880e+00 3.0277e-05]]
raiz en:  4.487989505154422
con error de:  3.0276981949128867e-05

Algoritmo en Python

# Método de Newton-Raphson
import numpy as np

# INGRESO
fx  = lambda t: np.cos(1*t) - np.sin(0.75*t)
dfx = lambda t: -np.sin(t) - np.cos(0.75*t)*0.75

x0 = 4
tolera = 0.0001

# PROCEDIMIENTO
tabla = []
tramo = abs(2*tolera)
xi = x0
while (tramo>=tolera):
    xnuevo = xi - fx(xi)/dfx(xi)
    tramo  = abs(xnuevo-xi)
    tabla.append([xi,xnuevo,tramo])
    xi = xnuevo

# convierte la lista a un arreglo.
tabla = np.array(tabla)
n = len(tabla)

# SALIDA
print(['xi', 'xnuevo', 'tramo'])
np.set_printoptions(precision = 4)
print(tabla)
print('raiz en: ', xi)
print('con error de: ',tramo)

s1Eva_2021PAOII_T3 Nutrientes en asociación de cultivos

Ejercicio: 1Eva_2021PAOII_T3 Nutrientes en asociación de cultivos

a. Realice el planteamiento del sistema de ecuaciones, presente en la forma Ax=B.

Las variables del ejercicio corresponden al consumo de nutrientes:

a = consumo de nutrientes planta de plátano
b = consumo de nutrientes planta de café
c = consumo de nutrientes planta de cacao

que generan las siguientes expresiones de consumo segun la tabla del ejercicio:

\begin{cases} 40a+110b+310c = 750 \\ 400a+15b+25c = 445 \\ 200a+560b+310c = 10 \end{cases}

que en forma A.x=B:

\begin{bmatrix} 40 && 110 && 310 \\ 400 && 15 && 25 \\ 200 && 560 && 310 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 750 \\ 445 \\ 10 \end{bmatrix}

b. De ser necesario, realice operaciones con la matriz aumentada para mejorar la convergencia con un método iterativo.

\begin{bmatrix} 40 && 110 && 310 && 750\\ 400 && 15 && 25 && 445\\ 200 && 560 && 310 &&10\end{bmatrix}

aplicando pivoteo parcial por filas

\begin{bmatrix} 400 && 15 && 25 && 445 \\ 200 && 560 && 310 &&10\\ 40 && 110 && 310 && 750\end{bmatrix}

c. En el contexto del problema, proponga un vector inicial y tolerancia.

el vector inicial no se usa con ceros, un suelo sin nutrientes no es útil para un cultivo, el vector de unos puede considerarse una opción. Otra opción es consultar con los agricultores para disponer de valores iniciales.

[1,1,1]

la toreleancia podría ser de 0.001 si consideramos que los nutrientes estan dados en kilogramos, la tolerancia sería en gramos.

d. Realice 3 iteraciones con el método de Gauss-Seidel y estime el error (papel y lápiz)

las ecuaciones para el método iterativo serán

\begin{bmatrix} 400 && 15 && 25 && 445 \\ 200 && 560 && 310 &&10\\ 40 && 110 && 310 && 750\end{bmatrix} a = \frac{445- 15 b - 25 c}{400} b = \frac{10- 200 a - 310 c}{560} c = \frac{750- 40 a -110 c}{400}

iteración 1

a = \frac{445- 15 (1) - 25 (1)}{400} = 1.0125 b = \frac{10- 200 (1.0125) - 310 (1)}{560}= -0.8973 c = \frac{750- 40 (1.0125) -110 (-0.8973)}{400} = 2.6071 error_a = |1.0125-1| = 0.0125 error_b = |-0.89736-1| = 1.8973 error_c =|2.6071-1| = 1.6071

error_iteración = max| [0.0125, 1.8973, 1.6071]| =1.8973

iteración 2 y 3 se deja como tarea:

Resultados:

respuesta X: 
[[ 0.99999468]
 [-1.99993467]
 [ 2.9999775 ]]
verificar A.X=B: 
[[444.99829063]
 [ 10.02854772]
 [750.        ]]
>>> 

e. Describa y justifique su observación sobre la convergencia del método y estime una descripción de los resultados.
El resultado muestra que el consumo de la planta b (café) es negativo, puede interpretarse como un error de datos por revisar o se iterpreta como si la planta aporta nutrientes al suelo.
Instrucciones en Python

# Método de Gauss-Seidel
# solución de sistemas de ecuaciones
# por métodos iterativos

import numpy as np

# INGRESO
A = np.array([[40,110,310],
              [400,15,25],
              [200,560,310]],dtype=float)
B = np.array([[750],[445],[10]],dtype=float)

X0  = np.array([1.,1.,1.],dtype=float)

tolera = 0.001
iteramax = 50

# PROCEDIMIENTO

# Matriz aumentada
AB  = np.concatenate((A,B),axis=1)
AB0 = np.copy(AB)

# Pivoteo parcial por filas
tamano = np.shape(AB)
n = tamano[0]
m = tamano[1]

# Para cada fila en AB
for i in range(0,n-1,1):
    # columna desde diagonal i en adelante
    columna = abs(AB[i:,i])
    dondemax = np.argmax(columna)
    
    # dondemax no está en diagonal
    if (dondemax !=0):
        # intercambia filas
        temporal = np.copy(AB[i,:])
        AB[i,:]  = AB[dondemax+i,:]
        AB[dondemax+i,:] = temporal

# Gauss-Seidel
tamano = np.shape(A)
n = tamano[0]
m = tamano[1]

A = np.copy(AB[:n,:m])
B = np.copy(AB[:,m])

#  valores iniciales
X = np.copy(X0)
diferencia = np.ones(n, dtype=float)
errado = 2*tolera

itera = 0
while not(errado<=tolera or itera>iteramax):
    # por fila
    for i in range(0,n,1):
        # por columna
        suma = 0 
        for j in range(0,m,1):
            # excepto diagonal de A
            if (i!=j): 
                suma = suma-A[i,j]*X[j]
        
        nuevo = (B[i]+suma)/A[i,i]
        diferencia[i] = np.abs(nuevo-X[i])
        X[i] = nuevo
        print(diferencia,X)
    errado = np.max(diferencia)
    itera = itera + 1

# Respuesta X en columna
X = np.transpose([X])

# revisa si NO converge
if (itera>iteramax):
    X=0
# revisa respuesta
verifica = np.dot(A,X)

# SALIDA
print('respuesta X: ')
print(X)
print('verificar A.X=B: ')
print(verifica)